6.4 Автокореляційні моделі

Процеси автокореляції характеризуються наявністю статистичного зв`язку між значенням змінної в попередні і наступні відрізки часу, тобто значення досліджуваного явища в момент часу t залежить від значень явища в попередні моменти часу.

Такі ряди динаміки називаються авторегресійними рядами або процесами. В загальному вигляді авторегресійний процес можна записати так:

 (6.11)

Параметри  моделі (6.11) звичайно оцінюються методом найменших квадратів, або методом максимальної правдоподібності при припущенні, що випадкова величина  розподілена нормально і незалежно від  і коефіцієнти  по абсолютній величині значень менше 1.

Число j, яке визначає кількість періодів, від яких залежить поточне значення процесу  , називається порядком процесу авторегресії.

Розглянемо методику обчислення коефіцієнтів авторегресії методом найменших квадратів, який базується на вимозі мінімізації залишкової дисперсії.

  (6.12)

Ця вимога приводить до системи нормальних рівнянь:

 (6.13)

Розрахувавши по вихідному часовому ряду всі суми, вказані у системі нормальних рівнянь, та розв’язавши  систему, знайдемо коефіцієнти авторегресії  .

Одним із важливих питань аналізу авторегресії є визначення порядку авторегресійної моделі. Низький порядок моделі може дати несуттєві результати, оскільки в моделі враховується не важлива інформація за попередні моменти часу. Підвищення порядку авторегресійної моделі може привести до зниження якості моделі. Тому аналіз авторегресії не обмежується побудовою тільки однієї моделі; будується декілька моделей, по котрим визначається їх порядок. Спочатку будується рівняння авторегресії першого порядку:  або  і для неї знаходиться коефіцієнт автокореляції.

Параметри авторегресійної моделі першого порядку знайдемо із систем:

 (6.14)

При  система спрощується

 (6.15)

Для знаходження параметра  авторегресійної моделі.  скористуємося методом середніх та методом найменших квадратів.

  або  (6.16)

Потім будується авторегресійна модель другого порядку:

  або  (6.17)

Запишемо систему нормальних рівнянь для другої авторегресійної моделі.

 (6.18)

Для авторегресійної моделі другого порядку розраховується сукупний  коефіцієнт автокореляції . Якщо  буде перевищувати , то переходять до побудови моделі третього порядку. Для цієї моделі також розраховується сукупний коефіцієнт автокореляції  , котрий порівнюють з попереднім. Ці розрахунки продовжують до тих пір, поки множинний коефіцієнт автокореляції практично стане незмінним при добавленні чергових рівнів.

Розрахунок сум 

  виконаємо в таблиці

Підставивши результати обчислень в систему, одержимо:

 

Звідси 

Запишемо систему нормальних рівнянь для авторегресійної моделі першого

порядку:

 

Підставивши значення сум, одержимо:

 

Тоді авторегресійна модель першого порядку буде мати вигляд:

 

Запишемо авторегресійну модель третього порядку:

  (6.19)

Після рішення системи одержимо: 

Приклад 6.4. В таблиці приведені статистичні дані виробництва хлібопродуктів за 20 років. Побудувати авторегресійну модель другого порядку та визначити коефіцієнт автокореляції.   

Таблиця 6.1

                                                                                               

1        4,6        -           -           -           -           -           -           -

2        6,8        4,6        -           -           -           -           -           -

3        5,1        6,8        4,6        46,24    21,16    34,68    23,46    31,28

4        7,1        5,1        6,8        26,01    46,24    36,21    48,28    34,68

5        4,6        7,1        5,1        50,41    26,01    32,66    23,46    36,21

6        5,5        4,6        7,1        21,16    50,41    25,30    39,05    32,66

7        4,1        5,5        4,6        30,25    21,16    22,55    18,86    25,30

8        5,1        4,1        5,5        16,81    30,25    20,91    28,05    22,55

9        3,7        5,1        4,1        26,01    16,81    18,87    15,17    20,91

10      3,0        3,7        5,1        13,69    26,01    18,50    25,50    18,87

11      4,4        3,0        3,7        25,00    13,69    22,00    16,28    18,50

12      5,2        4,4        3,0        19,36    25,00    22,88    26,00    22,00

13      4,1        5,2        4,4        27,04    19,36    21,32    18,04    22,88

14      5,4        4,1        5,2        16,81    27,04    22,14    28,08    21,32

15      4,6        5,4        4,1        29,16    16,81    24,84    18,86    22,14

16      5,9        4,6        5,4        21,16    29,16    27,14    31,86    24,87

17      3,0        5,9        4,6        34,81    21,16    17,70    13,80    27,14

18      6,8        3,0        5,9        9,00      34,81    20,40    40,12    17,70

19      3,1        6,8        3,0        46,24    9,00      21,08    9,30      20,40

20      5,9        3,1        6,8        9,61      46,24    18,29    40,12    21,08

Разом                                               468,77  480,32  427,47  464,29  440,46

Складемо систему нормальних рівнянь другого порядку:

 (6.20)

Розрахуємо теоретичні значення  для авторегресійної моделі першого, другого і третього порядків та відповідні відхилення  .

