Тема 1.13. Статистичні точкові оцінки та їх властивості

• поняття точкової статистичної оцінки

• властивості точкових статистичних оцінок

Основні терміни теми: точкова статистична оцінка, переконлива, незміщена, ефективна точкова оцінка.

Нехай потрібно вивчити генеральну сукупність відносно кількісної ознаки  . Припустимо, що вдалося встановити закон розподілу цієї ознаки. Тоді виникає задача оцінки параметрів, якими визначається цей розподіл. Наприклад, якщо наперед відомо, що досліджувана ознака розподілена нормально, то необхідно оцінити (наближено знайти) математичне сподівання  та середньоквадратичне відхилення  , оскільки ці два параметри повністю визначають нормальний розподіл. Якщо ж є підстави вважати, що ознака має, наприклад, розподіл Пуассона, то необхідно оцінити параметр  , яким цей розподіл визначається.

Як правило, у розпорядженні дослідника є лише дані вибірки, наприклад, значення (варіанти)  ознаки  , отримані в результаті спостережень. Тому оцінювані параметри генеральної сукупності виражають через ці статистичні дані.

Вибіркова характеристика, що використовується як наближене значення невідомої генеральної характеристики, називається її точковою статистичною оцінкою.

Так, вибіркова середня  використовується як наближене значення математичного сподівання  , а вибіркова дисперсія  – як наближене значення генеральної дисперсії  .

Позначимо через  деяку характеристику генеральної сукупності. Її значення невідоме, однак запропонований алгоритм або формула знаходження точкової оцінки  цієї характеристики за результатами  спосте¬режень ознаки  . Позначивши літерою  цей алгоритм, можемо записати

 . (1)

Підставиши в (1) замісь  конкретні результати спостережень, одержимо число, яке і приймають за наближене значення невідомої генеральної характеристики  . Знайти похибку цього наближення не можна, оскільки числове значення характеристики  невідоме. Щоб відповісти на запитання наскільки "доброю" є оцінка  , розглянемо її з іншої сторони.

Нехай у формулі (1)  не конкретні числа, а лише позначення тих результатів спостережень, які б ми могли отримати. Але результат кожного окремого спостереження ознаки  є випадковою величиною, тобто  є випадковими величинами, тому оцінка  теж буде випадковою величиною. Інтерпритація  як випадкової величини дозволяє сформулювати її власти-вості, якими повинна володіти оцінка, щоб її можна було вважати добрим наближенням невідомої генеральної характеристики. Це властивості перекон¬ливості, незміщенності та ефективності.

Переконливість. Статистична оцінка  генеральної характеристики  називається переконливою, якщо для будь-якого  виконується рівність

 . (2)

Пояснимо суть рівності (2). Нехай  – досить мале додатне число. Тоді рівність (2) означає, що чим більше число спростережень  , то тим більша впевненість (ймовірність) у незначному по абсолютній величині відхиленні оцінки  від невідомої генеральної характеристики  . Іншими словами, чим більший обсяг статистичної інформації, тим "ближчі ми до істини". Якщо це так, то статистична оцінка переконлива.

"Добра" оцінка обов’язково повинна володіти властивістю перекон¬ливості. У противному випадку така оцінка не має практичного змісту: збільшення обсягу вибірки не буде наближати нас до "істини".

Незміщенність. Оцінка  генеральної характеристики  називається незміщеною, якщо для будь-якого фіксованого числа спостережень  виконується рівність

 , (3)

тобто математичне сподівання оцінки дорівнює невідомій характеристиці.

Пояснимо зміст рівності (3) у термінах вибірки. Для цього зафіксуємо об’єм вибірки  ; зробимо всі можливі вибірки з поверненням із генеральної сукупності; для кожної із них знайдемо значення оцінки  , а потім середнє цих значень – це  . Рівність (3) означає: якщо оцінка незміщена, то при будь-якому фіксованому  середнє всіх значень оцінки, обчислене для всеможливих вибірок об’єму  , тобто  співпаде із точним значенням генеральної характеристики  .

Ефективність. Незміщена оцінка  генеральної характеристики  називається ефективною, якщо вона серед всіх інших незміщених оцінок тієї ж самої хактеристики володіє найменшою дисперсією.