Тема 2. Форма і розміри Землі

 

Вид заняття: лекція

Час: 2 години

 

Навчальні питання:

 

1. Форма і розміри Землі. Кривизна рівневої поверхні.

2. Нормальна сила тяжіння та поняття геоїда і еліпсоїда Красовського.

 

 

Література

1. Артамонов Б.Б., Штангрет В.П. Топографія з основами картографії: Навчальний посібник. – Львів: Новий Світ-2000, 2006. –248 с.

2. Грюнберг Г.Ю. Картография с основами топографии. М: – Просвещение, 1991, 367 с.

3. Картография с основами топографии, Часть II. Под. ред. А.В. Гедымина, М: - «Просвещение», 1973, 247 с.

4. Барановський В.А. Екологічна географія і екологічна картографія. – Національна академія наук України. Рада по вивченню продуктивних сил України. Київ: - Фітосоціоцентр. 2001, 250 с.

5. Шмаль С.Г. Військова топографія: Підруч. для слухачів і курсантів вищ. військ. навч. закл. – К.: Вид. ПАЛИВОДА А.В., 2003. – 280 с.

1. Форма і розміри Землі. Кривизна рівневої поверхні

 

Поверхня Землі, яку прийнято називати фізичною або топографічною поверхнею, являє собою сполучення океанів і материків зі складними геометричними формами. Океани займають майже 3/4 площі планети, а нерівності суші незначні в порівнянні з її площею, тому фігура Землі визначається поверхнею Світового океану. Це підтверджується і знімками, що отримані з космічних літальних апаратів.

Географічне положення певних точок земної поверхні визначається, як відомо, їхніми координатами. Тому математична задача побудови картографічного зображення полягає в проектуванні на площину (карту) кулястої поверхні Землі при суворому дотриманні однозначної відповідності між координатами точок на земній поверхні і координатами їхнього зображення на карті.

Таке проектування вимагає знання форми і розмірів Землі.

Говорячи про форму (фігуру) Землі, мають на увазі не фізичну її поверхню, що являє собою складне сполучення височин і низин, гір і долин, а деяку уявлювану (умовну) поверхню середнього рівня Світового океану в спокійному стані, що як би покриває всю нашу планету і перпендикулярна в будь-якій її точці до напрямку стрімкої лінії (напрямку сили тяжіння). Така поверхня називається рівневою поверхнею.

Рівнева поверхні, безпосередньо пов’язана з силою тяжіння.

 

Кривизна рівневої поверхні

Практично, розв’язуючи задачі, які пов’язані з вимірюваннями на фізичній поверхні Землі та картах, форму Землі вважають кулею, радіус якої 6371,1 км. У цьому випадку довжина великого кола (екватора) і кожного з меридіанів становитиме (приблизно)

6371 км · 6,28 = 40010 км,   (L=2pr).

Довжина 1о дуги центрального кута на рівневій поверхні Землі становить:

40010 км / 360 = 111,14 км.

Відповідно довжина 1¢ дуги дорівнює

111,14 км / 60 = 1,852 км, або 1852 м,

а довжина 1¢¢ - 1852 м / 60 = 30,86 м.

Рівнева поверхня, з віддаленням від точки стояння, буде знижуватися відносно площини горизонту цієї точки. Величина пониження показана в таблиці 2.1 і визначається за формулою

           DH = D2 / 2R,        (2.1)

де D – дальність горизонту, км;

R - радіус Землі (6371,1 км).

 

Таблиця 2.1 - Залежність величини пониження рівневої поверхні від дальності

Дальність D, км	Пониження DH, м	Дальність D, км	Пониження DH, м
0,1	0,0008	50	196
0,5	0,02	100	800
1	0,08	200	3140
5	2,0	500	19600
10	7,8	1000	78200
20	31,0

 

2. Нормальна сила тяжіння та поняття геоїда і еліпсоїда Красовського

Маси, з яких складається тіло Землі, різні за густиною, мають властивість притягатися й утворюють силове поле, або поле тяжіння Землі.

У будь-якій точці на поверхні Землі діє сила тяжіння F і відцентрова сила f, викликана обертанням Землі навколо своєї осі (рис. 2.1)

 

Рис. 2.1 - Дія сили тяжіння F і відцентрової сили f, що викликані обертанням Землі навколо своєї осі

 

Рівнодійна цих двох сил називається силою тяжіння Р.

Вплив відцентрової сили невеликий: на полюсах Землі вона дорівнює нулю, на екваторі досягає максимальної величини, становлячи лише 1/288 частину всієї сили тяжіння, і за напрямом їй протилежна.

