ГЛАВА 6 БАНКИ И БАНКОВСКАЯ СИСТЕМА

Теория: Сравнение условий кредиторов

Люди, и особенно банкиры, с давних времен заметили, что кредиты могут даваться и действительно даются на разных услови­ях. Одно и то же число, фигурирующее в различных кредитных договорах в качестве процента, означает иногда разные реальные цены кредита. Например, 50% годовых вперед — это совсем не то, что 50% после года пользования кредитом. Действительно, при уплате 50% вперед заемщик получает на руки 50% кредита и возвращает 100% через год, то есть платит 100% годовых. Тогда как, заплатив за 100% кредита на руки в начале года 150%, в конце года мы имеем только 50% годовых. Этот пример прост, но в жизни и крупные кредиты, и мелкие бытовые нередко и получаются частями, и возвращаются не сразу, тоже частями. Не зная основ финансовой математики, люди плохо ориентируются в этих своеобразных ценах рынка ссудного капи­тала. Необходимость общего стандарта цен очевидна. В качестве эталона используется эффективная ставка процента (термин, принятый в Европе и в России), или, что то же самое, APR (тер­мин, принятый в США от начальных букв Annual Percentage Rate — годовая ставка процента). Эффективная ставка процента (lJ определяется как ставка продукта для следующей стандарт­ной схемы кредита:

t = 1 год

 

100% суммы кредита выдается заемщику в начале года 100% суммы кредита + 1_Э погашается заемщи­ком в конце года

Математически, используя общепринятые банковские прави­ла или правила, специально оговоренные в кредитных догово­рах, можно оценить любую схему кредита через APR. Важность этого трудно переоценить. В Америке принят федеральный за­кон, который требует информировать заемщиков об истин­ной цене кредита, то есть об APR. А заемщиками в рыночной экономике выступают все! Это и владельцы кредитных карто­чек, это и покупатели в рассрочку, которые используют так называемый потребительский кредит, это, естественно, и фирмы, и государство. Схема эффективз ой ставки процента нуждается в уточнении: как определять су лму процента для срока мень­ше года? Следуя обычной банковской практике, для этого ис­пользуют простой процент, если пр^аент годовых не слишком высок — до 40-50%. В условиях и;і {зляции высокий процент обсчитывается по правилу сложного процента сначала по квар­талам, затем по месяцам, а в худшем случае — по чеделям и дням. Четких и однозначных правил в мире банков на этот счет нет.

В условиях инфляции возникает необходимость учета роста цен. Соответствующая ставка процента получила название ре­альной:

 

индекс роста цен

 

где и і_н — реальный и номинальный проценты.

Может ли ставка банковского процента быть отрицатель­ной?

Номинальная — вряд ли, а реальная — да. Когда инфляция обгоняет ставку процента, то реально в банке деньги не растут, а уменьшаются. Так было в России в начале 90-х годов. Напри­мер, в 1993 г. инфляция составила 950%, а банк «Империал» давал 650% годовых. Таким образом, реальная ставка процента была отрицательной:

1 -100% = -28,6%.

Задачи с решениями

6.А. Как выгоднее оформить бессрочный вклад: под 200% годовых или под 35%, начисляемых ежеквартально? Учтите, что «внутри» года и «внутри» квартала во втором случае банк начис­ляет простые проценты.

Решение:

До какого-то момента Т₀ выгоднее иметь 200% годовых, а

35% «квартальных».

Например, за I квартал по первому варианту получим:

^ = 50%,

а по второму — только + 35%, но при £ = 1 год: (1,35⁴ - 1)-100% = 232% > 200%. Фактически в задаче нужно найти Т₀ из уравнения

(1,35) + _{100 до} ) 1 + _{100 360}

при 0 < Т₀ - 90 • п < 90, где п — целое число кварталов в течение периода Т₀, а Т₀ измеряется в днях по банковским правилам (в месяце 30 дней).