          Фактичне виробництво хлібопродуктів,         Виробництво хлібопродуктів (в т.), розраховане по   Відхилення  , розраховані по

           , т.       Одночлен-ному рівнянню      Двочленно-му рівнянню         Трохчлен-ному рівнянню       Одночлен-ному рівнянню            Двочленно-му рівнянню         Трохчлен-ному рівнянню

1        4,6        -           -           -           -           -           -

2        6,8        4,186    -           -           6,83      -           -

3        5,1        6,188    4,528    -           1,18      0,32      -

4        7,1        4,641    6,545    6,476    0,41      0,31      0,39

5        4,6        6,461    5,007    4,895    3,46      0,17      0,09

6        5,5        4,186    6,812    6,826    1,73      1,72      1,76

7        4,1        5,005    4,489    4,537    0,82      0,25      0,19

8        5,1        3,730    5,293    5,301    1,87      0,04      0,04

9        3,7        6,640    4,007    3,974    0,89      0,09      0,08

10      5,0        3,367    4,905    4,910    2,67      0,01      0,01

11      4,4        4,550    3,628    3,572    0,02      0,60      0,69

12      5,2        4,004    4,832    4,745    1,43      0,14      0,21

13      4,1        4,732    4,292    4,218    0,40      0,04      0,01

14      5,4        3,731    5,011    5,002    2,79      0,15      0,16

15      4,6        4,914    4,016    3,935    0,10      0,34      0,44

16      5,9        4,186    5,214    5,141    2,94      0,47      0,58

17      3,0        5,369    4,501    4,394    5,61      2,25      1,94

18      6,8        2,73      5,636    5,747    16,56    1,35      1,11

19      3,1        6,188    3,024    2,855    9,54      0,01      0,06

20      5,9        2,821    6,485    6,48      9,48      0,34      0,34

Разом                                                           68,73    8,50      8,10

Користуючись значеннями відхилень  , розрахуємо залишкові дисперсії k-го порядку:

 

 

 

Для знаходження рівняння авторегресії використовують звичайний регресійний метод, де змінними або факторами використовуються рівні ряду динаміки  yt-r  (r—часовий лаг, або період, в котрому спостерігається найбільша автокореляція між рівнями одного і того ж ряду). Автокореляційна модель ряду може бути записана в загальному вигляді так:

 ,  (6.21)

або  (6.22)

де t—час;  p—число змінних(або минулих моментів часу).

Коефіцієнти рівняння (6.21) визначаються методом найменших квадратів, або при допомозі коефіцієнтів автокореляції шляхом рішення системи рівнянь:

 (6.22)

де ri - коефіцієнти автокореляції і-го порядку.

Найпростішими моделями автокореляції являються :

 (6.23)

 (6.24)

де t- 1,2,...,n-1;

n - число рівнів ряду динаміки;

E(t) - випадкова величина, що має для кожного значення t нульову середню.

Формула (6.23) описує авто регресію першого порядку, а (6.24) - другого порядку.

Оскільки кожний попередній рівень ряду динаміки може впливати на декілька наступних, то приміняється множинна авто регресія для знаходження залежності t-го рівня від (t-1)-го, потім (t-1) і (t-2) рівнів спільно і т.д. Така залежність відповідно має вигляд:

 (6.25)

Очевидно, при вирівнюванні по цих формулах ми повинні одержати теоретичні показники, близькі до фактичних. А при збільшенні числа змінних (попередніх рівнів), якщо вони разом впливають на наступні рівні, дисперсія, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації повинні зменшуватись. Сукупний коефіцієнт кореляції між емпіричними і вирівняними рівнями ряду динаміки, розрахованими по рівнянням (6.25), повинен збільшуватись при збільшенні числа змінних. Якщо сукупний коефіцієнт кореляції не змінюється при добавленні в рівняння зв’язку наступного рівняння, то впливом цього рівня можна нехтувати і прийняти рівняння зв’язку, розраховане без нього.

Авторегресійна модель проста та зручна для вирівнювання рядів динаміки. При її допомозі неможливо вести розрахунок майбутніх рівнів ряду, минаючи проміжні, як це має місце при аналітичному рівнянні тренду. Параметри авторегресійної моделі безперервно змінюються. Початкові члени ряду залишаються не вирівняними. Наприклад, при t=1 не вирівняний початковий рівень, при t=2 - два перших рівні, при t=3 - три перших рівні і т.д. Загальна тенденція економічного ряду динаміки, виявлена методом авторегресії, включає в себе випадкові відхилення.