Тема 9 Прикладні економетричні моделі

9.1  Моделювання сезонних коливань економічних явищ рядами Фур`є

Значна частина економічних явищ, таких як попит на товар та послуги, пасажиро потік, сезонне виробництво в цукровій та консервній промисловості носить сезонний характер.

Для аналізу та прогнозування таких сезонних явищ використовують ряд Фур`є, який представляє сезонне явище у вигляді гармоніки.

В загальному вигляді ряд Фур`є можливо записати так:

  (9.1)

де  — параметри моделі, t — фактор часу, k — порядковий номер гармоніки, т — кількість порядкових номерів гармоніки.

В економетричних дослідженнях кількість гармонік ряду Фур`є приймають не більше 4, а потім визначають, яка із гармонік найбільше адекватно описує сезонні коливання економічних явищ.

Параметри ряду Фур`є  визначаються за методом найменших квадратів.

Запишемо формули для розрахунку цих параметрів:

    (9.2)

де п — кількість періодів часу за які розглядається явище (місяців, днів, кварталів, років).

Для побудови економічної моделі необхідно зробити перехід для фактора часу від натурального масштабу до радіанного або градусного.

Перехід від натурального масштабу до радіанного, чи градусного здійснюється за формулою:

  (9.3)

де п — кількість спостережень (або кількість інтервалів часу, за який аналізується сезонне явище),  —натуральний ряд чисел від 0 до п-1 (0, 1, 2,..., п-1).

Запишемо місяці у радіанній формі:

січень            0

лютий            

березень       

квітень          

травень           

червень        

липень         

серпень          

вересень       

жовтень        

листопад      

грудень         

Для визначення параметрів моделі  та  необхідно скласти таблицю

значень тригонометричних функцій 

           рад.                                         

1        0          1          1          0          0

2                   0,866    0,5        0,5        0,866

3                   0,5        -0,5      0,866    0,866

4                   0          -1         1          0

5                   -0,5      -0,5      0,866    -0,866

6                   -0,866   0,5        0,5        -0,866

7                   -1         1          0          0

8                   -0,866   0,5        -0,5      0,866

9                   -0,5      -0,5      -0,866   0,866

10                 0          -1         -1         0

11                 0,5        -0,5      -0,866   -0,866

12                 0,866    0,5        -0,5      -0,866

Приклад 2.7.1.

Побудова економетричної моделі, яка описує сезонні коливання.

В таблиці (додаток 1) наведені статистичні дані реалізації зимової одежі по місяцях.

Описати сезонні коливання реалізації зимової одежі рядами Фур`є та вибрати гармоніку, яка найбільш адекватно описує ці сезонні коливання.

Таким чином, ми отримали статистику для визначення параметрів моделі для першої гармоніки.

 

 

 

 

Записуємо ряд Фур`є для першої гармоніки:

 

Знаходимо теоретичні значення  . Замість значення  та  у ряд Фур`є підставимо їх значення із попередньої таблиці (додаток 1).

Розраховуємо тісноту зв’язку (кореляційне відношення) для першої гармоніки. Для цього нам потрібно організувати наступні стовпці:  , 

Кореляційне відношення для 1-ої гармоніки:

 

Розрахуємо параметри ряду Фур`є по другій гармоніці; для цього необхідно сформувати два стовпчики:  та 

Таким чином, маємо дані розрахунку для параметрів  та 

 

 

Записуємо ряд Фур`є для другої гармоніки:

 

Записуємо тісноту зв’язку (кореляційне відношення) для другої гармоніки

 

Оскільки  , то ряд Фур`є по першій гармоніці більш адекватно описує сезонні коливання явища.

Будуємо графік сезонних коливань продажу зимової одежі.