Решение этого уравнения с двумя неизвестными не столь уж очевидно.

1. Для начала найдем п:

п = 3, так как (1,35)³ = 2,46 < 1 + | -2 = 2,5.

2. Имеем в результате уравнение с одним неизвестным:

₁₎₃₅з.(і ₊ ^.0,35)= 1 +

Отсюда Т₀ = 279,97 = 280 дней, точнее — это 10-й день четвертого квартала, так как расчет ведется по правилам ком­мерческих банков.

Следовательно, ответ: до 10-го дня четвертого квартала выгод­нее иметь 200% годовых, а после — выгоднее становятся условия ежеквартальной индексации по 35%.

6.Б. Заемщик получил 500 тыс. руб. в кредит на следующих условиях: вернуть через год 300 тыс. руб. и еще через год — 405 тыс. руб. Какая эффективная ставка процента предусмотрена этим кредитным договором?

Решение:

Приводим выплаты к начальному моменту, обозначив через х эффективную ставку процента в долях:

300                                          405

+ Т,----------------------------------- ^ = ⁵⁰⁰>

1 + х (1 + х) откуда х = 0,2, или 20%.

6.В. Две фирмы предлагают проекты строительства дома от­дыха. Первая берется построить за два года и просит в первом году 200 млн. руб., а во втором — 300 млн. руб. Вторая фирма нуждается в трехлетних инвестициях: 90, 180 и 288 млн. руб. соответственно. Какой из этих проектов дешевле, если для срав­нения использовать 20% -ную ставку дисконтирования?

Решение:

зоо

Оценка I варианта (в млн. руб.): 200 + -уу = 450.

180 288

Оценка II варианта: 90 + уу + ууу = 440.

6.Г. Что было для вкладчика лучше в 1993 году: 500% годо­вых в рублях или 35% — в долларах, если курс доллара вырос с 450 руб. до 1250 руб. (расходами на конвертацию можно пре­небречь), а инфляция составила примерно 900% ?

Решение:

Обозначим через 1{Щ индекс роста номинального рублевого вклада:

пт - ^{100 + 500} - « Индекс же роста номинального долларового вклада составил:

Т(Г*\ _ ^{100 + 35} _ 1 «

что в переводе на номинальный рублевый вклад дало:

1'(2» = 1,35 • ^ = 3,75.

Но при инфляции в 900% индекс цен равен 10. Поэтому реаль­ные вклады сокращались:

7(Д) = 0,6, а НВ) = 0,375. Потери на условиях 500% годовых в рублях составляют толь­ко 40% реальной стоимости вклада, а на условиях 35% в долла­рах — 62,5%, что значительно хуже.

Задачи для самостоятельного решения

6.1.      Почему банку выгодно работать даже в условиях отрица­тельной ставки процента и по кредитам, и по депозитам? Допус­тим, процент по депозитам і_а, а по кредитам і_к при инфляции в 1%. При каких соотношениях банку работать выгодно?

6.2.      Что выгоднее банкиру: обычный (банковский) учет век­селей: Р = Я - | 1 - ] или оплата векселей по формуле мате­матического дисконтирования:

где Р — цена векселя;

Я — номинальная сумма долга;

сі — ставка дисконтирования (дисконт) в долях;

п — число дней, оставшихся до выплаты суммы Я по векселю.

6.3.      Определите эффективную ставку процента за потребитель­ский кредит, который предоставляется на следующих условиях:

—     40% стоимости плюс 5% в качестве платы за кредит вно­сится сразу;

—    оставшиеся 60% стоимости покупки оплачиваются через год.

6.4.      Банкир берет 8% с уплатой вперед за годовой кредит. Определите эффективную процентную ставку при возврате всех 100% от суммы кредита в конце года.

6.5.      Найдите АРИ (эффективную ставку процента) при ставке 6% за трехмесячный кредит при погашении и суммы, и процента в конце периода.

