9.3.2 Середні прирости

Іноді при аналізі динаміки виникає необхідність у визначенні не самого тренда, а середньої швидкості його зміни – середнього приросту. Наприклад, така задача виникає при виборі виду функції для аналітичного вирівнювання динамічного ряду. Однак швидкості зміни тренда, узагалі говорячи, знаходять на основі уже виявленого тренда. Для того щоб вийти з цього порочного кола, можна приблизно оцінити швидкість зміни тренда, скориставшись яким-небудь прийомом, не пов’язаним з вирівнюванням динамічного ряду за функцією. Так, для визначення середньої швидкості зміни тренда можна скористатися методом, застосованим при обчисленні ковзної середньої. Справді, нехай для перших т рівнів ряду, включених в інтервал згладжування, підібрана пряма yt = a +bt. Якщо відлік часу ведеться від середини інтервалу 1, ..., m, то параметр а цій прямій являє собою середню арифметичну з т рівнів ряду, у той же час параметр b характеризує приріст тренда, що представляється даною прямою (див. мал. 3.4).

 

Рис. 3.4. Середній приріст при вирівнюванні по прямій

Цю величину у відомому змісті можна розглядати як специфічним образом усереднений для інтервалу згладжування приріст, оскільки він визначається значенням усіх рівнів (а, отже, і приростів), охоплених даним інтервалом часу. Тому умовно назвемо його середнім приростом. Визначивши середній приріст для перших т рівнів і зрушивши інтервал згладжування уперед у часі на один крок, можна визначити наступний середній приріст і т.д.

Для того щоб визначити середні прирости , не обов'язково вирівнювати кожні т рівнів вихідного ряду. Неважко знайти формули для безпосереднього розрахунку в залежності від того, якої довжини інтервал береться для визначення параметрів прямої, що вирівнює. Нижче приводяться ці формули:

Розрахунок середніх ковзних приростів не обов'язково вести за формулами (3.14) – (3.16). Знайшовши середній приріст для першого члена вирівняного ряду і визначивши yt, можна послідовно розрахувати середні прирости для інших членів ряду за загальною формулою:

Підставивши в цю формулу замість р відповідні значення (нагадаємо, що при т = 3 р = 1, при т =5 р = 2 і при т =7 р = 3), одержимо наступні рекурсивні вираження для розрахунку середнього ковзного приросту при використанні трьох-, п'яти- і семирічної середньої:

Використання приведених формул трохи знижує трудомісткість розрахунків.

5. Експонентні середні

Вище при розрахунку адаптивної ковзної середньої рівням динамічного ряду, що усереднювалися надавалися рівні ваги. До визначення адаптивних ковзних середніх можна підійти і трохи інакше, з огляду на ступінь «застарілості» даних за допомогою зважування. При цьому передбачається, що адаптивна середня залежить у більшій мірі від поточного рівня, трохи слабкіше від попереднього рівня і т.д. Коротше, ніж «старше» спостереження, тим менше воно повинно впливати на величину адаптивної ковзної середньої. Таким чином, вплив минулих спостережень повинний загасати в міру видалення від моменту, для якого визначається середня. Поставлена задача може бути вирішена за допомогою застосування спеціальної системи ваг, що враховує висунуту вимогу. Один з найпростіших прийомів згладжування ряду з обліком «застарілості» даних полягає в розрахунку спеціальних показників, що одержали назву експонентні середні. Останні визначаються за формулою

де Qt – експонентна середня (згладжене значення рівня ряду) на момент t; a – коефіцієнт, що характеризує вагу поточного спостереження при розрахунку експонентної середньої; причому 0 < a < 1.

Відповідно до цього вираження середній рівень ряду на момент t дорівнює лінійної комбінації двох величин: фактичного рівня для цього ж моменту і середнього рівня, розрахованого для попереднього періоду. Таким чином, середня тут формується під впливом усіх попередніх рівнів ряду від його початку і до моменту t включно. Отже, середня для моменту t являє собою лінійну комбінацію значень усіх спостережень від у1 до yt. Справді, формула (3.21) є рекурентною. Послідовно розкривши в ній зміст Qt-1, одержимо

де j означає число періодів відставання від поточного моменту t. Вираження (3.22) і (3.23) пояснюють, чому середня Qt названа експонентною: відносна вага окремого спостереження, рівна , убуває в міру видалення спостереження в минуле відповідно експонентної функції. Інакше кажучи, розглянута середня має експоненціально розподілені ваги. Так, якщо a = 0,1, то ваги, що додаються даним, складуть: 0,1 - для поточного спостереження, 0,1(1-0,1) = 0,09 – для попередніх (тобто для t-1), для члена t-2 одержимо вагу 0,1(1 – 0,1)2 = 0,081 і т. д. Якщо ж прийняти a = 0,3, то ваги відповідно складуть: 0,3; 0,21; 0,147; 0,1029 і т.д.

