Тема 1.1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ. ЙМОВІРНІСТЬ

• поняття випадкової події

• класичне означення ймовірності

Основні терміни теми: теорія ймовірностей, випадкова, неможлива і достовірна подія, відносна частота, ймовірність, рівноможливі події.

1. Випадкові події. Теорія ймовірностей – це наука про випадкові події. Поняття події належить до основних понять і не означається. Подією можна вважати все те, що може відбутися або не відбутися при здійснені певного комплексу умов; кожне таке здійснення називають дослідом (випробуванням). Наприклад, подія може полягати у випаданні герба при підкиданні монети; у цьому випадку випробуванням буде служити підкидання монети. Подія може полягати в тому, що перепону на шляху випадковий перехожий обійде з правого боку; у цьому випадку дослідом буде служити обхід перепони. Але випробування не обов’язково має бути пов’язаний з людською діяльністю. Наприклад, подія може полягати в тому, що в якийсь день над містом пройде дощ; тоді випробування буде полягати просто в настанні дня.

Характерною особливістю випадкової події є те, що в результаті випробування вона може як відбутися так і не відбутися; цим вона різниться від подій достовірних, які відбуваються обов’язково. Випадковість події пов’язана з тим, що багато факторів, які впливають на її результат не задаються. Ця неповнота інформації в одних випадках є принциповою (наприклад, у військових діях або в азартних іграх) або недоступною сучасному розвитку науки (наприклад, при прогнозуванні погоди). Припущення про непередба¬чуваність результатів окремих дослідів лежить в основі ряду наук, таких як генетика, соціологія і інші.

Закономірності випадкових подій проявляються при багаторазовому повторенні дослідів. Наприклад, неможливо передбачити результат одиничного підкидання монети; може випасти як герб, так і цифра. Нікого особливо не подивує, якщо при десятикратному підкиданні герб випаде всього два рази. Але якщо при 1000-кратному підкиданні герб випаде всього 90 раз, то кожен не безпідставно скаже, що щось не у порядку або з монетою, або з підкиданням; адже при симетричних умовах ні герб ні цифра не мають переваги один перед одним, тобто вони мали б випасти приблизно однаково часто. Безумовно, після 1000 підкидань герб не обов’язково випаде рівно 500 разів, він може випасти і 490, і 525 разів, але не 90! Так же само результат одного опитаного студента не дозволяє зробити висновок про підготовку до заняття всієї групи. Тому якщо мова йде про закономірності випадкових подій, то мається на увазі масові випадкові події, коли під масовістю розуміють багаторазове повторення.

2. Ймовірність. Навіть у повсякденному житті ми часто називаємо одну подію дуже ймовірною, а другу малоймовірною; при можливості багато¬разового повторення дослідів це означає, що перша подія буде відбуватися часто, а друга – рідко. Характерною рисою ймовірності є те, що у ній говориться не просто про більшу чи меншу ймовірність події, а про точне числове значення цієї ймовірності, тобто ймовірність це величина, яка характеризує частоту настання події при багаторазовому повторенні дослідів.

Допустимо, що монету підкидали 1000 разів і герб випав 490 разів. Тоді відношення  називається відносною частотою випадання герба у даній серії дослідів. Нехай монету підкидали 10000 разів і герб випав 5027 разів; тоді відносна частота буде дорівнювати 0,5027. Зрозуміло, що якщо монета симетрична і число підкидань збільшувати, то відносна частота випадання герба має наближатися до 0,5, оскільки ні одна сторона не повинна мати перевагу перед другою. Це число 0,5 і називають ймовірністю випадання герба при підкиданні монети.

У загальному випадку означення аналогічне. Нехай випадкова подія, яку ми позначимо буквою  А , після здійснення серії з  незалежних випробувань, відбулась  разів; тоді відношення  називається відносною частотою події А у даній серії дослідів. Число близьке до відносної частоти події А, якщо число випробувань достатньо велике, називається ймовірністю випадкової події А і позначається  .

Це дає метод емпіричного підрахунку ймовірності у тих випадках, коли їх теоретичний підрахунок завдає труднощів. Наприклад, з статистики народжуваності відома з великою точністю ймовірність народження хлопчика: вона дорівнює 0,512, хоча в окремі роки і в різних місцевостях, дещо може відхилятися від цієї величини. Це число не дає можливості у кожному окремому випадку передбачити, хто саме народиться – хлопчик чи дівчинка, можна лише сказати, що народження хлопчика ймовірніше. Але можемо стверджувати, що з мільйона новонароджених число хлопчиків буде близьким до 512 тисяч.

У багатьох випадках ймовірність обчислюють за допомогою підрахунку шансів. Загальна схема підрахунку така. Нехай в результаті випробування має відбутися який-небудь один і лише один з n результатів, причому всі ці результати однаково можливі .Тоді ці результати називають шансами.

Означення. Імовірністю здійснення події А називається відношення числа можливих результатів випробування, що сприяють події А, до числа всіх можливих результатів:

 ,

де n – загальна кількість однаково можливих подій,  – число елементарних подій, що сприяють події А.

Задача 1. З урни, в якій 4 білих, 3 чорних і 7 червоних куль, виймають одну кулю. Знайти ймовірність того, що вона буде білою.

Розв’язування. Нехай А –  подія, що полягає в появі білої кулі. У цій задачі всього куль (випадків)  , а подій, що сприяють події А,  . Отже, ймовірність події А дорівнює 

Задача 2. Яка ймовірність того, що при одному підкиданні грального кубика випаде число очок, що ділиться на 3?

Розв’язування Нехай А – подія, яка полягає в тому, що випаде число очок, що ділиться на 3. Всього випадків може бути  (випадають 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок). З цих випадків 2 сприяють появі події А  (коли випаде 3 або 6 очок). Отже,  .