3. Середня арифметична проста і зважена

Одним з найпоширеніших видів середньої є середня арифметична, її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки в окремих одиниць досліджуваної сукупності. Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.

Наприклад, відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить: 3, 4, 3, 5, 4, 5, 4, 4. Треба знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади. Для цього складемо тарифний розряд кожного робітника і добуту суму поділимо на кількість робітників:

 .

Позначивши варіанти X 1, Х2 тощо, визначимо середню арифметичну за такою формулою:

 .

Середня арифметична буває двох видів — проста і зважена. Наведена вище середня є середньою арифметичною простою і визначають її двома простими операціями — складанням значень варіантів і діленням отриманої суми на їхню кількість.

Проте такий розрахунок середньої можна дещо спростити: перед додаванням помножити варіанти на частоти, тобто на число, що вказує на те, скільки разів цей варіант трапляється у відповідному ряді.

Ряд розподілу робітників за тарифним розрядом

Тарифний розряд робітників      2        3        4        5        6

Кількість робітників -        2        4        2        -

Таке множення варіантів на їхні частоти в статистиці називають зважуванням, а обчислена в такий спосіб середня — середньою арифметичною зваженою.

Обчислення середньої зваженої в цьому прикладі має такий вигляд:

 .

Якщо частоту (вагу) позначити f, то формула середньої арифметичної зваженої має такий вигляд:

 .

У наведеному прикладі за цією формулою обчислювати середню набагато легше, ніж за формулою простої арифметичної. Отже, для визначення середньої арифметичної зваженої виконують такі операції: множення кожного варіанта на його частоту, підсумовування отриманих добутків і, врешті, ділення добутої суми на суму частот.

Переважно середню арифметичну визначають за формулою середньої зваженої. Просту середню використовують тільки у випадках, коли в кожного варіанта частота дорівнює одиниці, тобто варіант трапляється один раз. Якщо частоти всіх варіантів однакові, то при Визначенні середньої арифметичної можна також відмовитися від зважування.

Часто середні величини обчислюють за даними не тільки дискретних, а й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подають у вигляді інтервалу (від...до), як, наприклад, у табл. 1.

Тому для обчислення середньої величини спочатку потрібно

перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визначити

 середнє значення інтервалу кожної групи. Середнє значення

інтервалу дорівнює півсумі його верхньої та нижньої меж. Для першого

 інтервалу це становитиме грн. і т. д. Середнє значення відкритого інтервалу визначають з розміру інтервалу наступної групи або попередньої, тобто в сусідніх групах.

 Таблиця 1

Розподіл робітників підприємства за групами залежно від рівня продуктивності праці

Середній виробіток товарної продукції на одного робітника, грн       Кількість робітників

f, чол.     Середина інтервалу X, грн      X f , грн

800...1000         20      900    18000

1000... 1200      80      1100 88000

1200...1400       160    1300 208 000

1400...1600       90      1500 1 35 000

1600...1800       40      1700 68000

1800... 2000      10      1900 19000

Разом     400             536 000

Після знаходження середнього значення інтервалів розрахунки здійснюють так само, як і в дискретному варіаційному ряді: варіанти перемножують на частоти і суму добутків ділять на суму частот.

У наведеному прикладі середній рівень виробітку по підприємству

 грн.