Тема 2.10.  - критерій Колмогорова-Смірнова

Призначення критерію. Критерій  використовується для співставлення двох розподілів:

а) емпіричного з теоретичним;

б) одного емпіричного розподілу з другим емпіричним розподілом.

Критерій дозволяє знайти точку, у якій сума нагромаджених розбіжностей між двома розподілами є найбільшою, і оцінити достовірність цієї розбіжності.

Описання критерію

Якщо в методі  ми співставляємо частоти двох розподілів окремо за кожним розрядом, то тут ми співставляємо спочатку частоти по першому розряду, далі за сумою першого і другого розрядів, далі за сумою першого, другого і третього розрядів і т.д. Таким чином ми співставляємо кожен раз нагромаджені до даного розряду частоти.

Якщо розбіжність між двома розподілами істотні, то у якийсь момент різниця нагромаджених частот досягає критичного значення, і ми зможемо визнати різницю статистично достовірною. У формулу критерію  включається ця різниця. Чим більше емпіричне значення  , тим більш істотною є різниця.

Гіпотези

  Різниці між двома розподілами недостовірні (судячи за точкою максимально нагромадженої різниці між ними).

  Різниці між двома розподілами достовірні (судячи за точкою максимально нагромадженої різниці між ними).

Обмеження критерію 

1. Критерій вимагає, щоб вибірка була достатньо великою. При співставленні двох емпіричних розподілів, необхідно, щоб  Співставлення емпіричного розподілу з теоретичним іноді допускається 

2. Розряди мають бути упорядковані за зростанням або спаданням певної ознаки.

Алгоритм

Розрахунок абсолютної величини різниці  між емпіричним і рівномірним розподілом.

1. Занести в таблицю найменування розрядів і відповідних їм емпіричних частот (перший стовпець).

2. Розрахувати відносні емпіричні частоти за формулою:

 

де  – емпірична частота даного розряду;  – загальна кількість спостере¬жень.

Занести результати у другий стовпець.

3. Підрахувати нагромаджені емпіричні відносні частоти

 

де  – відносна частота, нагромаджена на попередніх розрядах;  – порядковий номер розряду;  – емпірична відносна частота даного  -го розряду.

Занести результати у третій стовпець таблиці.

4. Підрахувати нагромаджені теоретичні відносні частоти за формулою

 

де  – теоретична відносна частота, нагромаджена на попередніх розрядах;  – порядковий номер розряда;  – теоретична відносна частота даного розряду.

Занести результати в четвертий стовпець таблиці:

5. Обчислити різниці між емпіричними і теоретичними нагромадженими відносними частотами у кожному розряді:

6. Записати в п’ятий стовпець абсолютні величини одержаних різниць. Позначити їх  .

7. Визначити у п’ятому стовпці найбільшу абсолютну величину різниці –  .

8. За таблицями знайти критичне значення  для даної кількості  . Якщо  дорівнює критичному значенню  або більше його, то різниці між розподілами достовірні.

Алгоритм

Розрахунок критерію  при співставленні двох емпіричних розподілів

1. Занести у таблицю найменувань розрядів і відповідні їм емпіричні частоти, одержані в розподілі 1 (перший стовпець) і в розподілі 2 (другий стовпець).

  2. Підрахувати емпіричні відносні частоти по кожному розряду для розподілу 1 за формулою:

 

де  – емпірична частота у даному розряді;  – кількість спостережень у 1-й вибірці.

  Занести емпіричні відносні частоти у 3-й стовпець.

  3. Підрахувати емпіричні відносні частоти по кожному розряду для розподілу 2 за формулою:

 

де  – емпірична частота у даному розряді;  – кількість спостережень у 2-й вибірці.

Занести емпіричні відносні частоти розподілу 2 у четвертий стовпець таблиці.

  4. Підрахувати нагромаджені емпіричні відносні частоти для розподілу 1 за формулою:

 

де  – відносна частота, нагромаджена у попередніх розрядах;  – порядковий номер розряду;  – відносна частота даного розряду.

Одержані результати записати у п’ятий стовпець.

5. Підрахувати нагромаджені емпіричні відносні частоти для розподілу 2 за тою формулою і записати результат у шостий стовпець.

6. Підрахувати різниці між нагромадженими відносними частотами по кожному розряду.

Записати в сьомий стовпець абсолютні величини різниці: Позначити їх як  .

7. Визначити за сьомим стовпцем найбільшу абсолютну величину різниці  .

8. Підрахувати значення критерію  за формулою

 

9. За таблицями визначити, якому рівню статистичної значимості відповідає одержане значення  .

Якщо  різниця між розподілами достовірна.