ТЕМА 6. МОДЕЛІ АВТОКОРЕЛЯЦІЇ І АВТОРЕГРЕСІЇ

6.1 Автокореляція рядів динаміки

Метод найменших квадратів, котрий найбільш часто використовується в регресійному аналізі для знаходження оцінок коефіцієнтів регресії, базується на передумові про незалежність друг від друга окремих спостережень по одній і тій же змінній. В економічних часових рядах послідовні спостереження часто залежать друг від друга, тобто між нами існує автокореляція.

Автокореляція являє собою кореляційну залежність між наступними і попередніми членами часового ряду, тобто кореляцію між рядами  і  , де е показує довжину часового зміщення в ряді yt. Таке часове зміщення часто називають ”часом”; е являється цілим числом і його найбільше значення залежить від числа періодів в ряді динаміки.

Наявність автокореляції вказує на взаємозв`язок рівнів ряду динаміки, на сильну залежність наступних рівнів від попередніх, що сильно спотворює величину середньоквадратичних похибок коефіцієнтів регресії, утруднює побудову довірчих інтервалів для коефіцієнтів регресії, а також перевірку їх значущості.

Існує ряд способів виключення або зменшення автокореляції в часових рядах.

Найбільш ефективним є виключення тренда f(t) із числового ряду і перехід до випадкової компоненти Et . Для усунення автокореляції можна використовувати прийом, оснований на включенні часу в рівняння множинної регресії як аргументу(метод Фріша-Воу), та метод кінцевих різниць, коли методом найменшим квадратів обробляються самі рівні вихідних рядів, а їх послідовній різниці між ними.

Крім автокореляції числових рядів можлива автокореляція відхилень фактичних значень ендогенні змінної (в багатофакторних рівняннях регресії) від розрахункових, обчислених по цьому рівнянні.

Перевірка наявності автокореляції відбувається шляхом обчислення коефіцієнтів автокореляції. Одним з найбільш простих способів розрахунку коефіцієнта автокореляції оснований на використанні лінійного коефіцієнта кореляції r . Величина r показує тісноту зв`язку між рядами вихідних рівнів yt і рядами тих же рівнів, зміщених на один період часу, тобто yt+1. Тіснота зв’язку  розраховується по одній із формул:

 (6.1)

де 

 

 - середній рівень першого та другого ряду;

 (6.2)

або інша робоча формула:

 (6.2)

Аналогічно розраховуються коефіцієнти автокореляції другого порядку (l=2), третього і так далі.

Загальна формула для розрахунку автокореляції порядку l запишеться так:

 (6.3)

При розрахунку коефіцієнтів автокореляції з ростом порядку число корельованих пар зменшується, але відомо, що при невеликому числі спостережень значущим виявляється лише високі коефіцієнти автокореляції. Звідси випливає, що найбільше значення  l повинно бути таким, щоб число пар спостережень виявилось достатнім для розрахунку коефіцієнтів авто кореляції  . В практиці орієнтуються на  правило  .

Для перевірки значущості автокореляції звичайно використовуються критерії фон Неймана Д або Дарбіна –Уотсона a. Критерій фон Неймана вираховуються по формулі:

  (6.5)

де  - ряд значень  , зміщених у низ на одиницю; l=1;

 - фактичні рівні ряду за період  t;

 - теоретичні рівні ряду за період  t, розраховані по авто регресивній моделі.

Інколи в літературі застосовуються інші позначення  і  , а саме  та  .

Таким чином, величина Д - це відношення дисперсії різниць між окремими випадковими складовими до дисперсії випадкових складових вибірки. Якщо гіпотеза, що перевіряється вірна, то математичне очікування змінної  - це  рівне  .

Розподіл випадкової змінної Д протабульованої Хартом при числі спостережень n число значень  буде дорівнювати n-1.

Критерій Дарбіна-Уотсона вираховується по формулі:

 (6.6)

Теоретичне застосування критеріїв основане на тому, що в динамічних рядах як самі спостереження, так і відхилення від них розподіляються в хронологічному порядку.

При умові, якщо відхилення рівнів від тенденцій(залишки) випадкові, значення a, які лежать в інтервалі 0-4, завжди будуть знаходитись ближче до a. Якщо авторегресія додатня, то d <2 якщо від’ємна, то .  Таким чином , оцінки, одержані по критерію, являються не точковими, а інтервальними; їх значення для трьох рівнів значущості  і  з врахуванням числа спостережень приведені в спеціальних таблицях.

Критерії фон Неймана дає тільки точкову оцінку. В таблицях значення приведені для додатної  і для від`ємної  автокореляції. Якщо одержана в результаті обробки динамічного ряду величина  буде мати значення нижче табличного, то автокореляція додатна, а якщо вище—від’ємна. Якщо ж одержане значення критерію лежить в інтервалі  , то автокореляція відсутня.