9.2.2 Зважені ковзні середні

Прості ковзні середні – досить грубий статистичний прийом виявлення тенденції. При цьому якщо ряд має періодичні коливання з твердою тривалістю циклу, то вони повністю усуваються при згладжуванні за допомогою ковзної середньої при інтервалі згладжування, рівному або кратному циклу.

У ряді випадків згладжування за допомогою простою ковзної середньої виявляється настільки сильним, що тенденція розвитку виявляється лише в самому загальному вигляді, а окремі важливі для економічного аналізу деталі зникають, тому що в результаті згладжування можуть зникнути відносно дрібні хвилі або вигини в тренді. Крім того, часто після згладжування дрібні хвилі змінюють свій знак.

Більш тонкий прийом, що базується на тій же самій ідеї, що і прості сковзанні середні, полягає у застосуванні зважених ковзних середніх. Якщо при застосуванні простої ковзної середньої всі рівні ряду визнаються рівноцінними, то при вирахуванні зваженої середньої кожному рівню в межах інтервалу згладжування приписується вага, що залежить від відстані, вимірюваного від даного рівня до середини інтервалу згладжування. Система ваг визначається виходячи з наступних розумінь. Нехай для m послідовних рівнів ряду зі зрушенням у часі на один крок підбирають поліноми виду yi=a+bi+ci2+…(тут i – порядковий номер рівня в межах інтервалу згладжування). Нижче ми більш докладно зупинимося на підборі кривих для аналітичного вирівнювання ряду. Зараз же тільки відзначимо, що параметри таких кривих звичайно визначають виходячи з умови, відповідно до якого сума квадратів відхилень фактичних рівнів від розрахункових, відповідних до рівняння кривої, повинна бути мінімальною. Отже, для кожного інтервалу згладжування підбирається парабола (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Згладжування динамічного ряду (т = 3):

а – розрахункове значення рівня, що отримано на основі простої ковзної середньої (вирівнювання по прямій);

а' – розрахункове значення рівня, що отримано на основі зваженої ковзної середньої (вирівнювання по параболі)

Центральна ордината цієї параболи приймається за згладжене значення відповідного рівня фактичного ряду даних. Оскільки відлік часу в межах інтервалу згладжування виконується від його середини, тобто i = .., -2, -1,0,1, 2, ..., то згладжене значення рівня дорівнює параметру а підібраній параболі. Тому для згладжування немає необхідності прибігати до стомлюючої процедури підбора системи парабол, тому що величину а можна одержати як зважену середню з т рівнів.

Розрахунок зважених (поліноміальних) ковзних середніх здійснюється по наступних формулах (приводимо тільки формули для випадків, коли т – непарне число, а поліноми мають другу або третій ступінь):

Як бачимо з приведених формул, ваги симетричні щодо центрального рівня (yt), і їхня сума з урахуванням загального множника, винесеного за дужки, дорівнює одиниці. Помітимо також, що в системі ваг крім позитивних величин існують і негативні. Ця обставина приводить до того, що згладжена крива значною мірою зберігає різні вигини кривої тренда.

Приклад розрахунку значень зважених ковзних середніх для т=5 і т=7 (див. гр (4) і (5) табл. 3.3).

Оскільки ковзна середня заміняє центральний член кожних т рівнів, то для р початкових і кінцевих рівнів вона не може бути підрахована. Отже, при згладжуванні по простій або зваженої трирічної ковзної середньої губиться перший і останній рівень, за п'ятирічною середньою – двох перших і двох останніх і т.д.

Якщо отримані розрахункові значення `yt усе ще володіють значною коливаємостю, то можна повторити процес усереднення, тобто зробити повторне згладжування, і одержати ковзну середню другого, третього і т.д. порядку.

Розрахунок ковзної середньої представляється як проста і безпечна операція, що має цілком ясний зміст. Однак ця операція трансформує динамічний ряд у більшій мірі, чим це здається на перший погляд. Так, якщо до згладжування рівні ряду були незалежними, то після даного перетворення послідовні розрахункові рівні (у межах інтервалу згладжування) знаходяться в деякій залежності між собою. Справді, кожний рівень згладженого ряду має загальну частину з декількома попередніми і наступними членами. У свою чергу взаємозв'язок рівнів може при згладжуванні значних випадкових коливань привести до небажаних ефектів (ефект Слуцкого). Отриманий при цьому тренд характеризується періодичністю (незначною в порівнянні з вихідними випадковими коливаннями циклічністю розвитку), у той час як її в дійсності не було.

Таблиця 3.3 - Згладжування за допомогою простих і зважених ковзних середніх

 Останнім часом у зв'язку з посиленням уваги до техніки прогнозування область застосування ковзної середньої розширилася, а саме середня одержала трохи інше тлумачення. Нове полягає в тім, що отримана за допомогою усереднення величина відноситься не до середини інтервалу, що бере участь у розрахунку, а до його кінця. Відповідно до цього замість формули (3.8) ми можемо записати:

 (3.13)

Тут ковзна середня, що відноситься до кінця інтервалу, позначена новим символом Мi для того, щоб відрізнити її від середньої, що відноситься до середини інтервалу усереднення, i — номер рівня ряду. Тепер для того, щоб відрізнити один вид ковзних середніх від іншого, будемо називати величину Мi адаптивною ковзною середньою. Власне кажучи, Mi дорівнює `yt, зрушеному на р кроків вправо, тобто Мi = `yt де  

i = t + p.

З формули (3.13) випливає, що адаптивна ковзна середня на момент i дорівнює середній на попередній момент плюс поправка, що дорівнює різниці рівнів уi й уi-m, діленої на m. Зі збільшенням інтервалу згладжування т значення поправки при всіх інших рівних умовах падає. Якщо перший член суми у формулі (3.13) несе на собі «вантаж минулого» і характеризує інерцію розвитку, то другий член відіграє роль елемента, що адаптує середню до нових умов. Таким чином, середня з кожним кроком як би обновляється, включає в себе нову інформацію про фактично реалізований процес. Ступінь відновлення жорстко визначається вагою, рівною 1/m, що приписана поправці.