Тема 08. РЯДИ ДИНАМІКИ
Питання теми:
Поняття про ряди динаміки та їх види
Правила побудови динамічних рядів
Статистичні характеристики ряду динаміки
Найважливіші способи обробки рядів динаміки
Прогнозування та інтерполяція
Вивчення сезонних коливань
Основні терміни теми: динаміка, рівень ряду динаміки, моментний ряд динаміки, інтервальний ряд динаміки, інтерполяція, екстраполяція, сезонні коливання, індекс сезонності.
Усі явища в природі й суспільстві розвиваються у просторі й часі. У процесі розвитку змінюються склад, обсяг, структура суспільних явищ.
Процеси розвитку суспільних явищ у часі називаються динамікою. Статистичні показники, які характеризують зміну суспільних явищ називають рядами динаміки.
У кожному ряді динаміки є два елементи:
1) показники часу;
2) відповідні рівні розвитку явища.
Рівень ряду динаміки – це величина кожного члена ряду.
Ряди динаміки поділяють на ряди абсолютних, відносних та середніх величин. Прикладом рядів динаміки можуть слугувати наступні дані по Україні
Таблиця 8.1
Показник Роки
1996 1997 1998 1999 2000
Валовий внутрішній продукт, млрд. грн. 80,5 92,5 102,6 130,4 173,0
Рівень зареєстрованого безробіття, % 2,4 2,8 3,7 4,3 4,2
Валовий внутрішній продукт на душу населення, грн. 1575 1835 2040 2614 3494
Ряди динаміки залежно від характеру рівнів поділяють на два види:
- інтервальні;
- моментні.
Ряд динаміки, рівні якого характеризують розміри суспільних явищ за певні періоди називається інтервальним.
Ряд , рівні якого характеризують стан явища на певний момент часу називається моментним.
Прикладом інтервального ряду динаміки можуть бути дані про валовий внутрішній продукт, які наведені у таблиці. Інтервальні ряди можна сумувати. Результатом можуть бути нові числові значення за більш довгий період часу. Величина інтервального ряду залежить від величини інтервалу.
Прикладом моментного ряду динаміки можуть слугувати дані про поголів’я великої рогатої худоби в Україні на кінець року
Таблиця 8.2. Динамика поголів‘я виликої рогатої худоби в Україні
Роки 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Тис.голів 17557 15313 12759 11722 10626 9424
За допомогою рядів динаміки вивчення розвитку соціально-економічних явищ здійснюється по таких напрямках:
- характеристика рівнів розвитку явищ у часі;
- виміри динаміки явищ за допомогою статистичних показників;
- знаходження та кількісний вимір основної тенденції розвитку явища;
- вивчення сезонних коливань;
- інтерполяція та екстраполяція.
Основною умовою для отримання правильних висновків при вивченні рядів динаміки є зіставність їх елементів. Ряд динаміки охоплює періоди, в яких можуть відбуватися зміни. Ці зміни призводять до незіставності звітних даних з даними інших періодів. Незіставність у рядах динаміки обумовлюється різними причинами. Це можуть бути: неоднорідність складу досліджувальних сукупностей в часі, різні одиниці виміру, зміна методики підрахунку показників, зміна території проведення дослідження, інші причини.
У моментних рядах динаміки причиною незіставності може бути зміна моменту реєстрації фактів.
Для перетворення незіставних рядів динаміки у зуставні виконують перерахунки даних за допомогою певних прийомів. Розглянемо деякі з них.
Приклад. В 1998 році відбувалася зміна кордонів між регіонами. Це спонукало зміни в обсягах виробленої продукції.
Таблиця 8.3. Динамика виробництва продукції в старих та нових кордонах, млн.грн.
Роки
Кордони 1996 1997 1998 1999 2000
Старі 228,5 231,2 243,7 - -
Нові - - 280,3 289,4 298,7
Для приведення даних у заставний вигляд здійснимо зімкнення рядів динаміки. Для цього визначаємо коефіцієнт перерахунку. В 1998 році маємо виміри явища у старих та нових кордонах. Використовуємо для визначення коефіцієнту перерахунку (співвідношення).
