9.5 Крива Гомперца

Крива Гомперца використовується в основному для опису процесів з насиченням і дуже поширена в демографії, маркетингу, досліджені ринку, збуту продукції. Вона має вигляд:

 де 

Шляхом логарифмування і подальшої зміни змінних криву Гомперца зводимо до модифікованої експоненти:

 

Крива Гомперца має такі властивості. Якщо  то функція опукла, а в протилежному випадку, коли  крива Гомперца є S-крива та має точку перегину  , коли  , тобто  .

 

Рис. 8. Крива Гомперца

У цій точці  . Точка перетину входить до інтервалу спостережень  , якщо  .

Якщо  то крива спадає асимптотично до ес, а якщо  то вона має форму S-кривої, тобто спочатку зростає швидко, а потім повільно. Такою функцією можна описати еволюцію продажу товару.

9.6 Логістична крива

Логістична крива є оберненою функцією до модифікованої експоненти. Вона має вигляд:

 (9.7)

де 

Логістичну криву можна представити у вигляді:

 (9.8)

де а — рівень насиченості;

Якщо рівень насиченості прийняти за 100% (а=1), то (2.30) має вигляд:

  (9.9)

де  — початкове насичення на період  . З останньої рівності (9.9) можна визначити коефіцієнт пропорційності k.

Точка  є точкою перегину графіка функції (2.30)

 

 

Наприклад, якщо на початок сезону послугою масового попиту було забезпечено 12% населення, а на кінець першої декади — 20%, то маємо залежність:

 

Максимальний попит буде в час  тобто на 33-й день, а на 90% населення буде забезпечено в час  тобто на 70-й день.

Якщо ж є наявності п-спостережень  то залежність (9.10) будується як кореляційна. Заміною змінних  вона лінеаризується.