Тема 1.11. Статистичні характеристики
варіаційного ряду
• обчислення характеристик варіаційного ряду
• обрунтування характеристик варіаційного ряду
Основні терміни теми: вибіркова середня, дисперсія, середньо¬квадратичне відхилення, початкові та центральні моменти, коефіцієнти асиметрії та ексцесу.
Нехай вивчається дискретна генеральна сукупність об’єму відносно кількісної ознаки і із цієї сукупності зроблено вибірку об’ємом . Наведемо числові характеристики вибіркової сукупності.
Вибірковою середньою називають середнє арифметичне спостере¬жуваних значень (варіант) вибіркової сукупності. Якщо всі варіанти , , ..., вибірки різні, то
. (1)
Якщо варіанти , , ..., ознаки мають відповідно частоти , , ..., , причому , – об’єм вибірки, то
або . (2)
Обчислена за формулою (2) вибіркова середня називається ще зваженою, так як частоти називаються вагами, а операція множення на – зважуванням.
При обчисленні вибіркової середньої для інтервального варіаційного ряду за приймають середину -го частинного інтервалу, а за – відповідну інтервальну частоту. У цьому випадку значення середніх величин, обчислених за формулами (1) і (2), можуть не співпадати, так як у формулі (2) значення випадкової величини всередині кожного інтервалу приймаються рівними серединам інтервалів, в той час як ці значення можуть довільно розташо¬вуватись в інтервалі.
Вибіркова середня є величиною, навколо якої групуються інші результати спостережень.
Вибірковою дисперсією називають середнє арифметичне квадратів відхилень спостережуваних значень ознаки від їх середнього значення :
. (3)
Якщо дані спостережень представлені у вигляді дискретного варіаційного ряду у якому варіанти , , ..., ознаки мають відповідно частоти , , ..., , причому , – об’єм вибірки, то дисперсія визнача¬ється формулою:
. (4)
На практиці для обчислення вибіркової дисперсії часто використовують іншу формулу:
. (5)
Обчислена за формулами (4) і (5) дисперсія називається зваженою вибірковою дисперсією.
Дисперсія є мірою розсіювання випадкової величини навколо свого середнього значення. Вибіркова дисперсія володіє одним суттєвим недоліком: якщо вибіркова середня виражається у тих самих одиницях, що й досліджувана ознака, то із формул, які задають дисперсію випливає, що дисперсія виражається вже у квадратних одиницях. Цей недолік можна усунути, якщо за міру розсіювання взяти квадратний корінь із дисперсії.
Вибірковим середньоквадратичним відхиленням називають арифме¬тичний квадратний корінь із вибіркової дисперсії:
. (6)
Середня вибіркова і дисперсія є частковим випадком більш загального поняття – моменту варіаційного ряду.
Початковим вибірковим моментом порядку називаються середнє арифметичне -х степенів спостережуваних значень випадкової величини
, (7)
де – об’єм вибірки.
Центральним вибірковим моментом порядку називається середнє арифметичне -х степенів відхилень спостережуваних значень випадкової величини від їх середнього арифметичного
, (8)
де – об’єм вибірки.
Із формул (7) і (8) випливає, що вибіркова середня є початковим момен¬том 1-го порядку: , а дисперсія – центральним моментом 2-го порядку: .
Центральні вибіркові моменти виражаються через початкові:
,
, (9)
.
Вибірковим коефіцієнтом асиметрії називається число , що визна¬чається співвідношенням:
. (10)
Вибірковий коефіцієнт асиметрії служить для визначення асиметрії (несиметричності) полігону варіаційного ряду. Якщо полігон асиметричний, то одна із його віток, починаючи із вершини, має пологіший спуск, ніж інша.
Якщо , то пологий спуск спостерігається зліва (див. рис. 1.5 а), а якщо , – то справа (рис. 1.5 б). Для симетричного полігону .
Вибірковим коефіцієнтом ексцесу називається число , що визначається співвідношенням:
. (11)
Вибірковий коефіцієнт ексцесу використовується для порівняння поло¬гості вершини вибіркового розподілу з нормальним розподілом. Для нормаль¬ного розподілу . Якщо вибірковому розподілу відповідає від’ємний ексцес, то відповідний полігон має більш "пологу" вершину порівняно із нормальною кривою (рис. 1.6 а). У випадку додатного ексцесу полігон "крутіший" порівняно із нормальною кривою (рис.1.6 б).
Приклад. Обчислити статистичні характеристики варіаційного ряду, пода¬ного таблицею 1.2, прийнявши за значення варіант середини відповідних частинних інтер¬валів.
Розв’язання. Інтервальний варіаційний ряд у даному випадку має вигляд:
6,68 6,70 6,72 6,74 6,76 6,78 6,80 6,82 6,84
2 15 17 44 52 44 14 11 1
Статистичні характеристики варіаційного ряду обчислимо, використовуючи початкові і центральні вибіркові моменти. За формулою (7) обчислимо початкові моменти:
а за формулою (9) – центральні моменти:
Тоді:
вибіркова середня: ;
вибіркова дисперсія ;
вибіркове середньоквадратичне відхилення ;
вибірковий коефіцієнт асиметрії ;
вибірковий коефіцієнт ексцесу .
25 26 27 28 29 30 Наверх ↑