Тема 2.7.  Т – критерій Вілкоксона

Призначення критерію

Критерій застосовується для порівняння показ¬ників, виміряних у двох різних умовах на одній і тій са¬мій вибірці піддослідних

Він дозволяє установити не лише напрямок змі¬ни, але і їх вираженість. За його допомогою ми визначаємо, чи є зсув показників в якомусь напрямку більш інтенсивним ніж у другому.

Описання критерію Т

Цей критерій використовується у тих випадках, коли ознаки виміряні принаймні за шкалою порядку, і зсуви між другим і першим замірами також можуть бу¬ти упорядкованими. Для цього вони мають змінюватися у досить широкому діапазоні. У принципі, можна вико¬ристати критерій  і у тих випадках, коли звуси приймають лише три значення;    але  тоді  критерій  нічого нового не додасть до тих висновків, які можна дістати за допомогою критерію знаків. Ось якщо зсуви змінюються, скажемо від  до  тоді є смисл їх ранжувати і порівнювати ранги.

Суть методу полягає у тому, що ми порівнюємо вираженість зсувів у тому і другому напрямку за абсо-лютною величиною Для цього ми спочатку ранжуємо всі абсолютні величини зсувів, а далі сумуємо ранги. Якщо зсуви і у позитивну і в негативну сторону відбу¬ваються випадково, то суми рангів абсолютних значень їх будуть приблизно рівні. Якщо інтенсивність зсувів в одному із напрямків переважає, то сума рангів абсолют¬них значень зсувів у протилежному напрямку буде зна¬чно нижчою, ніж це могло би бути при випадкових змі¬нах.

Спочатку ми виходимо із припущення про те, що типовим зсувом буде зсув у сторону напрямку, який зу¬стрічається частіше, а нетиповим, або рідким, зсувом -зсув, який зустрічається рідше.

Гіпотези

 : Інтенсивність зсувів у типовому напрямку ж більша інтенсивності зсувів у нетиповому напрямку.

 : Інтенсивність зсувів у типовому напрямку більша інтенсивності зсувів у нетиповому напрямку. Обмеження у застосуванні критерію Т Вілкоксона

1) Мінімальна кількість піддослідних, яким  зроблено заміри у двох умовах – 5 чоловік. Максимальна кількість піддослідних – 50 чо¬ловік, що диктується верхньою границею на¬явних таблиць критичних значень.

2) Нульові зсуви із розгляду виключаються, і кі¬лькість спостережень  зменшується на кіль¬кість цих нульових зсувів. Можна обійти це обмеження, якщо сформулювати гіпотези, які включають відсутність змін, наприклад. „Зсув у напрямку збільшення значень перевищує зсув у напрямку зменшення значень і тенден¬цію збереження їх на попередньому рівні".

Приклад

У вибірці курсантів військового училища (юнаки у віці від 18 до 20 років) вимірювалась здатність до утримання фізичного вольового зусилля на динамомет¬рі. Спочатку у піддослідних вимірювалась максимальна м'язова сила кожної із рук, а на другий день їм пропо¬нувалось витримати на динамометрі з рухомою стріл¬кою м'язове зусилля , яке дорівнює половині максима¬льного м'язового зусилля даної руки. Відчувши втому, піддослідний повинен був повідомити про це експери¬ментатору, але не зупиняти дослід, переборюючи утому і неприємні відчуття - „боротися, доки воля не вичерпа¬ється". Дослід проводився двічі; спочатку із звичайною інструкцією, а потім, після того, як піддослідний запов-нив питання самооцінки волевих якостей за методикою А.Ц.Пуні, йому пропонувалось представити собі, що він уже добився ідеалу у розвитку волевих якостей, і продемонструвати відповідне ідеалу волеве зусилля. Чи підтвердилась гіпотеза експериментатора про те, що звертання до ідеалу сприяє зростанню волевого зусил¬ля?

Розрахунок критерію Т при співставленні замірів фізичного вольового зусилля

Код імені піддослідного        Тривалість утримання зусилля на динамометрі (с)       Різ¬ниця         Абсолю¬тне зна¬чення різниці       Ранговий

номер різниці

          До вимірю¬вання вольових якостей і звертання до ідеалу ( ) Після вимі¬рювання вольових якостей і звернення до ідеалу ( )                             

1        Г.         64        25        -39       39        11

2        Кос.     77        50        -27       27        8

3        Крив.   74        77        +3        3          1

4        Кур.     95        76        -19       19        6

5        Л.         105       67        -38       38        965

6        М.        83        75        -8         8          4

7        Р.         73        77        +4        4          2,5

8        С.         75        71        -4         4          2,5

9        Т.         101       63        -38       38        9,5

10      X.        97        122       +25      25        7

11      Ю.       78        60        -18       18        5

Сума              66

Для підрахунку цього критерію немає необхідно¬сті упорядковувати ряди значень у напрямку зростання ознаки. Можна використати алфавітний список, як у да¬ному випадку.