Використовуючи знайдений коефіцієнт робимо перерахунок виробництва продукції для 1996 та 1997 років.
Вироблено продукції у 1996 році:
млн.грн
Вироблено продукції у 1997 році:
млн.грн
Зімкнений ряд динаміки буде мати наступний вигляд:
Таблиця 8.4
Роки 1996 1997 1998 1999 2000
Вироблено продукції, млн.грн. 262,8 265,9 280,3 289,4 298,7
При вивченні динаміки виробництво продукції у вартісному вимірі може виникати ще й така причина незіставності, як зміна цін на продукцію у різні періоди. Для усунення впливу цін на продукцію у різні періоди. Для усунення впливу цін на обсяг виробленої продукції його перераховують у незмінні (фіксовані) ціни. В результаті отримуємо ряд динаміки у зіставних цінах.
Може виникнути потреба порівняти розвиток споріднених або взаємопов’язаних явищ за кілька років. Для цього необхідно перевести абсолютні показники динамічних рядів у відносні. Прийняти рівні будь-якого одного року за 1 або 100%.
Таке перетворення динамічних рядів називається зведення їх до однієї бази.
Таблиця 8.5. Середньомісячний виробіток одного робітника на двох підприємствах, тис.грн..
Роки
Підприємства 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
№ 1 12,2 12,5 12,7 13,4 13,6 14,0 14,7 15,4
№ 2 4,7 5,0 5,4 5,9 6,3 6,9 7,8 8,2
Приймаємо рівні 1993 року за 100% й будуємо нові ряди динаміки. Для підприємства № 1 рівень 1994 року буде:
Відповідно перераховуємо рівні інших років.
Такі підрахунки здійснюємо і по підприємству № 2.
Внаслідок виконаних підрахунків маємо наступні ряди динаміки:
Таблиця 8.6
Роки
Підприєм. 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
№ 1 100,0 102,5 104,1 109,8 111,5 114,8 120,5 126,2
№ 2 100,0 106,4 114,9 125,5 134,0 146,8 165,8 174,5
На підприємстві № 2 розвиток явища (середньомісячний виробіток одного робітника) більш інтенсивний ніж на підприємстві №1.
Для загальної характеристики рівня явища використовують середній рівень з усіх членів динамичного ряду.
В інтервальних рядах динаміки з рівними інтервалами часу середній рівень ряду обчислюємо за формулою середньої арифметичної простої ,
де - рівень ряду динаміки, n – кількість рівнів.
млрд.грн
Середній рівень моментного ряду динаміки обчислюють за формулою середньої хронологічної
Середня хронологічна моментного ряду дорівнює сумі усіх членів ряду поділених на їх кількість, а перший та останній члени ряду беруться як половина їх розміру.
Якщо інтервали між періодами нерівні, то використовуються середня арифметична зважена. За ваги беруть періоди часу між датами, до яких належать парні середні суміжних значень рівня.
Приклад: необхідно підрахувати середню вартість основних фондів на підприємстві
Таблиця 8.7
Дата 1.01 1.04 1.09 1.01
Первісна вартість основних фондів, млн. грн 102 104 108 112
Визначаємо суміжні значення рівнів:
отримані значення рівнів зважуємо за періодами часу між датами
млн. грн.
Середньорічна вартість основних фондів на підприємстві становить 106,6 млн грн.
В процесі аналізу суспільних явищ на підставі порівняння рівнів у ряді динаміки визначають, окрім абсолютних та середніх значень рівнів, такі показники:
- абсолютний приріст;
- темп зростання;
- темп приросту;
- абсолютне значення одного проценту приросту.
За базу порівняння беруть попередній або початковий рівень ряду динаміки. Якщо кожен рівень порівнюють з попереднім, то такі показники називають ланцюговими. Коли всі рівні порівнюють з тим самим рівнем, що є постійною базою порівняння, то такі показники називають базисними.
