5.3 Перевірка автокореляції у залишках

Як вже зазначилось, однією з передумов, на якій базується оцінка параметрів моделі методом найменших квадратів (1МНК), є відсутність коваріації залишків, що випливає з вимоги:

 (5.19)

Але дуже часто доводиться мати справу з ситуаціями, коли ця передумова не виконується і залишки  автокорельовані з залишками  . Автокореляція залишків виникає найчастіше тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Вона також може бути наслідком помилкової специфікації форми залежності між змінними. Крім того, наявність автокореляції залишків може вказувати на необхідність введення в модель нової незалежної змінної.

При перевірці автокореляції досліджується гіпотеза про те, що випадкові помилки  не автокорельовані, тобто їх коваріаційна матриця  — діагональна. Коефіцієнт автокореляції  між послідовими значеннями  повинен дорівнювати нулю. Нульову гіпотезу в цьому випадку можна сформулювати наступним чином:

 

Якщо нульова гіпотеза не виконується, то можливі два варіанти:

1)  (додатна автокореляція);

2)  (від’ємна автокореляція).

Дарбін і Уотсон дослідили закон розподілу імовірностей величин  для фіксованого п і запропонували критерій оцінки наявності автокореляції залишків:

 (5.20)

при наступних умовах:

1)  випадкові помилки  розподілені нормально;

2)  регресі містить постійний член (неоднорідна);

3)  матриця Х (матриця незалежних змінних) не стохастична.

Величина  залежить від матриці Х і може приймати любі значення в інтервалі (0; 4).

Позначимо нижню границю  через  , а верхню — через  .

Значення  і  залежать від числа спостережень та числа незалежних змінних рівняння (виключаючи постійну). Якщо розраховане по (5.20) значення  знаходиться в інтервалі (0;  ), то залишки додатньо корельовані і якщо значення  попадає в інтервал ( ; ), то нічого визначеного сказати неможливо. Для одержання однозначного рішення у цьому випадку необхідно збільшити число спостережень. Для встановлення автокореляції необхідно дослідити величину 4- . Якщо значення  лежить в інтервалі (4- ;  ), то слід прийняти нульову гіпотезу про відсутність автокореляції у залишках. Іншими словами, якщо  факт< ,  залишки мають автокореляцію, якщо  факт> , то приймається гіпотеза про відсутність автокореляції, при додатній автокореляції  , а при від’ємній —  . Якщо залишки  є випадковими величинами, нормально розподіленими, а не автокорельованими, то значення  міститься поблизу 2.

Величини  і  для двох рівнів значимості  і  , 15-100 спостереження та 1-5 незалежних змінних наведені у додатку.

Для виявлення автокореляції залишків використовується також критерій фон Неймана  . Величина  розраховується із співвідношення:

 (5.21)

де  (5.22)

 (5.23)

 (5.24)

Якщо розраховане значення  менше (або більше) деякого критичного значення, то має місце додатна (від’ємна) автокореляція залишків. Критичні величини  наведені у додатку.

Крім статистик Дарбіна-Уотсона і Неймана при перевірці автокореляції використовують також нециклічний емпіричний коефіцієнт автокореляції для одиничного лага, який виражає ступінь взаємозв`язків рядів.

 

 

Цей коефіцієнт розраховується по формулі:

  (5.25)

Коефіцієнт  може приймати значення в інтервалі (-1; +1). Від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію залишків, додатні — про додатну автокореляцію. Значення, які лежать в деякій критичній області біля нуля, підтверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках. Імовірний розподіл  встановити важко. Тому на практиці замість  розраховують циклічний коефіцієнт автокореляції для одиночного лага  . Величина  виражає ступінь взаємозв’язку  рядів

 

 

Для досить довгих рядів вплив членів незначний і можна вважати, що ймовірний розподіл  наближується до ймовірного розподілу  .

В табл. 5.1 наведені критичні значення циклічних коефіцієнтів кореляції для одиничного лага. При допомозі цієї таблиці можна перевірити гіпотезу про рівність нулю коефіцієнта автокореляції для любого лага. Циклічні коефіцієнти автокореляції для одиничного лага обчислюються по формулі:

 (5.26)

Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто  , то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному.

При припущенні, що середнє залишків дорівнює нулю, тобто  , маємо

 

Таблиця 5.1

Критичні значення циклічного коефіцієнта автокореляції 

Число            Додатна автокореляція            Від’ємна автокореляція

спостережень                                                

10      0,360    0,525    0,564    0,705

15      0,328    0,475    0,462    0,597

20      0,299    0,432    0,399    0,524

25      0,276    0,398    0,356    0,473

30      0,257    0,370    0,325    0,433

Підставивши  у формулу циклічного коефіцієнта автокореляції (5.26) отримаємо наближену формулу для циклічного коефіцієнта автокореляції:

 (5.27)

Якщо  , то існує наступний зв’язок між коефіцієнтом автокореляції  і  — статистикою Дарбіна-Уотсона:  .

