ТЕМА 2.1. Поняття статистичної гіпотези,

критерію та критичної області.

Помилки першого та другого роду

• поняття статистичної гіпотези

• поняття критерію і критичної області

Основні терміни теми: нульова, альтернативна гіпотеза, помилки першого і другого роду, статистичний критерій, спостережуване і критичне значення критерію, критична область.

В економіці, соціології та ряді інших галузей нау¬ки і техніки для з’ясування того чи іншого випадкового факту часто ви¬словлюють деяке припущення (гіпотезу), яке можна перевірити статистично, тобто спираючись на результати спостережень у випадковій вибірці.

Поруч з висунутою гіпотезою розглядають також протилежну до неї. Якщо висунута гіпотеза буде відхилена, то справедлива протилежна гіпо¬теза. Тому ці гіпотези розрізняють. Висунуту гіпотезу  називають нульовою (основною) гіпотезою, а гіпотезу  , яка суперечить  , називають альтер-нативною (конкурентною).

Розрізняють гіпотези, які складаються з одного або декількох при¬пущень. Простою називають гіпотезу, яка складається тільки з одного припущення. Складною називають гіпотезу, яка складаєть¬ся із скінченої або нескінченої кількості простих гіпотез. Наприклад, якщо  – параметр показникового закону розподілу, то гіпотеза  :  – проста, а гіпотеза  :  – складна. Вона складається з безлічі простих гіпотез  :  , де  – будь-яке дійсне число, більше 1. Висунута гіпотеза може бути вірною або ні, тому виникає необхідність її перевірки. Оскільки перевірку проводять статистичними методами на основі вибірки, яка складається з п незалеж¬них випадкових спостережень  над випадковою величиною  , то її називають статистичною.

Слід мати на увазі, що при стати¬стичній перевірці гіпотези можливі помилки двох типів. Помилка пе-ршого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза. Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправи¬льна гіпотеза.

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину  , точний або наближений закон роз¬поділу якої відомий. Цю величину називають статистичним критерієм (або просто критерієм чи статистикою). При перевірці гіпотези за результатами вибірок обчислюють значення величин, які входять до складу критерію, і таким чином отримують після відповідних обчислень спостережуване значення  критерію.

Після вибору певного критерію множина всіх його можливих значень розбивається на дві підмножини  і  , причому  , таких, що  складається із значень критерію при яких  приймається, а  – із значень кри¬терію при яких  відхиляється. Підмножину  називають кри-тичною областю, а підмножину  – областю прийняття гіпотези (або областю допустимих значень).

Основний принцип статистичної перевірки статистичних гіпо¬тез можна сформулювати так: якщо спостережуване значення крите¬рію належить критичній області – гіпотезу  відхиляють, якщо спостережуване значення критерію належить області допустимих значень – гіпотезу  приймають.

Оскільки критерій  – випадкова величина, то всі її можливі значення належать деякому інтервалу числової прямої (або всій чи¬словій прямій). Отже, існують точки, які розділяють  і  . Такі точки називають критичними точками. Їх позначають  .

Розрізняють односторонню (правосторонню і лівосторонню) і дво¬сторонню критичні області.

Правосторонньою називають кри¬тичну область, яка визначається нерівністю  , де  :

           

Лівосторонньою називають критичну область, яка визначається нерівністю  , де  :

 Двосторонньою називають критичну область, яка визначається сукупністю нерівностей: 

           

Зокрема, якщо критичні точки  і  відрізняються знаком, то двостороння критична область визначається нерівністю  :

Розглянемо правосторонню критичну область. Відповідно до означення, правостороння критична область визначається нерівністю  . Тому для її відшукання досить знайти критичну точку. З цією ме¬тою задамо досить малу ймовірність – рівень значущості  . Після цього шукаємо критичну точку  виходячи з вимоги, щоб при умо¬ві справедливості нульової гіпотези виконувалась рівність:

 . (1)

Для кожного практично важливого критерію складено спеціальні таблиці за допомогою яких знаходять критичну точку, яка задовольняє рівність (1). Після того, як критична точка знайдена, обчислюють за даними вибірок спостережуване значення критерію і, якщо виявиться, що  гіпотезу  відхиляють, а у протилежному випадку – приймають.