Абсолютний приріст характеризує збільшення або зменшення явища, яке вивчається. Він показує наскільки одиниць збільшився або зменшився поточний рівень порівняно з базисним за той чи інший період часу.
якщо за базу порівняння взяти попередній рівень, то матимемо таку формулу ланцюгових абсолютних приростів
Базисний приріст, млн.. грн.. Ланцюговий приріст, млн. .грн..
92,5-80,5=12,0. 92,5-80,5=12,0
102,6-80,5=22,1 102,6-92,5=10,1
130,4-80,5=49,9. 130,4-102,6=27,8.
173,0-80,5=92,5 173,0-130,4=42,6.
Знак (+,-) показує напрям динаміки
Між базисними та ланцюговими абсолютними приростами існує зв’язок: сума ланцюгових приростів дорівнює базисному абсолютному приросту останнього періоду ряду динаміки.
Темп зростання показує, у скільки разів збільшився порівнювальний рівень відносно базисного. Якщо за базу порівняння взяти постійну базу, то дістаємо базисний темп зростання
Якщо за базу порівняння взяти попередній рівень, то дістаємо ланцюговий темп зростання
Він може мати вираження у вигляді коефіцієнта або в процентах
При темпі зростання більше одиниці (або 100%) маємо збільшення рівня порівняно з базовим. Темп зростання, який дорівнює одиниці (або 100%) показує відсутність змін у рівнях. Темп зростання менший ніж одиниця (або 100%) показує на зменшення рівня періоду, який вивчається порівняно з базисним. Темп зростання завжди має позитивний знак.
Базисний темп зростання Ланцюговий темп зростання
92,5 : 80,5=1,149 92,5 : 80,5=1,149
102,6 : 80,5=1,275 102,6 : 92,5=1,109
130,4 : 80,5=1,620 130,4 : 102,6=1,271
173,0 : 80,5=2,149 173,0 : 130,4=1,327
Між ланцюговими і базисними темпами зростання, вираженими у вигляді коефіцієнтів є певний взаємозв’язок: добуток послідовних ланцюгових темпів зростання дорівнює базисному за відповідний період і, навпаки, поділивши наступний базисний темп зростання на попередній дістанемо відповідний ланцюговий
Темп приросту становить відношення абсолютного приросту до базисного рівня.
Базисний темп приросту обчислюють за формулою:
Ланцюговий темп приросту визначаємо використавши формулу
Базисний темп приросту Ланцюговий темп приросту
12,0 : 80,5=0,149 12,0 : 80,5=0,149
22,1 : 80,5=0,275 10,1 : 92,5=0,109
49,9 : 80,5=0,620 27,8 : 102,6=0,271
92,5 : 80,5=1,149 42,6 : 130,4=0,327
Темп приросту можна також визначити відніманням від темпів зростання величини 1 або 100.
Темп приросту може бути зі знаком (+,-). При темпах зростання менше 1 (або 100%) отримуємо від’ємні темпи приросту.
Абсолютне значення одного проценту приросту дорівнює відношенню абсолютного приросту до темпу приросту за той самий період
млн.грн.
Середній абсолютний приріст визначають як суму абсолютних ланцюгових приростів поділених на їх кількість. Цей показник можна також визначити як різницю між кінцевим та базисним рівнями періоду поділеними на їх кількість без одного.
Середній темп зростання розраховують за формулою середньої геометричної.
Середня геометрична кількох величин дорівнює кореню з їх добутку, показник ступеню якого дорівнює кількості співмножників
де - середній темп зростання, - темпи зростання, обчисленні відносно попередніх рівнів (у коефіцієнтах), n – кількість індивідуальних темпів зростання.
Для обчислення середнього темпу зростання користуються також такою формулою:
,
де - кінцевий рівень ряду; - базисний рівень ряду; n – кількість рівнів ряду.
