7.5 Непрямий метод найменших квадратів (НМНК) оцінки параметрів системи двох регресій.

Розглянемо систему взаємопов’язаних регресій, якщо між ендогенними та екзогенними величинами існує лінійна залежність:

 (7.22)

Нехай ендогенні величини:

 — експорт;  — імпорт

Та екзогенні величини:

 — національний дохід України;  — зовнішній товарообіг країн ЄС.

Запишемо систему регресій у прогнозній (приведеній) формі:

  (7.23)

Для оцінки товарообіг прогнозної (приведеної форми системи регресій використовується метод найменших квадратів для кожної з них.

Сформуємо матриці Х та Y:

  ; (7.24)

  (7.25)

 (7.26)

Звідки вектор параметрів прогнозної системи регресій:

 (7.27)

Таким чином, матриця С оцінок параметрів прогнозної форми буде мати вигляд:

 (7.28)

Відмітимо, що якщо параметри структурної форми (7.22) однозначно виражаються через параметри прогнозної форми (7.23) системи регресії, то така економетрична модель називається ідентифікованою. Якщо число оцінюваних параметрів структурної форми регресії більше числа оцінюваних параметрів прогнозної форми, тобто число оцінюваних параметрів прогнозної форми регресії більше числа рівнянь, то систему називають неідентифікованою.

Параметри прогнозної форми є комбінацією всіх параметрів структурної форми регресії. По параметрах прогнозної форми не можна робити висновок про взаємозалежність ендогенних величин, оскільки при переході із структурної форми до прогнозної форми регресії вони розподіляються на екзогенні величини і відхилення. З іншого боку, структурна форма не придатна для визначення прогнозних значень ендогенних величин, тому що в правій частині регресії знаходяться значення ендогенних величин.

Розглянемо методику розрахунку параметрів структурної форми регресії через параметри прогнозної форми. Економетричну модель (7.23) перепишемо у такому вигляді:

 (7.29)

або у матричній формі:  (7.30)

де  (7.31)

  ; 

де В — матриця параметрів при ендогенних величинах структурної форми системи регресій;

А — матриця параметрів при екзогенних величинах структурної форми системи регресій;

Х — матриця екзогенних величин;

Y — матриця ендогенних величин.

Тоді прогнозна  форма системи регресій матиме вигляд:

 (7.32)

або у розгорнутій формі:

 (7.33)

Запишемо структурну форму регресій у вигляді матричного рівняння:

  (7.34)

Знайдемо добуток матриць В і С та прирівняємо його до матриці А:

 (7.35)

З цієї системи знайдемо оцінки елементів матриць В і А:

  (7.36)

 

 

Приклад. На основі статистичних даних за 10 років ендогенних величин:  –експорт,  — імпорт (в у. г. о.); та екзогенних величин: Х1 — національний дохід, Х2 — середній обсяг зовнішньої торгівлі країни СНД; використовуючи непрямий метод найменших квадратів, оцінити параметри структурної системи регресій зовнішньої торгівлі k-ї країни.

Використовуючи прогнозну форму системи регресій, оцінити значення прогнозу експорту та імпорту, якщо структурна система регресій має вигляд:

  (7.37)

Таблиця 7.1

                                   

70,00  5,50      55        73

75,00  6,10      63        86

77,00  6,90      71        94

80,00  7,40      80        103

85,00  7,90      93        111

92,00  8,30      103       117

99,00  8,80      117       122

130,00            9,10      128       130

107,00            9,80      139       135

112,00            10,20    151       139

115,00            11,00               

Рішення.

1. Перевіримо умову ідентифікації регресії. Система структурних регресій називається ідентифікованою, якщо з матричного рівняння ВС=-А елементи матриці А і В однозначно визначаються через елементи матриці С. Звідси випливає, що система структурних регресій буде ідентифікованою, якщо для кожної регресії виконується умова:  , де п — число ендогенних величин і число регресій у системі, т — число екзогенних величин у системі регресій,  — число ендогенних величин в і-й регресії,  — число екзогенних величин в і-й регресій. Для першої регресії маємо таке співвідношення:

 

Аналогічно для другої регресії:

 

Умова ідентифікації регресії виконана, тому оцінка параметрів структурної системи регресій можна знайти непрямим методом найменших квадратів.

Перепишемо структурну систему регресій (7.37) у вигляді:

 

або у матричній формі: 

де   ;

Запишемо прогнозну систему регресій у матричній формі:

 

або у розгорнутій формі:

 

2. Для оцінки параметрів прогнозної системи регресій використовуємо 1 МНК, формуємо матрицю екзогенних величин Х та ендогенних Y.

 

Знаходимо добуток матриць  та 

 ; 

3. Знаходимо оцінки параметрів прогнозної системи регресій:

 

Таким чином: 

Запишемо прогнозну систему регресій у розгорнутій формі:

 

4. Знайдемо розрахункові значення експорту  та імпорту  , користуючись прогнозною формою системи регресій:

 

Результати обчислень запишемо у таблицю. Розрахуємо також вектори залишків  та  як різниці між  та запишемо їх також у таблиці 7.2

                                   

52,59482        75,56046           2,40518 -2,56046

64,30753        84,05263           -1,30753           1,94737

72,09679        95,68636           -1,09679           -1,68636

79,90046        102,84087         0,09954 0,15913

91,05886        109,86217         1,94114 1,13783

105,01768       115,27939         -2,01768           1,72061

119,53081       122,16747         -2,53081           -0,16747

127,90321       126,31364         0,09679 3,68636

138,49288       136,34329         0,50712 -1,34329

149,09696       141,89372         1,90304 -2,89372

Залишкові дисперсії:

 

Загальні дисперсії:

 

Коефіцієнти множинної кореляції:

 

Оцінка адекватності моделі по F-крітерію Фішера:

 

  . Отже, прийняту економетричну модель з імовірністю Р=0,95 можна вважати адекватною статистичним даним.

5. Знаходимо точкові оцінки прогнозу, використовуючи систему регресій у прогнозній формі: для прогнозних величин  прогнозні ендогенні величини приймуть значення   у. г. о.

6. перейдемо від прогнозної форми системи регресій до структурної:

 

 

 

 

 

Запишемо структурну систему регресій:

 ;

 

Із структурної форми системи регресій випливає:

Зі збільшенням  (імпорту) на одиницю при незмінних інших величинах,  (експорт) збільшиться на 0,37686 у. г. о. Зі збільшенням Х1 (національного доходу) на одиницю, при незмінних інших величинах,  (експорт) збільшиться на 1,70246 у .г. о. Зі збільшенням  (експорту) на одиницю при незмінних інших величинах,  (імпорт) зменшиться на 0,03971 у. г. о. Зі збільшенням Х2 (середнього товарообігу країн СНД) при незмінних інших величинах,  (імпорт) збільшиться на 14,9288 у. г. о.