7.4 Рекурсивні системи

Якщо в економетричній моделі матриця параметрів В при внутрішніх змінних  має трикутний вигляд, то така система рівнянь називається рекурсивною.

Розглянемо економетричну модель, яка складається із системи регресій, в якій матриця В має трикутну форму:

 (7.11)

Для цієї системи регресій матриця параметрів В має вигляд:

  (7.12)

В рекурсивній моделі спостерігається одностороння залежність між внутрішніми змінними, оскільки  залежить від  , але  не залежить від  і т.д. Звісно, що не всі регресії рекурсивної моделі будуть ідентифікованими. Рекурсивна економетрична модель якщо ідентифікована, то використовують наступний алгоритм оцінювання параметрів рекурсивної моделі:

1)  Використовуючи МНК, оцінюють параметри першої регресії (оскільки в правій частині цього рівняння знаходиться тільки екзогенні величини 

2)  Обчислюють значення  , екзогенну величину  вводять в регресію як пояснюючу, і, вводячи значення  перед визначеними, оцінюють параметри другої регресії

3)  Для третьої регресії приймається, що   перед визначені, і оцінюють параметри регресії МНК.

Як рекурсивну модель можна навести модель німецького економіста М. Вольфганга.

Якщо позначити через ендогенні величини:

 — грошові доходи населення;

 — особисте споживання;

 — споживання;

і через екзогенні величини:

 — національний дохід;

 — особисте споживання за попередній рік;

 — чисельність населення;

 — збереження на кінець попереднього року;

 — суспільний фонд споживання

то модель запишеться у вигляді:

 (7.13)

Рекурсивна модель М. Вольфганга складається з двох регресій та однієї тотожності. У приведеній економетричній моделі матриця В має трикутну форму:

  (7.14)

Якщо розглядати ендогенні величини  та  , то  (особисте споживання) залежить від грошових доходів населення  , але грошові доходи  не залежать від особистого споживання  , тобто в даній економетричній моделі спостерігається односторонній зв’язок між ендогенними величинами. В цій моделі присутні дві масові величини: ендогенна  — особисте споживання за попередній рік і екзогенна  — збереження на кінець попереднього року.

Після оцінки параметрів прогнозу форму можна отримати підстановкою попередніх стохастичних залежностей ендогенних змінних від екзогенних у наступній регресії і після приведення подібних отримати прогнозну форму.

Сформуємо матриці екзогенних змінних  та ендогенних змінних  для регресії, що описує грошові доходи населення  :

   (7.15)

Цій регресії відповідає система нормальних рівнянь:

 (7.16)

 (7.17)

Використовуючи МНК знайдемо вектор параметрів моделі:

 

Після обчислення розрахункових значень  та вважаючи значення  перед визначеними формуємо наступну матрицю екзогенних змінних  та ендогенних 

    (7.18)

Тоді:

 (7.19)

 (7.20)

Використовуючи МНК, знайдемо оцінки параметрів моделі витрат на особисте споживання.

 (7.21)

Обчислюємо значення  . Для третьої моделі (тотожності) приймаємо, що  та перед визначені, оцінюємо  як суму