6.5 Прогнозування на основі вивчення регресії між двома часовими рядами.

6.5.1 Поняття зв’язаних  рядів

В багатьох економічних дослідженнях приходиться розглядати не один динамічний ряд, а паралельно декілька рядів для вивчення динаміки декількох показників. В таких випадках можна зустріти ряди динаміки, у котрих коливання рівнів взаємообумовлені. Наприклад, динаміка виплавки сталі в значній мірі залежить від динаміки видобутку залізної руди; динаміка цін на визначену продукцію землеробства в значній мірі пов’язана з динамікою врожайності даної культури; в свою чергу динаміка врожайності або валових зборів залежить від кількості опадів і т.п.

Розглядаючи один ряд як фактор-аргумент  , а другий - як функціональну ознаку  , можна записати рівняння парної регресії:

 

При вивченні взаємозв’язку показників  та  необхідно встановити вид аналітичної залежності моделі, розрахувати її параметри, визначити тісноту зв’язку між ознаками.

Використання методів регресійного аналізу для дослідження зв’язків динаміки пов’язано з деякими визначеннями труднощами. По-перше, наступні члени динамічного ряду нерідко формуються під впливом попередніх рядів, що не дозволяє використати в безпосередній формі окремі імовірностні методи вивчення статистичних суперечностей. По-друге, сила зв’язку між членами двох часових рядів може штучно завищуватися у тих випадках, коли кожна із змінних  залежить від якого-небудь третього показника.).

Приклад 6.5.1. Для статистичних даних, приведених у табл.6.5.1. Побудувати авто кореляційну функцію та авто кореляційну модель та вибрати порядок рівняння авторегресії.

6.5.2 Методи аналізу якості прогнозів

Всі показники, які використовуються для аналізу прогнозу, можна розділити на три групи: абсолютні , порівняльні та якісні.

6.5.2.1 Абсолютні показники

До них відносяться такі показники, котрі дозволяють кількісно визначити величину похибки (погрішності, помилки) прогнозу в одиницях виміру об’єкта, що прогнозується, або в %. Це середньоквадратична похибка , абсолютна похибка , середня абсолютна похибка ,  відносна похибка , і середня відносна похибка . Розглянемо методику їх обчислення.

Абсолютна похибка прогнозу може бути визначена як різниця між фактичним значенням  і прогнозним  . Таким чином:

 (6.27)

Середнє абсолютне значення похибки:

 (6.28)

Очевидно, середнє абсолютне значення завжди додатнє.

Середньоквадратична похибка прогнозу розраховується за формулою:

 (6.29)

де n - період випередження.

Слід відмітити, що зв’язок середнього абсолютного відхилення  пр із стандартним відхиленням t

Для великого класу статистичних розподілів значення стандартного відхилення трохи (дещо) більше значення середнього абсолютного відхилення і строго пропорційно йому. Константа пропорційності для різних розподілів коливається між 1,2 і 1,3. Частіше всього на практиці береться 1,25, тому

 (6.30)

Недоліком розглянутих показників являється те, що значення цих характеристик суттєво залежить від масштабу вимірювання рівнів досліджуваних явищ.

Тому абсолютна похибка прогнозу  може бути виражена в процентах відносно фактичних значень показника таким чином:

 (6.31)

а середня відносна похибка розраховується як

 

Деякий  показник, як правило, використовується при порівнянні точності прогнозів різнорідних об’єктів прогнозування, оскільки цей показник характеризує відносну точність прогнозу. Типові значення  для середньострокових прогнозів та їх інтерпретація приведені в наступній таблиці:

 , %    Інтерпретація

< 10

10-20

20-50

>50    Висока точність

Добра точність

Задовільна точність

Незадовільна точність

Якщо  , то доцільно припустити цей рівень, зменшивши при цьому і число  на одиницю. Необхідно мати на увазі , що  і  рівні нулю тоді і тільки тоді, коли  для кожного  , тобто у випадку цілковитого прогнозу.

6.5.2.2 Порівняльні показники точності прогнозів

Ці показники базуються на порівняльні похибки прогнозу, який розглядається, з еталонними прогнозами визначеного виду.

Одним із  типів таких показників може бути в загальному виді представлений наступним чином:

 

де  - значення величини прогнозу, що прогнозується.

Як прогноз може бути вибрана проста екстраполяція, постійний темп приросту та інші. Частковим випадком показників такого типу є коефіцієнт невідповідності, в котрому  для всіх  .

 

 у випадку цілковитого (досконалого) прогнозу і  , коли прогноз має ту ж помилку, що і «наївна» екстраполяція незмінності.  немає верхньої кінцевої границі. Можна побудувати різні модифікації коефіцієнта невідповідності.