Величина сили тяжіння на земній поверхні, в основному, залежить від складу і густини мас, що притягаються, та відстані від поверхні до центра Землі (чи від висоти точки відносно рівня моря).

На поверхні Землі сили тяжіння зменшуються (в межах 0,5%) від полюсів до екватора і з висотою. Цим пояснюється те явище, що вага тіла на екваторі менша за вагу того ж самого тіла на полюсі приблизно на 0,5%.

Необхідно частково повернутися до розуміння питання про форму поверхні Землі.

Розглянемо кілька варіантів.

Припустимо, що поверхня Землі – куля радіусом 6371,1 км, маси тіла якої однорідні і відповідно мають однакову притягальну силу. На такій умовній поверхні земної кулі всі точки будуть віддалені від центра Землі на однакову відстань, тобто розташовуватимуться на одному рівні чи на одній висоті відносно одна одної.

Величина сили тяжіння буде в усіх точках однакова і стала. Її взято за початкову, яка збігається з величиною сили тяжіння на рівні поверхні світового океану в спокійному (не збудженому) стані на широті 45°. Називається ця величина нормальною силою тяжіння.

Можна уявити, що нормальна сила тяжіння утворює в кожній конкретній точці на поверхні кулі маленьку плоску поверхню, перпендикулярну до напряму сили тяжіння. Така плоска поверхня і називається рівневою, тому що її віддаленість від центра Землі відповідає суворо встановленому рівню сили тяжіння, взятою за вихідну і названою нормальною.

Вся множина маленьких плоских рівневих поверхонь ніби утворює загальну теоретично рівневу поверхню земної кулі (на рис. 2.2 - пунктирна лінія).

Рис. 2.2 - Теоретично рівнева поверхня земної кулі:

А, Г - сила тяжіння більша від нормальної;

Б, Д - сила тяжіння нормальна;

В, Е - сила тяжіння менша від нормальної;

Н - висота рівневої поверхні, що відповідає нормальній силі тяжіння (від центра Землі 6371 км.)

НА - висота рівневої поверхні точки А;

НВ  - висота рівневої поверхні точки В;

____ - рівнева поверхня геоїда, утворена силою тяжіння Землі, що проходить через точки А, Б, В, Г, Д, Е;

_ _ _ - теоретична рівнева поверхня.

Фігура Землі, утворена рівневою поверхнею, що збігається з поверхнею світового океану в стані повного спокою і рівноваги і продовженої під материками й островами, називається геоїдом.

Цю назву запропонував у 1873 р. німецький математик, фізик і астроном Йоганн Бенедикт Лістинг (1808...1882 рр.) для зображення фігури Землі.

Фігура геоїда пов’язана з напрямком сили тяжіння і, отже, істотно залежить від нерівномірного розподілу мас у земній корі. Тому поверхня геоїда має неправильну, у геометричному відношенні дуже складну фігуру з нерівномірною кривизною, яка змінюється.

Проте можна виділити певні, цілком визначені, фізичні властивості геоїда:

- поверхня геоїда у кожній окремій точці перпендикулярна до напряму нормальної сили тяжіння;

- форма уявної поверхні геоїда залежить, від розподілу на поверхні Землі сили тяжіння, що залежить від розміщення важких і легких мас у тілі Землі;

- сила тяжіння на рівневій поверхні геоїда постійна (нормальна), тобто її потенціал скрізь однаковий.

Вимірюючи на поверхні Землі величину і напрям сили тяжіння, можна визначити вигляд рівневої поверхні, отже і точну фігуру Землі.

Незбурена поверхня світового океану, тобто поверхня всіх океанів та морів у спокійному стані, складається з рухомих частинок (молекул) води, які під дією сили тяжіння намагаються зайняти положення, найближче до центра Землі. У результаті цього у кожній точці поверхні світового океану утворюються маленькі плоскі поверхні (перпендикулярні до напряму сили тяжіння), розташовані відносно одна одної на різних висотах. Разом вони утворюють загальну поверхню світового океану, геометрично неправильну і складну за формою.

Не раз виникало запитання – що вважати поверхнею Землі: сушу чи воду? Відомо, що суша становить лише 29% поверхні Землі, а вода – 71%. Максимальна висота суші над рівнем води – 1/1200 частина радіуса Землі.

Поверхня світового океану практично (з деяким припущенням) збігається з уявною поверхнею геоїда, і тому цілком допустимо за поверхню Землі прийняти поверхню світового океану в спокійному стані, ніби продовжену під материки і обмежуючу собою тіло Землі. Така поверхня світового океану називається рівневою поверхнею. Від неї ведуть обчислення висот і глибин.

