Тема 1.10. Емпірична функція розподілу.

Полігон і гістограма

• поняття про емпіричну функцію розподілу

• побудова полігону і гістограми частот

Основні терміни теми: емпірична функція розподілу, теоретична функція розподілу, полігон, гістограма, щільність частот.

 ,

де  – кількість варіант, менших  ;  – об’єм вибірки.

Із означення емпіричної функції розподілу випливають такі її властивості:

1) значення емпіричної функції належить відрізку  ;

2)  – неспадна функція;

3) якщо  – найменша варіанта, то  при  ;

4) якщо  – найбільша варіанта, то  при  .

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки, функцію розподілу генеральної сукупності  називають теоретичною функцією розподілу. Відмінність між теоретичною і емпіричною функцією розподілу полягає у тому, що теоретична функція розподілу визначає ймовірність події  , а емпірична функція  – відносну частоту цієї події. Емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінки теоретичної функції розподілу гене¬ральної сукупності.

 Приклад 3. Побудувати емпіричну функ¬цію розподілу і її графік за даними таблиці 1.1.

  Розв’язання. За умовою задачі об’єм вибірки  . Найменший варіант дорівнює 0, тому  при  . Тоді  , тобто  при  . Якщо  , то не¬рівність  виконується при умові, що  . Оскільки цей варіант зустрічається у вибірці 1 раз, то  , тобто  при  . Якщо  , то нерівність  виконується при умові, що  або  . Так як варіант  зустрічається 1 раз, а варіант  – 3 рази, то  , тобто  при  і т.д. У результаті одержимо шукану функцію розподілу (рис. 1.1).

 Графік функції розподілу зображений на рис. 1.2. На цьому графіку видно всі основні особливості вибіркової функції розподілу. Вона не спадає, а її значення знаходяться в інтервалі  . Різкі "стрибки" графіка функції  , що надають її східчастий вигляд, мають місце у тих точках, яким відповідають спостережувані зна¬чення варіантів, причому величина стрибка дорівнює відносній частоті.

2. Полігон і гістограма

Для наглядності статистичний розподіл вибірки ілюструють графічно за допомогою полігона та гістограми.

  Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з’єднують точки  ,  , ...,  . Для побудови полігона частот на осі абсцис відкладаємо варіанти  , а осі ординат – відповідні їм частоти  . Одержані точки  з’єднують від¬різками прямих і отри¬му¬ють полігон частот.

Полігоном від¬носних частот нази¬вають лама¬ну, відріз¬ки якої з’єднують точ¬ки  ,  , ...,  . Для по¬бу¬дови по¬лі¬гону віднос¬них частот на осі абс¬цис відкладаємо варі¬анти  , а на осі орди¬нат – відносні частоти  . Одержані точки з’єд¬нуємо відрізками пря¬мих. На рис. 1.3 по¬будовано полігон від¬нос¬них частот за дани¬ми таблиці 1.1.

У випадку, коли досліджувана ознака є неперервною, доцільно будувати гістограму, для чого інтервал, у якому знаходяться всі спостережувані значення ознаки, розбивають на декілька частинних інтервалів довжиною  і знаходять для кожного частинного інтервалу  – суму частот варіант, що потрапили в  -ий інтервал.

Гістограмою частот називають фігуру, що складається із прямокутни¬ків, в основі яких лежать частинні інтервали довжиною  з висотою  Число  ще називають щільністю частоти. При побудові гістограми частот по осі абсцис відкладають частинні інтервали, а по осі ординат – щільність частот.

Площа  -го частинного прямокутника дорівнює сумі частот варіант  -го інтервалу ( ); отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот, тобто об’єму вибірки.

Гістограмою відносних частот називають фігуру, що складається із прямокутників, основами яких служать частинні інтервали довжиною  , а висоти дорівнюють відношенню  (щільність відносної частоти).

         

Гістограму відносних частот будують аналогічно, тільки по осі ординат відкладають щільність відносних частот. Неважко переконатися, що площа гістограми відносних частот дорівнює сумі всіх відносних частот, тобто одиниці.

На рис. 1.4. зображена гістограма відносних частот, при побудові якої було використано дані таблиці 1.2. На гістограму накладено полігон відносних частот, побудований за серединами частинних інтервалів (пунктирна лінія).

Гістограма відносних частот з накладеним на неї полігоном відносних частот дає початкове уявлення про вигляд кривої щільності розподілу.