5.4 Методи рішення проблем автокореляції в економічних моделях.

Метод Ейткена.

Якщо при допомозі критеріїв Дарбіна-Уотсона, фон Неймана або циклічного коефіцієнта автокореляції виявлено наявність автокореляції в залишках, то необхідно знайти адекватний спосіб перерахунку параметрів моделі або покращити специфікацію моделі.

Найбільш ефективним способом оцінювання параметрів в регресійних рівняннях з автокорельованими залишками є узагальнений метод найменших квадратів, відомий під назвою методу Ейткена.

Допустимо, що коваріаційна матриця залишків позитивно визначена і має вид:

 (5.29),

де  —  не вироджена квадратна матриця порядку п.

Помножимо рівняння регресії:

 (5.30).

зліва на  , отримаємо

 (5.31).

Тоді коваріаційна матриця помилок  буде діагональною. Дійсно,

  (5.32).

Таким чином, до перетвореного рівняння (5.31) можна використати звичайний метод найменших квадратів. Оцінку параметрів А тоді отримаємо із співвідношення:

  (5.33).

Нажаль, апріорі ми не знаємо ні значень помилок, ні коваріаційної матриці  . Якщо залишки  утворюють стаціонарний авторегресійний процес першого порядку, то автоковаріаційна матриця помилок буде мати вид:

  (5.34)

У цій симетричній матриці  виражає коефіцієнт автокореляції  -го порядку для залишків  . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків  при  часто наближується до нуля, то матриця, обернена до матриці  , матиме такий вигляд:

  (5.35)

Таку матрицю іноді можна використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

Коваріаційну матрицю  для вектора залишків  можна записати в загальній формі таким чином:

 (5.36)

Матрицю (5.36) можна записати як:

 (5.37)

На головній діагоналі коваріаційної матриці t-й елемент  являє собою дисперсію  відхилень випадкової змінної для  в t-му рівнянні 

Поза головною діагоналлю цієї коваріаційної матриці в t*-му рядку t-го стовпця стоїть елемент  . Він виражає коваріацію відхилень t*-го стовпця і t-го рівняння. Матриця  симетрична.

Якщо  додатна, то обидві змінні відхилень  і  варїрують  в одному напрямку. Це значить, що змінні  і  додатньо корельовані.

Якщо  від’ємна, то обидві змінні варїрують у протилежних напрямках. В цьому випадку змінні  і від’ємно корельовані.

Якщо  рівні нулю, то відхилення  і  не корельовані.

В класичній регресійній моделі  — мірна коваріаційна матриця вектора відхилень  розміром  має наступний вид:

  (5.38)

При цьому  являється одиничною матрицею порядку п. Порівнюючи вирази

(5.36) і (5.38), можна зауважити, що в класичній регресійній моделі має місце рівність  , тобто в класичній регресійній моделі досить розрахувати значення одного елемента, а саме дисперсію відхилень  , щоб знати всі елементи матриці S, які є невідомими згідно умови. В цьому випадку проблема зводиться до знаходження  і  . Їх оцінки можна отримати наступним чином:

1)  розрахувати параметри рівняння регресії при допомозі звичайного метода найменших квадратів (1МНК);

2)  підставляючи ці оцінки у рівняння регресії  , знайдемо значення залишків;

3)  по формулах  та  ,  знайдемо оцінки  і  та перевіримо залишки на наявність автокореляції;

4)  оскільки параметр  має зміщення, тому при формуванні матриці S необхідно скорегувати коефіцієнт автокореляції  на величину зміщення:

 (5,39)

де  — величина зміщення; т — кількість незалежних змінних;

5)  формування матриці коваріації залишків (S) та знаходження оберненої матриці  (S-1);

6)  оцінка параметрів методом Ейткена, тобто за формулою:

  (5.40)

Крім узагальненого методу найменших квадратів (УМНК) Ейткена для позбавлення автокореляції залишків використовують ітераційний метод, запропонований Д.Кокрейном та Ж.Оркуттом, який базується на авторегресійному перетворенні змінних. Проблема автокорекції також рішається при допомозі перетворень Койка.