Середній темп приросту можна визначити на підставі взаємозв’язку між темпами зростання та приросту
Для визначення основної тенденції (тренду) розвитку явища в рядах динаміки є кілька способів їх обробки.
Укрупнення періодів – це найпростіший спосіб обробки рядів динаміки. Суть його полягає у тому, що дані ряду динаміки об’єднують у групи за періодами (триріччя, п’ятиріччя, десятиріччя тощо). Розглянемо цей спосіб на прикладі урожайності зернових культур в України.
Таблиця 8.8
Роки 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Врожайність, ц/га 23,1 26,5 25,2 25,5 30,9 28,4 33,5 35,1 26,5 27,9 32,1 26,8 24,3 19,6 24,5 20,8 19,7 19,4
Об’єднаємо дані у групи за трирічним періодом і знаходимо середні рівні, ц/га:
Після укрупнення періодів основна тенденція розвитку явища (врожайність зернових культур) стала більш яскравою. Відбулося зростання врожайності зернових культур з 1983 по 1992 роки, далі відбувається її зменшення.
Іншим способом виявлення загальної тенденції динамічного ряду є згладжування за допомогою рухомої (плинної) середньої. При цьому також вдаються до укрупнення періодів, але за допомогою послідовного зсування на один період (місяць, квартал, рік) при збереженні стійкого інтервалу періоду.
Розглянемо використання цього способу по даних попереднього прикладу.
Таблиця 8.9
Роки Врожайність ц/га Сума врожайності по десятиріччях,ц/га Рухома (плинна) середня ц/га
1983 23,1
1984 26,5
1985 25,2
1986 25,5
1987 30,9
1988 28,4 282,6 28,3
1989 33,5 291,6 29,2
1990 35,1 291,9 29,3
1991 26,5 291,0 29,1
1992 27,9 285,1 28,5
1993 32,1 278,7 27,9
1994 26,8 271,1 27,1
1995 24,3 257,3 25,7
1996 19,6 241,6 24,2
1997 24,5
1998 20,8
1999 19,7
2000 19,4
Використання в аналізі рядів динаміки укрупнення інтервалів та рухомої середньої дозволяє виявити тенденцію дня її опису, але отримати її узагальнену статистичну оцінку за допомогою цих методів неможливо. Вимір тенденції (тренду) досягається методом аналітичного вирівнювання. Його суть полягає в знаходженні такої прямої або кривої, ординати точок якої були б найближчі до значень фактичного динамічного ряду.
Найпростішою лінією, що застосовується при вирівнюванні динамічного ряду є пряма. Її використовують тоді, коли протягом періоду, що досліджується, швидкість зростання приросту або відхилення явищ в абсолютному вираженні в середньому більш-менш рівномірні.
По даних про роздрібний товарообіг в Україні виконаємо аналітичне вирівнювання.
Таблиця 8.10
Роки Обсяг роздрібного товарообігу, млрд.грн. Темп зростання за роками, % Абсолютний приріст за роками, млрд. грн.
1995 12,0 - -
1996 17,3 1,442 5,3
1997 18,5 1,069 1,2
1998 19,3 1,043 0,8
1999 22,2 1,150 2,9
2000 28,8 1,297 6,6
Можна використати рівняння прямої:
Для визначення параметрів рівняння прямої використовують метод розрахунку часу від умовного початку. Він базується на позначенні в ряді динаміки показників часу таким чином, щоб у сумі вони дорівнювали 0.
Таблиця 8.11
Роки Обсяг роздрібного товарообігу,млрд. грн.
1995 12,0 -3 9 -36,0
1996 17,3 -2 4 -34,6
1997 18,5 -1 1 -18,5
1998 19,3 1 1 19,3
1999 22,2 2 4 44,4
2000 28,8 3 9 86,4
Разом 118,1 0 28 61,0
млрд.грн.
млрд. грн.