Вище ми говорили про те, що Qt є лінійною комбінацією всіх рівнів від y1 до yt. Однак вага, з якою бере участь кожний член ряду у визначенні Qt, як це тільки що було показано, залежить від величини a (параметра згладжування). При досить великому видаленні в минуле від моменту t відповідний рівень ряду практично не зробить скільки-небудь помітного впливу на значення Qt. Таким чином, експонентна середня фактично також визначається для деякого інтервалу згладжування. Останній же залежить від значення a.

Експонентна середня має одну цінну для прогнозування властивість. Вона легко адаптується до нових умов (при русі в часі). Особливо наочно це видно з наступної форми її запису, яку можна одержати з (1.39), перегрупувавши її члени, а саме:

У цьому вигляді вона виступає як деяке узагальнення адаптивної ковзної середньої (3.13). Експонентна середня на момент t тут виражена як експонентна середня попереднього моменту плюс поправка. Остання являє собою частку від різниці поточного спостереження й експонентної середньої минулого моменту.

Крім відзначеного, для розрахунку Qt по формулі (3.21) потребує величину Q0, яка відноситься до періоду, що передує наявному ряду динаміки. Інакше кажучи, виникає проблема визначення початкових умов. Якщо є відповідні дані, то в якості Q0 можна прийняти середнє значення рівнів, що відносяться до минулого, Якщо ж цієї величини немає, то в якості початкового можна практично прийняти перший рівень ряду, тобто Ql = у1. Вага, що приписується цьому рівню, швидко зменшується в міру віддалення від першого члена ряду, разом з цим швидко зменшується його вплив на розмір експонентної середньої. Однак не слід забувати, що вплив буде значним для тих значень експонентної середньої, які розташовані на початку ряду. Звідси застосування даного виду ковзної середньої може бути успішним тільки тоді, коли ряд має досить велике число рівнів.

У табл. 3.4 представлений приклад розрахунку для трьох варіантів коефіцієнта a.

Таблиця 3.4 - Приклад розрахунку експонентних середніх

 

	yt	 = 0, 1	 = 0, 2	 = 0,3
1	10,3	10,3	10,3	10,3
2	14,3	10,7	11,1	11,5
3	7,7	10,4	10,4	10,4
4	15,8	10,9	11,5	12,0
5	14,4	11,3	12,1	12,7
6	16,7	11,8	13,0	13,9
7	15,3	12,2	13,5	14,3
8	20,2	13,0	14,8	16,1
9	17,1	13,4	15,3	16,4
10	7,7	12,8	13,8	13,8
11	15,3	13,1	14,1	14,2
12	16,3	13,4	14,5	14,9
13	19,9	14,0	15,6	16,4
14	14,4	14,1	15,4	15,8
15	18,7	14,5	16,0	16,7
16	20,7	15,2	17,0	17,9

Можна показати, що математичні чекання величин Qt і yt збігаються, тобто що Е(Qt) = Е (yt). Крім того, відомо, що дисперсія експонентних середніх менше, ніж дисперсія вихідних спостережень:

де  — дисперсія значень yt. Як видно з (3.25), при високому значенні a дисперсія експонентних середніх незначно відрізняється від дисперсії спостережень. Чим менше a, тим більше цей коефіцієнт відіграє роль «фільтра», що поглинає коливання.

Уже відзначалося, що a може знаходитися в межах 0,1. Однак експерименти показують, що практично діапазон значень a обмежується величинами 0,1; 0,3. У більшості випадків гарні результати дає a = 0,1. При виборі значення для a необхідно враховувати, що для підвищення швидкості реакції на зміну процесу розвитку необхідно підвищити значення a (тим самим збільшується вага поточних спостережень), однак при цьому зменшуються «фільтраційні» можливості експонентної середньої.

Вище були приведені формули, що визначають експонентні середні першого порядку, тобто середні, одержувані безпосередньо при згладжуванні даних спостереження (первинне згладжування). Іноді при розробці статистичних моделей корисно удатися до розрахунку експонентних середніх більш високих порядків, тобто середніх, одержуваних шляхом багаторазового експонентного згладжування. Загальний запис експонентної середньої порядку k має вигляд:

Розглянуті елементарні прийоми статистичного аналізу динамічних рядів дають можливість здійснити перший крок у дослідженні тенденцій розвитку досліджуваного об'єкта, оскільки на їхній основі можна визначити деякі узагальнені характеристики руху за часом, перевірити наявність тенденції, нарешті, виявити в загальному вигляді тенденцію розвитку в минулому. Відповідні результати мають самостійне значення в рамках прогностичного аналізу. Однак, очевидно, для нас тут важливіше те, що ці ж результати можуть бути використані в якості допоміжних засобів при більш узагальненій характеристиці динаміки за допомогою формалізованого опису тенденцій розвитку.