3.8. Матричні методи побудови та аналiзу регресій.
Застосування матриць для визначення параметрів рiвняння лiнiйної регресiї дозволяє представити всі розрахунки в зручній i компактній формі.
Для обробки даних, представлених в матричній формі, також використовують метод найменших квадратів, оскільки в цьому випадку мінімізується сума відхилень фактичних значень вiд значень, одержаних по рівнянню зв’язку, тобто:
(3.46).
де - матриця відхилень (різниць) фактичних значень результативного показника від теоретичних;
- обернена матриця;
- матриця спостережень незалежних факторів;
- матриця фактичних значень результативного показника.
Елементи векторів А( ) визначають шляхом прирівнювання до нуля перших частинних похідних вказаної суми:
...; (3.47),
що приводить до системи нормальних рiвнянь, записаної у матричній формі:
; (3.48),
звідки вектор параметрів рівняння регресії
(3.49),
де
В матриці Х додатково введено стовпець, всі елементи котрого рiвнi 1, тобто умовно приймається, що в моделі є вільний член .
Знайдемо матриці, що входять у вираз (3.49).
Із останніх двох виразів неважко одержати вже розглянуту систему нормальних рiвнянь.
Для оцінки тiсноти зв’язку мiж результативним показником та факторами розрахуємо вектор залишків , залишкову та загальну дисперсії:
(3.50).
; (3.51),
- число незалежних змінних в моделі;
(3.52).
Коефіцієнт множинної кореляції:
(3.52).
Довірчі границі та значущість коефіцієнта множинної кореляцiї оцінюється через дисперсію
; ; , (3.53)
де число ступенів вільності; - нормоване значення функції Стьюдента в залежності від заданого рівня довірчої імовірності та числа ступенів вільності .
Дисперсія коефіцієнта регресiї визначається по формулі:
, або , (3.54),
де - діагональний елемент матриці
Тоді довірчі границі параметра моделі для генеральної сукупності складуть:
(3.55)
Значущість коефіцієнта регресiї оцінюється співвідношенням:
(3.56).
Якщо > , то параметр моделі значущий, тобто не випадковий. В протилежному випадку фактор необхідно виключити із рівняння регресії.
Довірчі границі базисних середніх значень i довірчі зони рiвняння визначаються по формулі:
, (3.57),
де - вектор-рядок; - номер рядка матриці :
, (3.58),
а границі кожного базисного середнього
(3.59).
Довірчі зони значень показника вiд факторів ( ) будуть у межах:
. (3.60).
Середні значення прогнозного показника для прогнозних значень факторів розраховуються по рівнянню регресiї шляхом підстановки відповідного значення i обчислення
(3.61),
або у матричній формі
(3.62),
де - вектор параметрів моделі.
Довірчі інтервали прогнозу обчислюючи за формулою
(3.63).
Відповідно, довірчою зоною значень прогнозу буде:
. (3.64).
Необхідно відмітити, що значення коефіцієнта в рiвняннi регресії залежить вiд прийнятих одиниць вимірювання величин . Тому для інтерпретації коефіцієнта зручно використовувати так званій Коефiцiєнт еластичності, який знаходиться за формулою:
; (3.65).
Коефiцiєнт еластичності показує, на скільки процентів в середньому зміниться величина iз зміною величини на 1%.
Приклад3.8. У табл.4 приведені статистичні дані витрат праці , виробничого капіталу та обсягу виробництва продукції Таблиця 4.
Побудувати та дослідити виробничу функцію Кобба-Дугласа виду
,
зробити оцінку її параметрів та, користуючись методом математичної екстраполяції, знайти прогнозоване значення обсягу виробництва, якщо прогнозоване значення витрат праці млн. л/год., а виробничого капіталу млн. грн. .
Рішення.
Формуємо матриці X та Y:
, .
Знаходимо добутки матриць: та .
Знаходимо обернену матрицю методом Гауса
№ Матриця XX Матриця I Контрольна сума
1
2
3
4
Замінюємо обернену матрицю
.
Вектор параметрів моделі
Запишемо векторну модель, побудовану по вибіркових даних:
6. Знаходимо дисперсію залишків (залишкову) та загальну дисперсію.
Загальна дисперсія:
Тіснота зв’язку:
Довірчі границі коефіцієнта множинної кореляції R:
Оскільки , то з ймовірністю можна стверджувати, що коефіцієнт множинної кореляції значимий.
7. Оцінка значимості параметрів моделі по t-критерію Стьюдента :
а отже параметри - значимі, а - не значимі.
8. Оцінка адекватності моделі по - критерію Фішера :
9. ; ; ; отже з ймовірністю можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує математичне явище.
10. Обчислимо середнє значення прогнозу:
11. Довірчі границі прогнозу:
12. Коефіцієнти еластичності:
Таким чином, при зростанні фактора на 1% обсяг виробництва зростає на 0,5314%, а при зростанні фактора на 1% показник зростає на 0,1258%.
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 Наверх ↑