Розглянемо деякі з них.

1.Коефіцієнт невідповідності  , який розраховується як відношення середньої квадратичної похибки прогнозу до тієї ж похибки, котра би мала місце, якщо прийняти як прогноз для кожного року середнє значення змінної за весь період:

 (6.33)

де 

Якщо  , то прогноз на рівні середнього значення дав би кращий результат, ніж наявний прогноз.

2.Коефіцієнт розходження  , який вираховується як відношення середньоквадратичної похибки прогнозу  до тієї ж похибки, котра би мала місце, якщо прийняти за прогноз для кожного року екстраполююче значення по аналітичному тренду, тобто:

 , (6.34)

де  - екстраполююче значення досліджуваної величини на момент  .

Як і в попередньому випадку,  означає, що прогноз методом простої екстраполяції дає кращий результат.

До порівняльних показників слід віднести і коефіцієнт кореляції між прогнозними і фактичними значеннями змінної  :

 (6.35)

Одним із недоліків використання коефіцієнта кореляції для вимірювання точності прогнозів є те, що повна додатна кореляція не припускає досконалого прогнозу, а говорить лише про існування лінійної залежності між рядами прогнозних та фактичних величин.

6.5.2.3 Якісні показники

До них слід віднести такі проказники, котрі дозволять провести деякий аналіз видів помилок (похибок) прогнозів, розкласти їх на деякі складові. Особливо такий аналіз важливий для змінних, які змінюються циклічно, коли необхідно прогнозувати не тільки загальний напрямок розвитку, але і повторні точки циклу.

Г.Тейл розложив похибку прогнозу на долі невідповідності. Всі розглянуті вище показники, якості прогнозу містять в своїй основі середньо квадратичну похибку. Квадрат їх можна представити таким чином:

 (6.36)

де  - середні значення прогнозних і фактичних значень змінних;

 - коефіцієнт кореляції між прогнозними і фактичними значеннями;

 - дисперсії прогнозних і фактичних значень змінних.

 ; 

 .  (6.37)

Таке розкладання середньоквадратичної похибки дозволяє дослідити її природу. Поділимо праву частину рівняння на ліву, одержимо у правій :

 ; (6.38)

 ;

 ; 

Це так звані коефіцієнти, або долі, невідповідності:  - для зміщення;  - доля дисперсії;  - доля коваріації. Очевидно, що сума їх складає одиницю.

Доля зміщення показує наявність похибки в оцінці центральної тенденції, тобто  , коли середнє арифметичне значення прогнозів відрізняється від середнього арифметичного значення фактичних даних.

Доля дисперсії відображає ступінь співпадання стандартних відхилень прогнозу і фактичних даних;  в тому випадку, коли  . Таким чином, даний показник відображає відповідність степеню на стійкості прогнозних значень степені нестійкрсті фактичної динаміки.

Доля коваріації  дорівнює нулю коли коефіцієнт кореляції дорівнює одиниці між прогнозними і фактичними значеннями.

Всі розглянуті вище показники точності прогнозу використовуються при перевірці точності прогнозу, одержаних у вигляді точкових оцінок. Якщо при прогнозуванні одержано інтервальний прогноз, то мірою точності прогнозу можна прийняти відносне число випадків до загального числа випадків, запропоноване Е.М. Четиркіним:

 (6.39)

де  - число прогнозів, підтверджених фактичними даними;

 - число прогнозів, не підтверджених фактичними даними.

Якщо  , то всі прогнози підтверджуються  і  , якщо вони не підтверджуються  . Розглянуті вище показники точності прогнозу можуть бути використані тільки при наявності інформації про фактичні значення досліджуваного показника. Всі вони мають велику цінність при співставленні різних методик прогнозування.

Якщо ж інформація про фактичні дані досліджуваного показника відсутня, то оцінкою точності прогнозу може служити розмір довірчого інтервалу. В цьому випадку модель прогнозу вважається більш точною, якщо при одній і тій же довірчій імовірності вона дає більш вузький довірчий інтервал. Вибір показників точності прогнозів залежить від задач, котрі ставить перед собою дослідник при аналізі точності прогнозів. Необхідно пам’ятати, що перевірка точності одного прогнозу мало що може дати досліднику, так як на формування досліджуваного явища впливає багато різних факторів. Тому повне співпадання або значне розходження прогнозів може бути наслідком просто особливо сприятливих (або несприятливих) збігу обставин. Звідси витікає, що про якість прогнозних методик та моделей можна судити лише по сукупності співставлень прогнозів і їх реалізації.