6.6.      Начислите проценты по кредиту, выданному на 2 года и 7 месяцев под 12% годовых. Используйте правила обычной прак­тики банков.

6.7.      В состав услуг банка входит учет векселей под 360% годовых. Сколько вы можете выручить за вексель на 2 млн. руб. со сроком погашения через 45 дней?

6.8.      Должник фирмы выписал вексель на сумму 90 млн. руб. со сроком погашения через 30 дней — 8 марта 1994 года. Но деньги фирме нужны сейчас. Один коммерческий банк предлагает дисконтировать (математически) сумму векселя по ставке ЦБР плюс 30 пунктов, то есть под 210 + 30 = 240%. Другой банк согласен учесть вексель на обычных условиях по ставке ЦБР. Чьи условия выгоднее? Определите дисконты в обоих случаях.

6.9.      Банкир берет 50% годовых с годового кредита по стан­дартной схеме: проценты вместе с суммой кредита возвращаются через год. Каков реальный процент годовых с поправкой на ин­фляцию, составляющую 30%?

6.10.   Кредитный договор предусматривает выплату процентов и возврат суммы в конце периода и следующий порядок начис­ления процентов: 6% за первый год, а за каждые последующие полгода начисляются дополнительно еще 0,5%, но при этом дейст­вует правило простых процентов. Определите сумму выплат про­центов по кредиту на 2,5 года в сумме 10 млн. руб. Будет ли для заемщика выгоден обычный договор на условиях 5% годовых с выплатой в конце срока кредита суммы кредита с процентами?

6.11.   Банкир просит уплатить в качестве процента за кредит 250 тыс. руб. в момент выдачи номинальной суммы кредита, рав­ной 1,5 млн. руб., сроком на полгода. Найдите реальную эффектив­ную ставку процента при инфляции, составляющей 1% в месяц.

6.12.   Определите, что выгоднее и насколько: взять в кредит в банке под сложный процент из расчета 20% годовых на 2 года или под 22%, выплачиваемые ежегодно.

6.13.   В течение одного года можно вычислять процент двумя способами: «коммерчески», беря за базу 360 дней, и «точно» с базой 365 дней. Определите разницу между процентами, вычис­ленными этими двумя способами, по 3-месячному кредиту с 1 марта по 31 мая включительно, данному под 300% годовых.

6.14.   Вам предлагают за 200 тыс. руб. купить 22 ноября век­сель, выписанный на 220 тыс. руб. с датой погашения 12 декабря того же года. Определите учетную ставку.

6.15.   В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в год. Найдите АРЕ. (годовую стандартную ставку процента), если проценты начисляются ежеквартально в размере 20%, то есть сумма вклада или долга автоматически увеличивается на 20% в квартал.

6.16.   Что выгоднее банкиру и насколько в переводе на АРИ: начислять по вкладам (депозитам) 40% ежеквартально или 10% ежемесячно?

6.17.   Найдите среднюю процентную ставку, то есть процент, дающий тот же результат, что и следующая переменная ставка, составляющая 8% в первый год, 10% — во второй и 12% — два последующих года.

6.18.   Имеются два обязательства:

—   91 млн. руб. с оплатой через 4 месяца и

—   96 млн. руб. с оплатой через 9 месяцев.

При какой ставке простого дисконтирования (учетной ставке банка) они эквивалентны?

6.19.   Банк обещает по депозитам 900% годовых, но экономисты оценивают инфляцию на уровне 1100%. Какова реальная ставка банковского процента?

6.20.   На сколько процентов удалось уменьшить «инфляцион­ный налог», вложив средства на год в бессрочные депозитные сертификаты под 350% годовых при инфляции 800%?

6.21.   Страховой фонд создается годовыми рентными платежа­ми по 100 тыс. руб. в год, которые вносятся в конце года, начи­ная с 1994 года. Страховая компания гарантирует 200% роста в год. Какая сумма накоплена к 01.01.99?