Перший крок у підрахунку критерію Т – відні¬мання кожного індивідуального значення „до" із зна¬чення „після". У таблиці ми дістали 8 різниць від'ємні і лише 3 – додатні. Це означає, що у 8 піддослідних три-валість утримання м'язового зусилля у другому замірі зменшилась, а у 3 збільшилась. Ми маємо той випадок, що зараз ми не можемо сформулювати статистичну гіпотезу, яка відповідає вихідному припущенню дослід¬ника. Передбачалось, що звертання до ідеалу буде збі¬льшувати тривалість м'язового зусилля, а експеримен¬тальні дані свідчать, що лише у 3 випадках з 11 цей по¬казник дійсно збільшився. Ми можемо сформулювати лише гіпотезу, яка припускає неістотність зсуву цього показника у сторону зменшення.

Сформулюємо гіпотези.

 : Інтенсивність зсувів у сторону зменшення тривало¬сті м'язового зусилля не перевищує інтенсивності зсувів у сторону його збільшення.

 : Інтенсивність зсувів у сторону зменшення тривало¬сті м'язового зусилля перевищує інтенсивності зсувів у сторону його збільшення.

На слідуючому кроці всі зсуви, незалежно від їх знаку, мають бути проранговані за вираженістю. Мен-шому значенню відповідає менший ранг. При цьому су¬ма рангів дорівнює 66, що відповідає розрахунковій:

 .

Тепер відмітимо зсуви, які є нетиповим, у даному випадку – позитивними. Сума рангів цих рідких зсувів і складає фактичне значення критерію Т:

 ,

де  – рангові значення зсувів з більш рідким знаком. Отже, у даному випадку

 .

За таблицею знаходимо критичне значення Т для  :

 

Побудуємо „вісь значимості"

 

Зона значимості у даному випадку простягається вліво. Фактичне значення Т попадає в зону невизначе¬ності; .

Відповідь:  відкидається. Інтенсивність нега¬тивного зсуву показника фізичного вольового зусилля перевищує інтенсивність позитивного зсуву ( ).

Отже, досліднику прийдеться визнати, що трива¬лість утримання м'язового зусилля у другому замірі знижується, і цей зсув невипадковий. Інструкція, яка орієнтувала піддослідного на відповідність ідеалу у роз¬витку волі, виявилась значно менше потужним факто¬ром, ніж якась інша сила - можливо, м'язова втома, мо¬жливо розчарування у собі або в можливості цього пси¬хологічного експерименту. А можливо у момент друго¬го заміру перестає діяти якийсь сильний фактор, який був активним на початку? На всі ці питання статистичні методи не можуть дати відповідь, якщо в схему експе¬рименту не включена контрольна група - у даному ви¬падку, вибірка, урівноважена з експериментальною гру¬пою за всіма характеристиками (пол, вік, професія, міс¬це навчання), у якої просто би повторно зміряли вольове зусилля через такий же проміжок часу, без призиву від¬повідного ідеалу про розвиток волі.

АЛГОРИТМ Підрахунку критерію Т Вілкоксона

1. Скласти список піддослідних  у якомусь порядку.

2. Обчислити різницю між індивідуальними зна¬ченнями у другому і першому замірах. Визначи¬ти, що буде вважатися „типовим" зсувом і сфор¬мулювати відповідні гіпотези.

3. Перевести різниці в абсолютні величини і запи¬сати їх окремим стовпцем.

4. Прорангувати абсолютні величини різниць, на¬числяючи меншому значенню менший ранг. Пе-ревірити чи співпала отримана сума з розрахун¬ковою.

5. Відмітити якось ранги, які відповідають „нети¬повому" напрямку.

6. Підрахувати суму цих рангів.

7. Знайти критичне значення Т для заданого п. Якщо  менше або рівне  зсув у „типову" сторону за інтенсивністю достовірно вищий.

Тема 2.8. Виявлення розбіжностей в розподілі ознаки

Обґрунтування задачі порівняння ознаки

Розподіли можуть відрізнятися за середніми, дисперсіями, асиметрії, ексцесу і за сукупністю цих параметрів.

 

На рисунку представлені два розподіли. Розподіл 1 характеризується меншим діапазоном варіативності й меншою дисперсією, ніж розподіл 2. У розподілі 1 частіше зустрічаються значення ознаки, близькі до середнього, а у розподілі 2 частіше зустрічаються більш високі й більш низькі, ніж середнє значення ознаки.

  Часто буває корисним співставлення одержаного емпіричного розподілу з теоретичним. Наприклад, для того аби показати, розподіл нормальний або ні.

  Традиційні критерії визначення розбіжності або співпадання розподілів – це метод  Пірсона й критерій  Колмогорова–Смірнова.

  Обибва методи вимагають дуже старанного групування даних. Крім цього, можливості цих критеріїв у повній мірі проявляються на великих вибірках  . Але вони не замінимі у слідуючи двох випадках:

1) у задачах, де вимагається доведення не випадковості переваг в виборі з кількох альтернатив;

2) в задачах, що вимагають встановлення максимальної розбіжності між двома розподілами, яка потім використовується для перегрупування даних з метою використати критерій  -Фішера.