9.5 Крива Гомперца
Крива Гомперца використовується в основному для опису процесів з насиченням і дуже поширена в демографії, маркетингу, досліджені ринку, збуту продукції. Вона має вигляд:
де
Шляхом логарифмування і подальшої зміни змінних криву Гомперца зводимо до модифікованої експоненти:
Крива Гомперца має такі властивості. Якщо то функція опукла, а в протилежному випадку, коли крива Гомперца є S-крива та має точку перегину , коли , тобто .
Рис. 8. Крива Гомперца
У цій точці . Точка перетину входить до інтервалу спостережень , якщо .
Якщо то крива спадає асимптотично до ес, а якщо то вона має форму S-кривої, тобто спочатку зростає швидко, а потім повільно. Такою функцією можна описати еволюцію продажу товару.
9.6 Логістична крива
Логістична крива є оберненою функцією до модифікованої експоненти. Вона має вигляд:
(9.7)
де
Логістичну криву можна представити у вигляді:
(9.8)
де а — рівень насиченості;
Якщо рівень насиченості прийняти за 100% (а=1), то (2.30) має вигляд:
(9.9)
де — початкове насичення на період . З останньої рівності (9.9) можна визначити коефіцієнт пропорційності k.
Точка є точкою перегину графіка функції (2.30)
Наприклад, якщо на початок сезону послугою масового попиту було забезпечено 12% населення, а на кінець першої декади — 20%, то маємо залежність:
Максимальний попит буде в час тобто на 33-й день, а на 90% населення буде забезпечено в час тобто на 70-й день.
Якщо ж є наявності п-спостережень то залежність (9.10) будується як кореляційна. Заміною змінних вона лінеаризується.
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 Наверх ↑