7.2 Система незалежних регресій

Можливі випадки, що кожна з регресій економетричної моделі має тільки одну екндогенну величину, яка підлягає обчисленню і яка не залежить від ендогенних величин останніх регресій і не здійснює впливу на інші ендогенні величини. Така економетрична модель називається системою незалежних регресій. У загальному виді систему незалежних регресій можна записати таким чином:

  (7.5)

або у матричній формі

 (7.6)

Параметри системи незалежних регресій оцінюються методом найменших квадратів (МНК). Для цього формуємо матриці емпіричних значень Х та Y.

  (7.7)

 (7.8)

Якщо  , то вектор параметрів моделі дорівнює:

  (7.9)

Прикладом економетричної моделі, яка описується системою незалежних регресій може бути модель попиту та пропозиції, якщо попит та пропозиція формуються під впливом одних і тих же екзогенних величин  , або факторів. Наприклад з ціни певного виду товару  , рівня насиченості ринку цим товаром  , рівня доходів  та рівня збережень населення  та інші.

Приклад 7.2. Побудувати економетричну модель попиту і пропозиції системи незалежних регресій та знайти точку рівноваги по наступних статистичних даних:

Рішення.

Допускаємо,  що залежить між ціною, попитом та пропозицією описується параболою:

 

Проводимо лінеаризацію вхідних даних  та формуємо матриці Х та Y:

 

Знаходимо добуток  матриць  та  :

 

 

Знаходимо обернену матрицю :

 

Вектор параметрів моделі:

 

Запишемо моделі попиту та пропозиції:

 

Знаходимо розрахункові значення попиту та пропозиції  та заносимо їх у таблицю 7.2.

Залишкова дисперсія:

 ; 

Загальна дисперсія:

   

Коефіцієнт множинної кореляції:

 

Перевірка адекватності моделі по F- критерію Фішера:

 

 

Fтабл=4,96,  Fтабл.; отже з імовірністю Р=0,95 можна стверджувати, що моделі попиту та пропозиції адекватні статистичним даним.

Знаходимо точку рівноваги попиту та пропозиції (рівноважну ціну). Для цього прирівнюємо 

10,83291-0,68504х-0,00304х2=2,80636-0,01059х+0,05759х2;

0,06063х2+0,67504х-8,02655=0

 

 

Отже, при ціні  у .г. о. наступає рівновага між попитом та пропозицією.

Знаходимо коефіцієнти еластичності попиту та пропозиції:

 

 

Отже, при зростанні ціни на 1% попит падає на 0,89%, а пропозиція зростає на 0,51%.

Будуємо графіки попиту та пропозиції.

 

y1, y2

 

           

Рис. 7.2 Графік попиту та пропозиції