6.22.   Найдите приведенную к настоящему моменту сумму рент­ных платежей при фиксированной величине ренты в 1000 долл. под 9% годовых, если еще только предстоит платить ренту в течение 5 лет.

6.23.   Какую сумму надо ежегодно вносить в банк начиная с сегодняшнего дня под 25% годовых, чтобы через 5 лет накопить 1 млн. долл.?

6.24.   Какой из двух вариантов годового кредита выгоднее для заемщика:

а)  20% вперед;

б)  10% вперед плюс 13% после окончания года вместе с воз­вратом всей суммы кредита?

6.25.   Договаривающиеся стороны считают эквивалентными 100 000 долл. сейчас и 207 360 долл. через 4 года. Найдите при­нятую сторонами ставку дисконтирования.

6.26.   Пусть восьмилетняя рента под 10% с платежом 5000 долл. откладывается на 3 года. Найдите новый размер годового платежа.

6.27.   Сколько нужно положить в банк под 5% годовых, чтобы выплачивать владельцу ренту в 100 тыс. руб. в год, а сумма на счете в банке была бы неизменна?

6.28.   Соседний банк дает 200% годовых по стандартной схеме. Ваш банк начисляет проценты ежеквартально. Какую ставку годовых нужно объявить, чтобы «выйти» на те же 200% АРШ

6.29.   Государство заняло сумму у банка на условиях «вечной ренты», то есть согласилось выплачивать ежегодно по 1 млн. руб., не возвращая долга. Какова минимальная сумма кредита, если, заключая договор, стороны исходили из 10% годовых за такой кредит?

6.30.   Заемщику предоставлен льготный период, в течение ко­торого он выплачивает 15% ежегодно с суммы кредита и в конце срока возвращает всю сумму целиком. Найдите APR, если кредит дан на 5 лет.

6.31.   Стороны договорились ежемесячно индексировать сумму долга в 30 млн. руб. на величину инфляции, а также погасить весь долг за три месяца, выплачивая ежемесячно по 1/3 долга плюс набежавшие проценты. Определите все три суммы выплат при начислении 1% за месячный кредит, если в первый месяц инфляция составляет 20%, во второй — 25%, а в третий — 15%.

6.32.   Определите сумму на сберегательном счете на 1 апреля, если:

а)  вклад на 1 января составлял 400 000 рублей;

б) процентная ставка равнялась 24% годовых, но с 1 февраля введена новая ставка — 36%.

6.33.   Вексель с уплатой через 90 дней 1 млн. руб. куплен за 750 тыс. руб. и через 30 дней продан за 850 тыс. руб. Определите доходность этой операции в рублях и в APR.

6.34.   Некая фирма «встала на ноги», получив деньги в разме­ре 150 млн. рублей 1 июля 1991 года. На какую сумму могут рассчитывать лица, ссудившие фирму деньгами, по состоянию на 01.01.94? Ставка Центрального банка росла за этот период сле­дующим образом:

 

 

 

6.35. При какой ставке дисконтирования стоимость двух про­ектов одинакова?

Капиталовложения по годам:

 

6.36.   Определите доходность ссудной операции на основе рас­чета АРЕ., если при выдаче ссуды удерживаются комиссионные в размере 1,5%, а погашение ссуды в 3000 долл. осуществляется ежегодными платежами в 1050 долл. в течение 3 лет.

6.37.   Какой процент годовых при оценке векселя со сроком погашения через 45 дней по формуле математического дисконти­рования эквивалентен учетной ставке коммерческого учета вексе­лей под 360%?

*6.38. Объявлена следующая схема (стратегия) погашения годо­вого кредита: в конце каждого квартала погашается сумма, рав­ная 5% суммы кредита, а в последнем квартале плюс к погаше­нию 5% возвращается и вся сумма кредита. В течение этого года коммерческие банки принимают срочные вклады на 3-9 месяцев под 30% годовых с начислением простых процентов. Какова дей­ствительная цена кредита (эффективная ставка)?