Для кожного року аналізованого ряду динаміки визначають теоретичні рівні тренду:
Сезонні коливання спостерігаються у багатьох галузях економіки. Сезонні коливання, які відображаються у рядах динаміки слід вивчати й вимірювати для підвищення ефективності виробництва.
При вивченні в рядах внутрішньої річної динаміки сезонних коливань розв’язуються такі задачі:
- виявлення специфіки розвитку певного явища у внутрішньо річній динаміці;
- вимір сезонних коливань певного явища з побудовою моделі сезонної хвилі.
Для виміру сезонних коливань використовують індекси сезонності
Якщо в ряді динаміки є певна тенденція розвитку, то індекс сезонності обчислюють за формулою:
Якщо в ряді динаміки немає чітко вираженої тенденції, то індекс сезонності обчислюють за формулою:
Використання наведеної формули має назву способу постійної середньої.
Використання способу постійної середньої проілюструємо на прикладі надання платних послуг на підприємстві.
Таблиця 8.12
Роки Сума значень рівнів за 3 роки Середній рівень по місяцях (%)
Місяць 1998 1999 2000
Січень 42,5 45,1 40,8 128,4 42,8 104,6
Лютий 50,2 43,8 44,3 138,3 46,1 112,7
Березень 43,1 46,0 40,5 129,6 43,2 105,6
Квітень 42,4 40,8 39,5 122,7 40,9 100,0
Травень 40,8 41,2 40,0 122,0 40,7 99,5
Червень 38,0 40,5 40,7 119,2 39,7 97,1
Липень 36,2 33,0 28,4 97,6 32,5 79,5
Серпень 40,2 32,0 38,0 110,2 36,7 89,7
Вересень 39,1 36,2 40,1 115,4 38,5 94,1
Жовтень 38,0 39,8 43,0 120,8 39,6 96,8
Листопад 42,8 49,5 41,6 133,9 44,6 109,0
Грудень 48,2 47,8 42,0 138,0 46,0 112,5
Разом Х Х Х Х 491,3 Х
тис. грн.
Рис. 8.1.Сезонна хвиля надання платних послуг на підприємстві за 1998-2000 роки
Визначені в аналізі рядів динаміки показники рівнів, тренду, сезонної хвилі використовують для прогнозування. Здійснюють статистичну оцінку можливої міри розвитку соціально-економічних явищ на майбутнє.
Інтерполяція – визначення проміжного відсутнього члена динамічного ряду.
Екстраполяція –.визначення рівня ряду на майбутній період часу, тобто продовження виявленої тенденції за межі ряду динаміки.
Для прогнозування можливого рівня розвитку роздрібного товарообігу в Україні в 2001 році використовуємо знайдене раніше рівняння
млрд. грн.
Важливо мати на увазі, що екстраполяція в рядах динаміки має не тільки наближений, але й умовний характер.
При розробці прогнозів соціально-економічних явищ необхідно залучати додаткову інформацію.
Розглянемо приклад інтерполювання про роздрібний товарообіг в Україні за 1995-2000 р.р.
У динамічному ряді відсутні дані за 1997 рік. Для встановлення рівня ряду динаміки методом інтерполяції необхідно вибрати стійкий показник, який характеризує зміни рівнів цього ряду. Таким показником можуть бути: середня арифметична з прилеглих рівнів, абсолютні прирости, середні абсолютні прирости, темп роста, середній темп росту.
Визначимо відсутній рівень як середню з рівнів за 1996 рік та 1998 рік.
млрд. грн.
Відхилення від фактичного рівня становить 0,2 млрд. грн. (18,5-18,3) або 1,1%. Інтерполяція наближено відображає закономірність, яка склалася в середині певного періоду.
Питання для самоперевірки
1. Визначення динамічних рядів
2. Види рядів динаміки
3. Використання середніх величин в рядах динаміки
4. Зіставність даних в рядах динаміки
5. Показники рядів динаміки
6. Прийоми обробки рядів динаміки
7. Інтерполяція та екстраполяція рядів динаміки
8. Вимірювання сезонних коливань