Тема 1.14. Точкові та інтервальні оцінки

математичного сподівання та дисперсії

• точкові оцінки математичного сподівання та дисперсії

• інтервальні оцінки математичного сподівання та дисперсії

Основні терміни теми: ”виправлена” дисперсія, ”виправлене” середньоквадратичне відхилення, інтервальна оцінка, точність оцінки, надійність оцінки.

На відміну від середньої вибіркової  , яка є незміщеною оцінкою математичного сподівання, вибікова дисперсія  – зміщена оцінка генеральної дисперсії  . Тому за незміщену оцінку генеральної дисперсії приймають "виправлену" вибіркова дисперсію  , яку обчислюють за формулою:

 ,

де  – об’єм вибірки.

Хоча "виправлена" вибіркова дисперсія є переконливою та незміщеною оцінкою генеральної дисперсії, однак вона не є ефективною оцінкою для ознаки, розподіленої за нормальним законом розподілу.

На практиці "виправленою" вибірковою дисперсією користуються, якщо об’єм вибіррки  .

Поряд із "виправленою" вибірковою дисперсією розглядають "виправ¬лене" вибіркове середньоквадатичне відхилення, яке обчислюють за формулою:

 .

Знайдена оцінка  деякої генеральної характеристики  є лише її наближеним значенням. Якщо для досить великої кількості спостережень точність наближення буває достатною для практичних висновків (в силу переконливості, незміщенності та ефективності), то для вибірок малого об’єму питання про точність оцінок досить важливе. Тому у таких випадках користуються інтервальними оцінками.

Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Нехай по вибірці знайдена статистична точкова оцінка  невідомої генеральної характеристики (параметра)  . Зрозуміло, що  тим точніше визначає параметр  , чим менша абсолютна величина різниці  . Іншими словами, якщо  і  , то чим менше  , тим оцінка точніша. Таким чином, додатне число  характеризує точність оцінки.

Однак статистичні методи не дозволяють стверджувати, що оцінка  задовольняє нерівності  ; можна лише говорити про ймовірність  , з якою ця нерівність справджується.

Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки  по  називають ймовір¬ність  , з якою здійснюється нерівність  . На практиці надійність оцінки задається наперед, причому у якості  беруть число близьке до одиниці, наприклад, 0,95; 0,99; 0,999.

Нехай ймовірність того, що  , дорівнює  , тобто

  або  . (1)

Співвідношення (1) слід розуміти так: ймовірність того, що інтервал  містить у собі (покриває) невідомий параметр  , дорівнює  .

Довірчим називають інтервал  , який покриває невідомий параметр  із заданою ймовірністю  .

На практиці досить часто зустрічаються нормально розподілені випадкові величини, тому розглянемо інтервальні оцінки для параметрів нормального розподілу – математичного сподівання  та середнього квадратичного відхилення  .

Довірчим інтервалом для математичного сподівання  при відомому  є інтервал

 , (2)

де  – точність оцінки, а число  визначається із рівності  ,  – рівень надійності,  – об’єм вибірки. Тут  – функція Лапласа, значення якої знаходять по табл. 2 додатку.

Приклад 1. Випадкова величина розподілена за нормальним законом розподілу з параметром  . Зроблена випадкова вибірка з поверненням об’ємом  . Знайти з надійністю  точність вибіркової середньої та інтервальну оцінку для невідомого математичного сподівання  .

Розв’язання. Визначимо величину  для рівня надійності  , скориставшись рівнянням  . За таблицею значень функції Лапласа (див табл. 2 додатку) знаходимо  . Тоді точність інтервальної оцінки

 .

Таким чином,

  або  .

Це означає, що з ймовірністю 95% можна бути впевненим в тому, що інтервал  накриє невідомий параметр  , або з ймовірністю 95% можна бути впевненим у тому, що обчислена за вибіркою середня  дає значення параметра  з точністю 0,784.

Довірчим інтервалом для оцінки математичного сподівання при невідо¬мому  є інтервал

 , (3)

де  – точність оцінки,  – "виправлене" вибіркове середньоквадра¬тичне відхилення, число  – визначається по табл. 3 додатку по кількості спостережень  та рівні надійності  .

Приклад 2. На контрольних випробуваннях 16 освітлювальних ламп були визначені: середня тривалість роботи лампи  год та середнє квадратичне відхилення  год. Вважаючи, що термін служби кожної лампи є нормально розполіленою випадковою величиною, визначити з надійністю 0,9 довірчий інтервал для математичного сподівання.

Розв’язання. У відповідності із формулою (3) для рівня надійності  і числа ступенів свободи  по таблиці 3 додатку знаходимо  . Тоді точність інтервальної оцінки

 ,

а границями довірчого інтервалу будуть

 ;

 .

Таким чином, з ймовірністю 0,9 можна бути впевненим у тому, що довірчий інтервал  накриє невідоме математичне сподівання, а середня вибіркова  год визначає значення математичного сподівання з точністю 8,765.

Довірчим інтервалом для оцінки середньоквадратичного відхилення  нормального розподілу є інтервал:

 , (4)

де  – ”виправлене” середньоквадратичне відхилення, вирахуване по вибірці об’ємом  ;  визначається по табл. 4 додатку по кількості спостережень  та рівні надійності  . Цей же інтервал використовують для оцінки дисперсії нормального розподілу, тільки відповідні межі інтервалу потрібно піднести до квадрату:

 .

Зауваження. Якщо  , то ліву межу довірчого інтервалу приймають рівною нулю.

Приклад 3. Кількісна ознака  генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою об’єму  обчислено ”виправлене” середньоквадра¬тичне відхилення  . Знайти довірчий інтервал, що покриває генеральну середньоквадратичне відхилення  з надійністю  .

Розв’язання. За таблицею 5 додатку для рівня значимості  і числа спостережень  знаходимо значення величини  ( ). Отже, довірчий інтервал такий:  або  .