Тема 1.11. Статистичні характеристики

варіаційного ряду

• обчислення характеристик варіаційного ряду

• обрунтування характеристик варіаційного ряду

Основні терміни теми: вибіркова середня, дисперсія, середньо¬квадратичне відхилення, початкові та центральні моменти, коефіцієнти асиметрії та ексцесу.

Нехай вивчається дискретна генеральна сукупність об’єму  відносно кількісної ознаки  і із цієї сукупності зроблено вибірку об’ємом  . Наведемо числові характеристики вибіркової сукупності.

Вибірковою середньою  називають середнє арифметичне спостере¬жуваних значень (варіант) вибіркової сукупності. Якщо всі варіанти  ,  , ...,  вибірки різні, то

 . (1)

Якщо варіанти  ,  , ...,  ознаки  мають відповідно частоти  ,  , ...,  , причому  ,  – об’єм вибірки, то

  або  . (2)

Обчислена за формулою (2) вибіркова середня називається ще зваженою, так як частоти  називаються вагами, а операція множення  на  – зважуванням.

При обчисленні вибіркової середньої для інтервального варіаційного ряду за  приймають середину  -го частинного інтервалу, а за  – відповідну інтервальну частоту. У цьому випадку значення середніх величин, обчислених за формулами (1) і (2), можуть не співпадати, так як у формулі (2) значення випадкової величини всередині кожного інтервалу приймаються рівними серединам інтервалів, в той час як ці значення можуть довільно розташо¬вуватись в інтервалі.

Вибіркова середня є величиною, навколо якої групуються інші результати спостережень.

Вибірковою дисперсією  називають середнє арифметичне квадратів відхилень спостережуваних значень ознаки від їх середнього значення  :

 . (3)

Якщо дані спостережень представлені у вигляді дискретного варіаційного ряду у якому варіанти  ,  , ...,  ознаки  мають відповідно частоти  ,  , ...,  , причому  ,  – об’єм вибірки, то дисперсія визнача¬ється формулою:

 . (4)

На практиці для обчислення вибіркової дисперсії часто використовують іншу формулу:

 . (5)

Обчислена за формулами (4) і (5) дисперсія називається зваженою вибірковою дисперсією.

Дисперсія є мірою розсіювання випадкової величини навколо свого середнього значення. Вибіркова дисперсія володіє одним суттєвим недоліком: якщо вибіркова середня виражається у тих самих одиницях, що й досліджувана ознака, то із формул, які задають дисперсію випливає, що дисперсія виражається вже у квадратних одиницях. Цей недолік можна усунути, якщо за міру розсіювання взяти квадратний корінь із дисперсії.

Вибірковим середньоквадратичним відхиленням  називають арифме¬тичний квадратний корінь із вибіркової дисперсії:

 . (6)

Середня вибіркова і дисперсія є частковим випадком більш загального поняття – моменту варіаційного ряду.

Початковим вибірковим моментом  порядку  називаються середнє арифметичне  -х степенів спостережуваних значень випадкової величини

 , (7)

де  – об’єм вибірки.

Центральним вибірковим моментом  порядку  називається середнє арифметичне  -х степенів відхилень спостережуваних значень випадкової величини від їх середнього арифметичного

 , (8)

де  – об’єм вибірки.

Із формул (7) і (8) випливає, що вибіркова середня є початковим момен¬том 1-го порядку:  , а дисперсія – центральним моментом 2-го порядку:  .

Центральні вибіркові моменти виражаються через початкові:

 ,

 , (9)

 .

Вибірковим коефіцієнтом асиметрії називається число  , що визна¬чається співвідношенням:

 . (10)

Вибірковий коефіцієнт асиметрії служить для визначення асиметрії (несиметричності) полігону варіаційного ряду. Якщо полігон асиметричний, то одна із його віток, починаючи із вершини, має пологіший спуск, ніж інша.

         

Якщо  , то пологий спуск спостерігається зліва (див. рис. 1.5 а), а якщо  , – то справа (рис. 1.5 б). Для симетричного полігону  .

Вибірковим коефіцієнтом ексцесу називається число  , що визначається співвідношенням:

 . (11)

Вибірковий коефіцієнт ексцесу використовується для порівняння поло¬гості вершини вибіркового розподілу з нормальним розподілом. Для нормаль¬ного розподілу  . Якщо вибірковому розподілу відповідає від’ємний ексцес, то відповідний полігон має більш "пологу" вершину порівняно із нормальною кривою (рис. 1.6 а). У випадку додатного ексцесу полігон "крутіший" порівняно із нормальною кривою (рис.1.6 б).

Приклад. Обчислити статистичні характеристики варіаційного ряду, пода¬ного таблицею 1.2, прийнявши за значення варіант середини відповідних частинних інтер¬валів.

Розв’язання. Інтервальний варіаційний ряд у даному випадку має вигляд:

          6,68      6,70      6,72      6,74      6,76      6,78      6,80      6,82      6,84

          2          15        17        44        52        44        14        11        1

Статистичні характеристики варіаційного ряду обчислимо, використовуючи початкові і центральні вибіркові моменти. За формулою (7) обчислимо початкові моменти:

а за формулою (9) – центральні моменти:

 Тоді:

вибіркова середня:  ;

вибіркова дисперсія  ;

вибіркове середньоквадратичне відхилення  ;

вибірковий коефіцієнт асиметрії  ;

вибірковий коефіцієнт ексцесу  .