*6.39. Вычислите АРЯ для кредитного договора, согласно кото­рому за первые полгода надо вернуть не только 5%, но и поло­вину суммы кредита, а по истечении второй половины года сле­дует вернуть не только оставшуюся часть кредита, но и 7% от суммы кредита.

*6.41 . Заемщик должен вернуть 102 тыс. долл. через 72 дня и 206 тыс. долл. через 108 дней. Он просит консолидировать пла­тежи и согласен вернуть 308 тыс. долл. На какую отсрочку может рассчитывать заемщик при одной и той же 10%-ной годо­вой ставке?

*6.42. Определите срок ежегодной ренты в 700 долл., для того чтобы накопить 10000 долл., если рента копится под 15% годовых.

*6.43. Заемщик должен 5 лет выплачивать по 1 млн. руб. в счет погашения займа. Но когда нужно было делать первый взнос, денег не оказалось и заемщик попросил банк об отсрочке и был согласен в течение последующих 4 лет погасить долг рав­ными взносами под 13% годовых. Определите сумму этого взноса.

*6.44. Как удержание комиссионных из расчета 1% от суммы кредита увеличивает эффективность ссуды с позиций кредитора при 4-летнем сроке кредита?

6.45.   Определите доходность ссудной операции, если ссуда предоставляется на 2 года на условиях ежегодной выплаты про­цента из расчета 6% за первый год и 6,5% за второй год. Изме­нится ли как-нибудь доходность, если процент, наоборот, равен 6,5% за первый год и 6% за второй год?

6.46.   Выведите формулу зависимости депозитного мультипли­катора от нормы банковского резерва.

6.47.   Доля банковских счетов в денежной массе, находящейся в обращении, составляет 70%. На сколько процентов изменится вся денежная масса, если норма банковского резерва снизится с 20% до 10%?

6.48.   За какой срок окупятся инвестиции в сумме 85 тыс. долл., взятых в кредит, если процент, который надо выплачивать за кредит ежегодно, составляет 7%, а ожидаемая отдача равна всего 5 тыс. долл. в год?

6.49.   Сумма инвестиций рйвна 100 тыс. долл., предполагаемая отдача составляет 20 тыс. долл. в год. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются 8% годовых?

Предполагается, что вся прибыль образуется в конце каждого года и тогда же надо платить проценты за кредит.

6.50.   По условиям кредита его можно вернуть в любой удоб­ный для заемщика момент в течение года. Кредит дан под 240% годовых с помесячной уплатой процентов. Взяв кредит в сумме 1 млн. руб. в начале года, предприниматель вкладывает средства в торговые операции, каждый раз сроком на один месяц, получая 40% прибыли на вложенный капитал. Как наилучшим образом предприниматель может спланировать свои взаимоотношения с банком, если на иные кредиты ему рассчитывать не приходится и через год он сворачивает дело?

6.51.   Предыдущую задачу можно усложнить: каким должно быть соотношение в будущем году инфляции, роста курса долла­ра и платы за конвертацию, чтобы процент в рублях был выгод­нее процента в долларах?

6.52.   При покупке до 01.01.96 г. 500 акций концерна «Гер­мес» вы становитесь владельцем однокомнатной квартиры.

Умные люди подсчитали, что для этого надо было вложить в акции 2 тыс. долл. в начале 1994 г.

Определите эффективность вложений через эффективную став­ку процента.

6.53.   Ставка банковского процента равна 90%, а инфляция составляет 160%. Эффективен ли проект с ожидаемой прибылью от инвестиций в 70%?

6.54.   Под какой процент нужно давать взаймы на неделю при условии непрерывности таких операций, чтобы выйти на ту же месячную доходность, что и при кредите на 1 месяц под 210% годовых? Ответ дайте в процентах годовых.