10.2. Метод характеристик приросту

Процедура вибору форми включає попередню статистичну обробку ряду і сам вибір форми. Попередня обробка складається з трьох етапів: 1) згладжування ряду по ковзній середній (або будь-яким іншим методом); 2) визначення середніх приростів; 3) визначення ряду похідних характеристик приросту.

Згладжування ряду ковзної середньої дає можливість грубо намітити тенденцію зміни ряду – тренд (див. (3.7) – (3.9)). Одержавши «чорновий» тренд, можна легко визначити середні прирости (див. формули (3.14)–(3.20)).

Розгляд властивостей кривих росту (див. "Економетрика") показує, що для кожної форми кривої існує таке перетворення ut, що характеризується лінійним рівнянням відносно t. Аналогічні характеристики приростів можна визначити і для емпіричних рядів. У цьому випадку замість приросту ut, треба взяти середній приріст `ut . Якщо яка-небудь зі знайдених за спостереженнями характеристик показує близьке до лінійного розвиток у часі, то останнє служить симптомом того, що тенденція розвитку може бути описана за допомогою відповідної кривої. В якості таких характеристик приростів прийнято:

У табл. 4.1 приводиться перелік найбільш часто вжитих при аналізі економічних рядів видів кривих і указуються відповідні симптоми, за якими можна визначити, який вид кривих підходить для вирівнювання.

Іноді останні три характеристики таблиці:  і , не можуть бути отримані для деяких t, оскільки значення `ut виявляються негативними. Відповідно ряд характеристик приросту переривається. З такими випадками зустрічаються тоді, коли величини окремих спостережень істотно відрізняються від інших даних, «випадають» із загального ходу розвитку. Для того щоб зменшити виникаючий у зв'язку з цим розрив ряду характеристик приросту і виявити «чорнову» тенденцію, можна скористатися одним з наступних прийомів: 1) збільшити інтервал усереднення, що прийнято для ковзної середньої; 2) замінити «аномальні» дані розрахунковими величинами, наприклад, середніми з рівнів попередніми yt і наступними, якщо заміняється yt (звичайно досить узяти по два рівня до і після моменту t).

Якщо аналізу за допомогою середніх приростів піддається ряд, що має тенденцію, що знижується, то середні прирости, природно, в основному будуть негативними, звідси неможливо знайти логарифмічні характеристики приростів. У цих випадках можна розраховувати `ut у зворотному порядку, тобто починати з кінця ряду.

вказати на ряд інших ознак, що можуть допомогти при виборі форми кривій. Так, якщо:

- перші різниці мають тенденцію зменшуватися з постійним темпом, то варто зупинитися на модифікованій експоненті, якщо ж вони утворять криву, що нагадує асиметричний одновершинний розподіл чисельності (з вершиною, що зрушена вліво), то варто звернутися до кривої Гомперца, нарешті, якщо розподіл перших різностей за формою близько до нормального, то вибирається логістична крива;

- середні рівні, нанесені на напівлогарифмічний папір, близькі до прямої лінії, то краща проста експонента, якщо ж ці рівні утворять криву, близьку до модифікованої експоненти, то варто вибрати криву Гомперца;

- перші різниці логарифмів рівнів приблизно постійні, то вирівнювання краще вести за експонентною кривою, а якщо вони змінюються з постійним темпом, то за кривою Гомперца;

- перші різниці зворотних значень середніх рівнів змінюються на той самий відсоток, то доцільніше зупинитися на логістичній кривій.

Одне з питань, що вирішується при вирівнюванні динамічного ряду для наступної екстраполяції, полягає у виборі періоду. Тут не може бути застосований який-небудь чисто формальний підхід. Однак ясно, що якщо період занадто малий, то тенденцію в розвитку просто не можна знайти. Тому якщо немає яких-небудь розумінь якісного порядку, то варто взяти якомога більший інтервал. З іншого боку, дуже великий часовий інтервал може охопити періоди з різними тенденціями. Тому опис такого ряду за допомогою однієї кривої не дасть прийнятні результати: тренд буде зміщений і мало придатний для екстраполяції. У таких випадках, можливо, краще скоротити інтервал вирівнювання, відкинувши найбільш ранні рівні, що, по судженню дослідника, відносяться до періоду з іншою тенденцією розвитку. Якщо розвиток виявляє циклічний характер, то для виявлення тренду краще взяти період від середини першого циклу до середини останнього. Можна сподіватися, що чим вище коливання рівнів ряду, тим триваліше повинен бути часовий інтервал, що охоплюється спостереженням. Слід також зазначити, що чим більше параметрів містить рівняння тренда, тим більше повинно бути спостережень при тій же ступені надійності оцінювання.

При виборі форми кривій треба мати на увазі ще одну обставину. Так, ріст складності кривої у цілому ряді випадків може дійсно збільшити точність опису тренда в минулому, однак у зв'язку з тим, що більш складні криві містять більше число параметрів і більш високі ступені незалежної змінної, їхні довірчі інтервали будуть у загальному істотно ширше, ніж у більш простих кривих при тому самому періоді попередження.

Зробимо ще одне зауваження, що стосується рішення про вибір кривої. Це зауваження відноситься до випадку, коли ряд динаміки може бути добре вирівняний за допомогою експонентної кривої. Тут, очевидно, не можна беззастережно прийняти гіпотезу про експонентну тенденцію розвитку. Справа у тому, що перша половина логістичної кривої (до перегину) також є експонентою. Таким чином, на основі тільки емпіричного ряду не можна дати однозначну відповідь. Вихід можна знайти, одержавши відповідь на питання про те, чи може чи ні явище «загасати» у майбутньому, чи можливо «насичення» при даній сукупності умов, чи має деяке обмеження для процесу (законодавче, обмеженість матеріальних ресурсів або виробничих потужностей і т.д.). Якщо відповідь на це питання позитивна, то експонентний тренд у минулому скоріше варто розглядати як частину вихідної за рамки спостереження логістичної кривої, чим самостійну криву.

Остаточний вибір форми кривої – справа змістовного аналізу конкретної проблеми, що повинна охоплювати не тільки дослідження тенденцій, що спостерігалися в минулому, але і рішення питання про те, чи слід очікувати збереження цих тенденцій.

Зі сказаного вище, очевидно, можна зробити висновок про те, що вибір форми кривої для вирівнювання представляє собою задачу, що не вирішується однозначно, а зводиться до одержання ряду альтернатив. Остаточний вибір не може полягати в межах формального аналізу, тим більше, якщо передбачається за допомогою вирівнювання не тільки статистично описати закономірність поведінки рівня в минулому, але й екстраполювати знайдену закономірність у майбутнє. Разом з тим різні статистичні прийоми обробки даних спостереження, як було показано вище, можуть принести істотну користь – у самому крайньому випадку, за їх допомогою можна відкинути свідомо непридатні варіанти і тим самим істотно обмежити поле вибору. У значному ж числі випадків, які приведені вище, прийоми обробки рядів дають досліднику матеріал для досить виправданого вибору форми кривої, що описує тенденцію розвитку.

Після того як форма кривої обрана, виникає задача оцінки параметрів. Ця задача вирішується за допомогою методів, запозичених з регресивного аналізу (див. курс "Економетрика").