В Україні за початок відліку абсолютної (дійсної) висоти взято середній рівень Балтійського моря, позначений нульовим штрихом футштока (від англійського «foot» – фут і німецького «stock» – палиця, стрижень) у Кронштадті (Росія). Тому в нашій країні, коли кажуть, що висота гори 1872,6 м над рівнем моря, мають на увазі рівень саме Балтійського моря.

У ряді країн за початок відліку висоти взято середні рівні інших морів. Наприклад, у Франції – Середземного моря в Марселі, що знаходиться нижче від нуля Кронштадтського футштока на 0,4 м.

Дані сучасної геофізики й геології свідчать про те, що розподіл у тілі Землі не стабільний. Швидкість обертання Землі та положення її осі обертання також змінюється, спричиняючи постійні зміни форми Землі – геоїда. Тому його фігура геометрично не визначена, для неї не можна одержати прості геометричні співвідношення, неможливо переносити вимірювання, зроблені на фізичній поверхні Землі, а також складати за ними точні топографічні карти. Постало питання про заміну фігури геоїда такою геометричною фігурою, поверхня якої постійна і має кривизну, що плавно змінюється і обчислюється за математичними формулами.

Однак дослідженнями встановлено, що поверхня геоїда, в загальному, близька до поверхні еліпсоїда обертання з невеликим стиском по напрямку малої (полярної) осі (рис. 2.3).

Еліпсоїд обертання має математичну правильною поверхню, утворену обертанням еліпса навколо його малої осі. Відступ по висоті точок поверхні геоїда від поверхні найбільш близького, схожого на нього, за своїми розмірами еліпсоїда характеризується, в середньому, величиною порядку 50 м і не перевершують 150 м. У порівнянні з розмірами Землі такі розбіжності настільки незначні, що на практиці форму Землі приймають за еліпсоїд.

 

Рис. 2.3 - Еліпсоїд і його елементи

 

Розміри будь-якого еліпсоїда обертання характеризують велика а і мала в півосі. Відношення виду

          (а – в) / а = ά        (2.2)

називається стиском еліпсоїда.

Еліпсоїд, що характеризує фігуру і розміри Землі, називають земним еліпсоїдом.

Встановлення розмірів земного еліпсоїда, що найбільше близько підходить за своєю формою і розмірам до фактичної фігури Землі, має велике науково-теоретичне і практичне значення. Це важливо для створення точних топографічних карт.

Якщо розміри земного еліпсоїда будуть встановлені невірно, то це приведе до невірних розрахунків при проектуванні на його поверхню (а отже, і при зображенні на картах) усіх довжин ліній і розмірів площ у порівнянні з їх дійсними розмірами на рівневій поверхні Землі.

Розміри земного еліпсоїда в різний час визначалися багатьма вченими за матеріалами градусних вимірів. Деякі з них приведені в табл. 2.2.

Таблиця 2.2 - Розміри земного еліпсоїда за розрахунками різних вчених

Автор визначення	Країна, де опубліковані визначення	Рік визначення	Велика піввісь, м	Стиск, ά
Бессель	Німеччина	1841	6 377 397	1: 299,2
Кларк	Англія	1880	6 378 249	1: 293,5
Хейфорд	США	1910	6 378 388	1: 297,0
Красовський	СРСР	1940	6 378 245	1: 298,3

(мала піввісь – 6 356 863 м для еліпсоїда Красовського)

 

У США, Канаді, Мексиці, Франції при створенні карт користуються розмірами еліпсоїда Кларка, у Фінляндії і деяких інших країнах – розмірами еліпсоїда Хейфорда, в Австрії – розмірами еліпсоїда Бесселя, в Україні, а також ряді інших країн – розмірами еліпсоїда Красовського (з 1942 року розміри земного еліпсоїда, визначені Красовським Ф.М., затверджені у якості обов’язкових для проведення геодезичних робіт та виконання відповідних розрахунків).

При рішенні деяких практичних задач, коли не потрібна висока точність, фігуру Землі приймають за кулю (при цьому земний еліпсоїд називають сфероїдом), поверхня якого дорівнює поверхні еліпсоїда прийнятих розмірів (близько 510 млн. км2).

Радіус такої кулі, обчислений за елементами еліпсоїда Красовського, дорівнює 6 371 116 м чи округлено 6 371 км.

 

Курс «Топографія з основами картографії»