5.3 Перевірка автокореляції у залишках

Як вже зазначилось, однією з передумов, на якій базується оцінка параметрів моделі методом найменших квадратів (1МНК), є відсутність коваріації залишків, що випливає з вимоги:

 (5.19)

Але дуже часто доводиться мати справу з ситуаціями, коли ця передумова не виконується і залишки  автокорельовані з залишками  . Автокореляція залишків виникає найчастіше тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Вона також може бути наслідком помилкової специфікації форми залежності між змінними. Крім того, наявність автокореляції залишків може вказувати на необхідність введення в модель нової незалежної змінної.

При перевірці автокореляції досліджується гіпотеза про те, що випадкові помилки  не автокорельовані, тобто їх коваріаційна матриця  — діагональна. Коефіцієнт автокореляції  між послідовими значеннями  повинен дорівнювати нулю. Нульову гіпотезу в цьому випадку можна сформулювати наступним чином:

 

Якщо нульова гіпотеза не виконується, то можливі два варіанти:

1)  (додатна автокореляція);

2)  (від’ємна автокореляція).

Дарбін і Уотсон дослідили закон розподілу імовірностей величин  для фіксованого п і запропонували критерій оцінки наявності автокореляції залишків:

 (5.20)

при наступних умовах:

1)  випадкові помилки  розподілені нормально;

2)  регресі містить постійний член (неоднорідна);

3)  матриця Х (матриця незалежних змінних) не стохастична.

Величина  залежить від матриці Х і може приймати любі значення в інтервалі (0; 4).

Позначимо нижню границю  через  , а верхню — через  .

Значення  і  залежать від числа спостережень та числа незалежних змінних рівняння (виключаючи постійну). Якщо розраховане по (5.20) значення  знаходиться в інтервалі (0;  ), то залишки додатньо корельовані і якщо значення  попадає в інтервал ( ; ), то нічого визначеного сказати неможливо. Для одержання однозначного рішення у цьому випадку необхідно збільшити число спостережень. Для встановлення автокореляції необхідно дослідити величину 4- . Якщо значення  лежить в інтервалі (4- ;  ), то слід прийняти нульову гіпотезу про відсутність автокореляції у залишках. Іншими словами, якщо  факт< ,  залишки мають автокореляцію, якщо  факт> , то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції, при додатній автокореляції  , а при від’ємній —  . Якщо залишки  є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення  міститься поблизу 2.

Величини  і  для двох рівнів значимості  і  , 15-100 спостереження та 1-5 незалежних змінних наведені у додатку.

Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана  . Величина  розраховується із співвідношення:

 (5.21)

де  (5.22)

 (5.23)

 (5.24)

Якщо розраховане значення  менше (або більше) деякого критичного значення, то має місце додатна (від’ємна) автокореляція залишків. Критичні величини  наведені у додатку.

Крім статистик Дарбіна-Уотсона і Неймана при перевірці автокореляції використовують також нециклічний емпіричний коефіцієнт автокореляції для одиничного лага, який виражає ступінь взаємозв`язків рядів.

 

 

Цей коефіцієнт розраховується по формулі:

  (5.25)

Коефіцієнт  може приймати значення в інтервалі (-1; +1). Від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію залишків, додатні — про додатну автокореляцію. Значення, які лежать в деякій критичній області біля нуля, підтверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках. Імовірний розподіл  встановити важко. Тому на практиці замість  розраховують циклічний коефіцієнт автокореляції для одиночного лага  . Величина  виражає ступінь взаємозв’язку  рядів

 

 

Для досить довгих рядів вплив членів незначний і можна вважати, що ймовірний розподіл  наближується до ймовірного розподілу  .

В табл. 5.1 наведені критичні значення циклічних коефіцієнтів кореляції для одиничного лага. При допомозі цієї таблиці можна перевірити гіпотезу про рівність нулю коефіцієнта автокореляції для любого лага. Циклічні коефіцієнти автокореляції для одиничного лага обчислюються по формулі:

 (5.26)

Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто  , то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному.

При припущенні, що середнє залишків дорівнює нулю, тобто  , маємо

 

Таблиця 5.1

Критичні значення циклічного коефіцієнта автокореляції 

Число            Додатна автокореляція            Від’ємна автокореляція

спостережень                                                

10      0,360    0,525    0,564    0,705

15      0,328    0,475    0,462    0,597

20      0,299    0,432    0,399    0,524

25      0,276    0,398    0,356    0,473

30      0,257    0,370    0,325    0,433

Підставивши  у формулу циклічного коефіцієнта автокореляції (5.26) отримаємо наближену формулу для циклічного коефіцієнта автокореляції:

 (5.27)

Якщо  , то існує наступний зв’язок між коефіцієнтом автокореляції  і  — статистикою Дарбіна-Уотсона:  .

На практиці замість (5.27) доцільно розраховувати коефіцієнт автокореляції:

 

При умові якщо  існує формула, яка пов’язує статистики Дарбіна-Уотсона і Неймана:

 (5.28)