Тема 3.6. Коефіцієнти кореляції
Фехнера, Пірсона і Чупрова
• обчислення коефіцієнта кореляції Фехнера
• обчислення коефіцієнтів взаємної спряженності
Основні терміни теми: коефіцієнти кореляції Фехнера, Пірсона, Чупрова.
1. Коефіцієнт кореляції Фехнера
Один із найпростіших показників для розрахунку кореляційної залежності пов’язаний з іменем відомого німецького вченого психофізика Фехнера.
Коефіцієнт Фехнера грунтується на застосуванні перших степенів відхилень всіх значень взаємозв’язаних ознак від середньої величини по кожній ознаці.
Коефіцієнт Фехнера вимірює тісноту зв’язку за наступною формулою:
,
де , – число співпадань та неспівпадань знаків відхилень значень фактичної і результативної ознак від своїх середніх, тобто , . При цьому фіксуються співпадання та неспівпадання знаків у відхиленнях від середньої у різних пар значень ознак.
Коефіцієнт Фехнера К змінюється в межах від –1 до +1. Якщо зв’язок між ознаками зворотний, то ; у випадку прямого зв’язку – . Чим ближче К до , тим зв’язок більш тісний.
Приклад 4. Розрахувати коефіцієнт Фехнера для наступних даних.
Таблиця 1
Стаж роботи, х Виробіток на 1 робітника, у Співпадання чи неспівпадання знаків
2,5 – 222 – С
2,5 – 223 – С
1 – 200 – С
1 – 202 – С
1 – 205 – С
5 + 244 + С
5 + 250 + С
3 + 234 + С
4,5 + 241 + С
4,5 + 244 + С
2,7 – 230 + Н
Розв’язання. Згідно співвідношення (8.4) коефіцієнт Фехнера
.
Величина К досить близька до величини коефіцієнта рангової кореляції Спірмена (прикл. теми 3.1), що свідчить про тісний зв’язок між ознаками х та у.
2. Коефіцієнти взаємної спряженності
Кореляційну залежність також можна виявити за допомогою коефіцієнтів взаємної спряженості Пірсона і Чупрова.
Якщо кожна із якісних ознак складається більше ніж із двох груп, то для визначення тісноти зв’язку можна використати коефіцієнт взаємної спряженості Пірсона. Цей коефіцієнт розраховується за формулою:
,
де q2 – показник взаємної спряженості.
Коефіцієнт Чупрова розраховується за формулою:
,
де , – число груп по кожній із ознак.
Показник взаємної спряженості обчислюють за формулою:
,
де – сума -го рядка, – сума -го стовпчика, – квадрат елемента, що стоїть на перетині -го рядка та -го стовпчика.
Розрахунок показника взаємної спряженості проводиться за такою схемою (табл. 2).
Таблиця 2.
Групи Групи ознаки В Разом
ознаки А
Разом
Розрахунок q2:
по першому рядку ;
по другому рядку ;
по третьому рядку .
Тоді .
Приклад 2. У табл. 3 приведені згруповані дані про вартість основних виробничих фондів х та об’єм реалізації продукції у. По кожній ознаці утворено три групи. По основних фондах: перша група менше 2,5 млн.грн.; друга група – від 2,5 до 3,5 млн.грн. і третя група – більше 3,5 млн.грн. По об’єму реалізації продукції: перша група менше 6,5 млн.грн.; друга група – від 6,5 до 9,5 млн.грн. і третя група – більше 9,5 млн.грн. Визначити коефіцієнти взаємної спряженості Пірсона та Чупрова.
Таблиця 3
Групи підприємств по об’єму реалізації Групи підприємств по вартості основних виробничих фондів, млн.грн., х Разом
продукції, млн.грн., у 1,5 – 2,5 2,5 – 3,5 3,5 – 4,5
3,5 – 6,5 48 18 3 69
6,5 – 9,5 15 30 13 58
9,5 – 12,5 — 1 7 8
Разом 63 49 23
Розв’язання. Розрахуємо показник взаємної спряженості q2:
по першому рядку ;
по другому рядку ;
по третьому рядку .
Тоді .
Підставляємо у відповідні формули і знаходимо:
коефіцієнт Пірсона: ;
коефіцієнт Чупрова: .