Тема 8. Перевірка гіпотези про існування тренду.

Перевірка гіпотези про існування тренду

Питання теми

1. Перевірка різниці середніх рівнів

2. Метод Фостера – Стюарта

Основні терміни теми: гіпотеза про відсутність тенденції, t-критерій Стьюдента, однорідність дисперсій, критерій Фішера

Перш ніж перейти до виділення тренда, треба, очевидно, перевірити гіпотезу про те, чи існує він узагалі. Відсутність тренда (нульовий тренд) означає незмінність середнього рівня ряду в часі.

Розглянемо кілька підходів до рішення даної задачі, що засновані на статистичній перевірці гіпотез.

1. Перевірка різниці середніх рівнів

На перший погляд самий природний і досить простий підхід полягає в розбивці аналізованого ряду на дві приблизно рівні по числу членів частини, кожна з яких розглядається як деяка самостійна вибіркова сукупність даних. Іспит різниці середніх, що обчислюються для кожної з цих сукупностей, покаже, чи істотно розрізняються між собою середні або цю розбіжність можна приписати дії випадковості і, таким чином, довести, що тренд відсутній.

Оскільки число членів ряду, як правило, досить незначне, то використовується метод перевірки, що розроблений для малих вибірок (передбачається, що вони мають нормальний розподіл).

Якщо розрахункове значення F менше, ніж табличне при заданому рівні імовірності, то можна прийняти гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо ж F більше, ніж табличне значення, то гіпотеза про рівність дисперсій відхиляється і, отже, сам метод для іспиту різниці середніх не може бути застосований.

3-й етап: за основу перевірки береться t-критерій Стьюдента. При  гіпотеза про відсутність тренда (нульова гіпотеза, Н0) відкидається, при t <  гіпотеза Н0 приймається. Тут t – розрахункове значення t - критерію, що отримане для аналізованих даних,  – табличне значення цього критерію при рівні імовірності помилки, рівному a.

При рівності, а точніше несуттєвому відмінності дисперсій двох досліджуваних сукупностей

Значення береться з числом ступенів свободи, рівним n1 + n2 - 2.

Розглянутий метод у більшості випадків дає цілком прийнятні результати. Однак слід зазначити, що йому властиві досить істотні дефекти. Насамперед він застосовний тільки для рядів з монотонною тенденцією. Якщо ж ряд змінює загальний напрямок розвитку, то точка повороту тенденції може виявитися близькою до середини ряду, у силу цього середні двох відрізків ряду будуть близькі і перевірка може не показати наявність тренда. Разом з тим можна висунути і більш загальний вираз, заснований на тім, що величина середнього квадратичного відхилення, з якою порівнюється різниця середніх у (1.1), залежить у динамічному ряді не тільки від коливань рівнів, але і від самого тренда. Інакше кажучи, існування тренда впливає на показник середнього квадратичного відхилення як відхилення від загальної для всього ряду середньої.

Приведемо наступний приклад. Нехай динамічний ряд складається з натуральних чисел 1, 2, ..., 10. Тоді середня для першої половини ряду дорівнює 3, а для другої – 8. Скористаємося t-критерієм. Для випадку, коли  формулу (2.2) легко перетворити і представити у вигляді

 (2.3)

де - сума квадратів відхилень від загальної середньої. За даними нашого приклада =82,5. Отже,

 

Табличне значення  при імовірності 0,95 дорівнює 2,306. Таким чином,  і гіпотеза про відсутність тренда і середніх відкидається.

Тепер розглянемо другий варіант приклада. Нехай абсолютний приріст буде в 10 разів менше, тобто 0,1. Тоді ряд складається з наступних рівнів: 1,1; 1,2; ..., 2,0, Відповідно середні дорівнюють1,3 і 1,8, сума квадратів відхилень становить 34,85. Тому:

.

Таким чином, гіпотеза про відсутність тенденції при тім же рівні імовірності підтверджується. Однак тенденція тут була нами закладена вже при конструюванні ряду. Отже, метод виявляється «нечуттєвим» до невеликого (щодо значень рівнів) тренду.