Приклад 5.4. По даних таблиці 5.2 побудувати економетричну модель, що характеризує залежність величини пропозиції від ціни на окремий вид товару.

Таблиця 5.2

Рік     1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

Ціна   2,5        2,7        3,2        3,5        3,7        4,0        4,3        4,6        5,0        5,5

Пропозиція   4,2        4,5        4,8        5,2        5,4        5,8        6,5        6,9        7,7        8,1

Рішення. Позначимо величину пропозиції через у, а ціну — через х. Тоді загальний вигляд економетричної моделі:  , де  — оцінки параметрів моделі;  — залишки.

Крок 1. Визначимо параметри моделі  на основі методу найменших квадратів, припускаючи, що залишки  не корельовані: 

де  — матриця, транспонована до матриці Х.

Формуємо матриці Х та Y:

 ; 

   ; 

 

Економетрична модель має вигляд: 

Крок 2.  На основі економетричної моделі  знайдемо розрахункові значення пропозиції  і порівняємо їх з фактичними. Тоді  .

Таблиця 5.3

Рік                                                     -                       -

1        4,2        3,99732 0,20268 0,041079           —        —        —

2        4,5        4,27056 0,22944 0,052643           0,02676 0,000518           0,046503

3        4,8        4,93566 -0,15366           0,023611           -0,3831 0,146766           -0,03526

4        5,2        5,36352 -0,16352           0,026739           -0,00986           0,0000972         0,025126

5        5,4        5,63676 -0,23676           0,056055           -0,07324           0,005364           0,038715

6        5,8        6,04662 -0,24662           0,060821           -0,00986           0,0000972         0,05839

7        6,5        6,45648 0,04352 0,001894           0,29014 0,084181           -0,01073

8        6,9        6,86634 0,03366 0,001133           -0,00986           0,0000972         0,001465

9        7,7        7,41282 0,28718 0,082472           0,25352 0,064272           0,009666

10      8,1        8,09592 0,00408 0,0000166         -0,2831 0,080146           0,001172

                                             0,346465                      0,381539           0,135049

Знайдемо критерій Дарбіна-Уотсона:

 

Оскільки критерій  менше двох, то можна стверджувати про існування додаткової або прямої автокореляції. Зробити порівняння фактичного значення критерію  з табличними неможливо, бо критичні значення подані, починаючи з п=25 (в даному випадку п=10).

Критерій фон Неймана  . Це значення порівнюється з табличним.  при п=10 і рівні значимості  .

Так як  , то існує додатна автокореляція залишків.

Циклічний коефіцієнт автокореляції

 

 , таким чином існує автокореляція залишків 

Крок 3. Формування матриці S.

Оскільки параметр  має зміщення, тому при формуванні матриці S необхідно скоригувати коефіцієнт автокореляції  на величину зміщення.

 

або 

Матриця коваріації S буде мати вигляд:

 

 

 

Записуємо рівняння регресі: 

Знайдемо розрахункові значення  та визначимо залишки Wt (табл.5.4)

Таблиця 5.4

Рік                                                     -           

1        4,2        4,561    -0,361   0,130321           —        —

2        4,5        4,7666  -0,2666 0,071076           0,0944  0,0088911

3        4,8        5,2806  -0,4806 0,230976           -0,214   0,045796

4        5,2        5,589    -0,389   0,151321           0,0916  0,008391

5        5,4        5,7946  -0,3946 0,155709           -0,0056 0,0000314

6        5,8        6,103    -0,303   0,091809           0,0916  0,008391

7        6,5        6,4114  0,0886  0,00785 0,3916  0,153351

8        6,9        6,7198  0,1802  0,032472           0,0916  0,008391

9        7,7        7,131    0,569    0,323761           0,3888  0,151165

10      8,1        7,645    0,455    0,207025           -0,114   0,012996

                                             1,40232            0,397422

Розрахуємо критерії Дарбіна-Уотсона і фон Неймана:

 

Циклічний коефіцієнт автокореляції:

 

Оскільки  , а  при числі спостережень п=10 та рівні значимості  , то автокореляція відсутня.