3.8. Матричні методи побудови та аналiзу регресій.

Застосування матриць для визначення параметрів рiвняння лiнiйної регресiї дозволяє представити всі розрахунки в зручній i компактній формі.

Для обробки даних, представлених в матричній формі, також використовують метод найменших квадратів, оскільки в цьому випадку мінімізується сума відхилень фактичних значень вiд значень, одержаних по рівнянню зв’язку, тобто:

 (3.46).

де  - матриця відхилень (різниць) фактичних значень результативного показника від теоретичних;

 - обернена матриця;

  - матриця   спостережень незалежних факторів;

 - матриця фактичних значень результативного показника.

Елементи векторів А( ) визначають шляхом прирівнювання до нуля перших частинних похідних вказаної суми:

  ...;  (3.47),

що приводить до системи нормальних рiвнянь, записаної у матричній формі:

 ;  (3.48),

звідки вектор параметрів рівняння регресії

   (3.49),

де

 

В матриці Х додатково введено стовпець, всі елементи котрого рiвнi 1, тобто умовно приймається, що в моделі є вільний член  .

Знайдемо матриці, що входять у вираз (3.49).

 

 

 

Із останніх двох виразів неважко одержати вже розглянуту систему нормальних рiвнянь.

Для оцінки тiсноти зв’язку мiж результативним показником та факторами  розрахуємо вектор залишків , залишкову  та загальну  дисперсії:

 (3.50).

 ; (3.51),

  - число незалежних змінних в моделі;

  (3.52).

Коефіцієнт множинної кореляції:

 (3.52).

Довірчі границі та значущість коефіцієнта  множинної кореляцiї оцінюється через дисперсію

 ; ;  , (3.53)

де  число ступенів вільності;  - нормоване значення функції Стьюдента в залежності від заданого рівня довірчої імовірності та числа ступенів вільності  .

Дисперсія коефіцієнта регресiї  визначається по формулі:

  , або  , (3.54),

де  - діагональний елемент матриці 

Тоді довірчі границі параметра моделі  для генеральної сукупності складуть:

 (3.55)

Значущість коефіцієнта регресiї оцінюється співвідношенням:

 (3.56).

Якщо  > , то параметр моделі  значущий, тобто не випадковий. В протилежному випадку фактор  необхідно виключити із рівняння регресії.

Довірчі границі базисних середніх значень  i довірчі зони рiвняння визначаються по формулі:

  , (3.57),

де  - вектор-рядок;  - номер рядка матриці  :

 , (3.58),

а границі кожного базисного середнього

 (3.59).

Довірчі зони значень показника  вiд факторів ( ) будуть у межах:

 .  (3.60).

Середні значення прогнозного показника  для прогнозних значень факторів  розраховуються по рівнянню регресiї шляхом підстановки відповідного значення  i обчислення

 (3.61),

або у матричній формі

 (3.62),

де  - вектор параметрів моделі.

Довірчі інтервали прогнозу обчислюючи за формулою

  (3.63).

Відповідно, довірчою зоною значень прогнозу буде:

 . (3.64).

Необхідно відмітити, що значення коефіцієнта  в рiвняннi регресії залежить вiд прийнятих одиниць вимірювання величин  . Тому для інтерпретації коефіцієнта  зручно використовувати так званій Коефiцiєнт еластичності, який знаходиться за формулою:

 ;   (3.65).

Коефiцiєнт еластичності показує, на скільки процентів в середньому зміниться величина  iз зміною величини  на 1%.

Приклад3.8. У табл.4 приведені статистичні дані витрат праці  , виробничого капіталу  та обсягу виробництва продукції   Таблиця 4. 

Витрати праці           Витрати виробничого капіталу           Обсяг виробництва продукції

Знаходимо обернену матрицю  методом Гауса

.

Вектор параметрів моделі

 

Запишемо векторну модель, побудовану по вибіркових даних:

 

 6. Знаходимо дисперсію  залишків (залишкову) та загальну дисперсію.

 

Загальна дисперсія:

 

 

Тіснота зв’язку:

 

Довірчі границі коефіцієнта множинної кореляції R:

 

 

 

Оскільки  , то з ймовірністю  можна стверджувати, що коефіцієнт множинної кореляції значимий.

7. Оцінка значимості параметрів моделі по t-критерію Стьюдента :

 

 

 

 

 

 

 

  а  отже параметри  - значимі, а  - не значимі.

8. Оцінка адекватності моделі по  - критерію Фішера :

9.  ;  ;  ;  отже з ймовірністю  можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує математичне явище.

10. Обчислимо середнє значення прогнозу:

 

11. Довірчі границі прогнозу:

 

 

 

12. Коефіцієнти еластичності:

 

 

Таким чином, при зростанні фактора  на 1% обсяг виробництва   зростає на 0,5314%, а при зростанні фактора  на 1%  показник  зростає на 0,1258%.

3.9. Множинна нелінійна регресія.

3.9.1 Степенева множинна  регресія

Розглянуті раніше  множинні лінійні регресiйнi моделі являються частковим випадком більш загальних нелінійних моделей.

В економічному аналiзi використовують рiвняння більш складного криволінійного типу, котрі краще описують багатофакторні економічні взаємозв’язки. Одним iз таких рiвнянь являється степенева функція

 (3.66).

Прологарифмуємо вираз ( 3.66): 

і зробимо  заміну нелінійних елементів на лінійні

  та  ,

одержимо систему лінійних рівнянь

 

Параметри моделі  степеневої функції можна обчислити, розв’язавши  систему рівнянь:

 

Цю систему нормальних рівнянь можна рішити методом оберненої матриці, для цього сформуємо матриці Х та Y.

 ; 

Параметри моделі знаходимо як добуток матриць:

 

звідки  .

Для розрахунку вектора залишків необхідно знайти теоретичні значення 

 

Приклад 3.9. Визначіть параметри степеневої моделі  залежності витрат на споживання від рівня доходів х1 та збережень х2. Обчислення виконати на базі статистичних даних приклада 3.1.

Рішення.

Проводимо лінеаризацію вхідних даних

 

 

Формуємо таблицю 3.9  для накопичення сум:

 

Записуємо систему нормальних рівнянь:

 

 

Систему рішаємо методом оберненої матриці:

 

 

Запишемо економетричну модель

 

Розрахуємо теоретичні значення витрат на споживання:

 

 

 

 і т.д.

Теоретичні значення  заносимо у таблицю 3.9.

Розрахуємо  та знаходимо тісноту зв’язку.

 

Висновки. У степеневій моделі показники степеня є коефіцієнтами еластичності. Отже, при зростанні рівня доходів х1 на 1% рівень витрат на споживання зростає на 1,1852%; при зростанні рівня збережень на 1% рівень споживання зростає на 0,504185%.

3.9.2 Показникова множина регресія

 

Прологарифмуємо функцію:

 

Зробимо заміну  та  відповідно на  одержимо лінеаризовану функцію. Для знаходження її  параметрів  складемо та рішимо систему нормальних рівнянь

 

3.9.3 Гіперболічна множинна регресія

 

Проведемо лінеаризацію функції шляхом заміни нелінійних елементів на лінійні:  відповідно на  складемо схему лінійних рівнянь:

 

3.9.4 Параболічна множина регресія

 

Параметри  знайдемо методом найменших квадратів, рішивши систему лінійних рівнянь:

 

3.9.5 Логарифмічні та напівлогарифмічні функції

 

 

 

Лінеаризація цих функцій проводиться шляхом заміни  на  .

Можлива також комбінація лінійних елементів функції з їх нелінійними елементами.

Наприклад:

 ,

Ліва частина функції може приймати також значення