3.7. Оцінка значущості коефiцiєнта регресiї i перевірка адекватності модель.
Якщо рівняння регресiї підібрано досить добре, то хоч би приблизно виконується умова нормального розподілу відхилень фактичних значень залежної змінної вiд її розрахункових значень ; це дозволить побудувати довірчі інтервали для коефiцiєнтiв регресiї. Приймемо в якості досліджуваної гіпотезу про ревність нулю коефiцiєнтiв регресiї в генеральній сукупності. Величина розподілена по закону Стьюдента з ступенями свободи. Середньоквадратична похибка коефіцієнта регресiї визначається за формулою:
(3.43),
- визначник матриці нормальних рівнянь (3.1 );
- алгебраїчне доповнення до елемента матриці нормальних рівнянь (3.1), що знаходиться на перетині го рядка та стовпця.
Емпіричне значення порівнюється з квантилем розподілу Стьюдента для заданого рiвнi значущості та заданого числа ступенів свободи . Гіпотеза про ревність коефіцієнта регресiї нулю відкидається, якщо .
Довірчий інтервал, в який з заданою iмовiрнiстю попадає “істинне” значення регресiї дорівнює:
(3.44).
Для оцінки адекватності одержаного рiвняння регресії необхідно порівняти залишкову дисперсію з факторною дисперсією залежної змінної, тобто скористуватись F-критерієм Фішера:
(3.45),
де
,
Емпіричне значення порівнюють з табличним для заданого рiвнi значущості i заданого числа ступенів свободи та .
При відкидається нульова гіпотеза, яка заключається в тім, що вирівнювання по одержаному рiвняння регресiї дає такі ж результати, як i вирівнювання по прямій .
Приклад 3.7. Для вхідних даних, приведених у таблиці, побудувати трохфакторну лінійну регресійну модель у стандартизованому масштабі.
Таблиця 1
Роки, Кількість підприємств, Продуктивність праці, Об’єм реалізації продукції,
Рішення. По змінних обчислимо прості середні ;
Обчислимо суми добутків а також суми для обчислення середньоквадратичних відхилень , , , . Розрахунки зведемо у таблицю 3.2
Таблиця 3.2
Після підстановки відповідних числових значень коефiцiєнтiв парної кореляцiї iз табл. будемо мати:
Для рішення системи нормальних рiвнянь (3.45) використаємо метод повного виключення Жордана-Гауса. Цей метод полягає в тім, що обидві частини системи (3.45) множаться на обернену матрицю , в результаті чого визначається рішення:
Якщо записати розширену матрицю (А/В) i використати до неї метод повного виключення, то одержимо:
¦ ¦
де - одинична матриця;
- вектор рішення системи;
- матриця системи нормальних рiвнянь;
- вектор - стовпець вільних членів.
Якщо в розширеній матриці (А/В) перетворити матрицю А в одиночну, одночасно проводячи аналогічні перетворення матриці В, то на масці вектора-стовпця В буде вектор рішення системи Х.
Вказані перетворення еквівалентні множенню системи (3.45) на .
Перейдемо безпосередньо до обчислень. Розширена матриця має вигляд
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 Наверх ↑