3.7. Оцінка значущості коефiцiєнта регресiї i перевірка адекватності модель.

Якщо рівняння регресiї підібрано досить добре, то хоч би приблизно виконується умова нормального розподілу відхилень фактичних значень залежної змінної вiд її розрахункових значень  ;  це дозволить побудувати довірчі інтервали для коефiцiєнтiв регресiї. Приймемо в якості досліджуваної гіпотезу про ревність нулю коефiцiєнтiв регресiї в генеральній сукупності. Величина   розподілена по закону Стьюдента з  ступенями свободи. Середньоквадратична похибка коефіцієнта регресiї  визначається за формулою:

  (3.43),

 - визначник матриці  нормальних  рівнянь (3.1 );

 - алгебраїчне доповнення  до  елемента  матриці  нормальних  рівнянь  (3.1),  що  знаходиться на  перетині  го  рядка та  стовпця.

Емпіричне значення  порівнюється з квантилем розподілу Стьюдента  для заданого рiвнi значущості  та заданого числа ступенів свободи  . Гіпотеза про ревність коефіцієнта регресiї нулю відкидається, якщо  .

Довірчий інтервал, в який з заданою iмовiрнiстю  попадає “істинне” значення регресiї  дорівнює:

 (3.44).

Для оцінки адекватності одержаного рiвняння регресії необхідно порівняти залишкову дисперсію з  факторною дисперсією залежної змінної, тобто скористуватись F-критерієм Фішера: 

  (3.45),

де

 , 

Емпіричне значення  порівнюють з табличним  для заданого рiвнi значущості  i заданого числа ступенів свободи  та  .

При  відкидається нульова гіпотеза, яка заключається в тім, що вирівнювання по одержаному рiвняння регресiї дає такі ж результати, як i вирівнювання по прямій  .

Приклад 3.7. Для вхідних даних, приведених у таблиці, побудувати трохфакторну лінійну  регресійну модель  у  стандартизованому  масштабі.

Таблиця 1

Роки,             Кількість підприємств,             Продуктивність  праці,            Об’єм  реалізації  продукції, 

Рішення. По змінних  обчислимо прості середні  ;   

Обчислимо суми добутків     а також суми для обчислення середньоквадратичних відхилень  , , , . Розрахунки зведемо у таблицю  3.2

Після підстановки відповідних числових значень коефiцiєнтiв парної кореляцiї iз табл. будемо мати:

 

Для рішення системи нормальних рiвнянь (3.45) використаємо метод повного виключення Жордана-Гауса. Цей метод полягає  в тім, що обидві частини системи (3.45) множаться на обернену матрицю  , в результаті чого визначається рішення:

 

Якщо записати розширену матрицю (А/В) i використати до неї метод повного виключення, то одержимо:

  ¦  ¦

де  - одинична матриця;

  - вектор рішення системи;

 - матриця системи нормальних рiвнянь;

  - вектор - стовпець вільних членів.

Якщо в розширеній матриці (А/В) перетворити матрицю А в одиночну, одночасно проводячи аналогічні перетворення матриці В, то на масці вектора-стовпця В буде вектор рішення системи Х.

Вказані перетворення еквівалентні множенню системи (3.45) на  .

Перейдемо безпосередньо до обчислень. Розширена матриця має вигляд

 

Складемо таблицю та зробимо відповідні перетворення:

Рiвняння регресiї в стандартизованому масштабi має вигляд:

 .

  - коефіцієнти дозволяють оцінювати приоритетний вплив факторів на об’єм реалізації продукції. Найбільший вплив на об’єм реалізації виявляє фактор  (кількість підприємств).

Величину коефіцієнта множинної кореляцiї розрахуємо по формулі:

 =

Зробимо перехід вiд  - коефiцiєнтiв до коефiцiєнтiв регресiї в натуральному масштабi по формулах:

 ,

 ,

 ,

 

  .

Рівняння регресії у натуральному масштабі: