4.Математичні властивості середньої арифметичної і техніка її обчислення

Середня арифметична має цілу низку математичних властивостей , що спрощують її обчислення. Розглянемо найважливіші з них.

1)Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто

 .

Якщо ліву і праву частини поділити на сталу величину, яка дорівнює , то дістанемо .

2) Якщо від кожного варіанта відняти будь-яке довільне число А, то

 ,

звідки , де — середня, обчислена з варіантів, зменшених на значення А.

Отже, для визначення середньої величини слід до знайденої зменшеної середньої додати число А, на яке зменшували кожний варіант.

3) Якщо до кожного варіанта додати будь-яке число, то середня збільшиться на це саме число, тобто

 ,

звідки .

Отже, для визначення середньої величини слід від добутої збільшеної середньої відняти число А, на яке збільшували кожний варіант.

4) Якщо кожний варіант поділити на будь-яке число i, то середня арифметична зменшиться в стільки ж разів, тобто

 ,

звідки .

Отже, для визначення середньої величини треба знайдену зменшену в iразів середню величину збільшити в iразів.

5) Якщо кожний варіант помножити на будь-яке число /, то середня арифметична збільшується в стільки ж разів, тобто

 ,

звідки /i.

Отже, для визначення середньої величини треба отриману збільшену в i разів середню величину зменшити в i разів.

6) Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.

Ця властивість базується на тому, що частоти при розрахунку середньої арифметичної мають значення ваги не як абсолютні величини, а як питомі ваги, що мають окремі варіанти в усьому варіаційному ряді. Збільшення чи зменшення однаковою мірою частоти в усіх варіантів не змінює питомої ваги кожного окремого варіанта в ряді, тобто

 .

7) Сума відхилень варіантів від значення їх середньої завжди дорівнює нулю:

 .

Це означає, що в середній арифметичній взаємно погашаються будь-які відхилення варіантів.

Викладені вище властивості середньої арифметичної дають змогу в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення.

На підставі другої та четвертої властивостей можна:

• відняти від усіх варіантів стале число, найкраще добрати варіант з найбільшою частотою;

• поділити всі варіанти на стале число, переважно за таке беруть інтервал;

• інколи доцільно частоти виражати в процентах.

Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало у статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів. Його використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:

 ,

 де за формулою

 

обчислюють момент першого порядку.