На практиці замість (5.27) доцільно розраховувати коефіцієнт автокореляції:

 

При умові якщо  існує формула, яка пов’язує статистики Дарбіна-Уотсона і Неймана:

 (5.28)

5.4 Методи рішення проблем автокореляції в економічних моделях.

Метод Ейткена.

Якщо при допомозі критеріїв Дарбіна-Уотсона, фон Неймана або циклічного коефіцієнта автокореляції виявлено наявність автокореляції в залишках, то необхідно знайти адекватний спосіб перерахунку параметрів моделі або покращити специфікацію моделі.

Найбільш ефективним способом оцінювання параметрів в регресійних рівняннях з автокорельованими залишками є узагальнений метод найменших квадратів, відомий під назвою методу Ейткена.

Допустимо, що коваріаційна матриця залишків позитивно визначена і має вид:

 (5.29),

де  —  не вироджена квадратна матриця порядку п.

Помножимо рівняння регресії:

 (5.30).

зліва на  , отримаємо

 (5.31).

Тоді коваріаційна матриця помилок  буде діагональною. Дійсно,

  (5.32).

Таким чином, до перетвореного рівняння (5.31) можна використати звичайний метод найменших квадратів. Оцінку параметрів А тоді отримаємо із співвідношення:

  (5.33).

Нажаль, апріорі ми не знаємо ні значень помилок, ні коваріаційної матриці  . Якщо залишки  утворюють стаціонарний авторегресійний процес першого порядку, то автоковаріаційна матриця помилок буде мати вид:

  (5.34)

У цій симетричній матриці  виражає коефіцієнт автокореляції  -го порядку для залишків  . Очевидно, що коефіцієнт автокореляції нульового порядку дорівнює 1.

Оскільки коваріація залишків  при  часто наближується до нуля, то матриця, обернена до матриці  , матиме такий вигляд:

  (5.35)

Таку матрицю іноді можна використовувати при оцінюванні параметрів моделі з автокорельованими залишками за методом Ейткена.

Коваріаційну матрицю  для вектора залишків  можна записати в загальній формі таким чином:

 (5.36)

Матрицю (5.36) можна записати як:

 (5.37)

На головній діагоналі коваріаційної матриці t-й елемент  являє собою дисперсію  відхилень випадкової змінної для  в t-му рівнянні 

Поза головною діагоналлю цієї коваріаційної матриці в t*-му рядку t-го стовпця стоїть елемент  . Він виражає коваріацію відхилень t*-го стовпця і t-го рівняння. Матриця  симетрична.

Якщо  додатна, то обидві змінні відхилень  і  варїрують  в одному напрямку. Це значить, що змінні  і  додатньо корельовані.

Якщо  від’ємна, то обидві змінні варїрують у протилежних напрямках. В цьому випадку змінні  і від’ємно корельовані.

Якщо  рівні нулю, то відхилення  і  не корельовані.

В класичній регресійній моделі  — мірна коваріаційна матриця вектора відхилень  розміром  має наступний вид:

  (5.38)

При цьому  являється одиничною матрицею порядку п. Порівнюючи вирази

(5.36) і (5.38), можна зауважити, що в класичній регресійній моделі має місце рівність  , тобто в класичній регресійній моделі досить розрахувати значення одного елемента, а саме дисперсію відхилень  , щоб знати всі елементи матриці S, які є невідомими згідно умови. В цьому випадку проблема зводиться до знаходження  і  . Їх оцінки можна отримати наступним чином:

1)  розрахувати параметри рівняння регресії при допомозі звичайного метода найменших квадратів (1МНК);

2)  підставляючи ці оцінки у рівняння регресії  , знайдемо значення залишків;

3)  по формулах  та  ,  знайдемо оцінки  і  та перевіримо залишки на наявність автокореляції;

4)  оскільки параметр  має зміщення, тому при формуванні матриці S необхідно скорегувати коефіцієнт автокореляції  на величину зміщення:

 (5,39)

де  — величина зміщення; т — кількість незалежних змінних;

5)  формування матриці коваріації залишків (S) та знаходження оберненої матриці  (S-1);

6)  оцінка параметрів методом Ейткена, тобто за формулою:

  (5.40)

Крім узагальненого методу найменших квадратів (УМНК) Ейткена для позбавлення автокореляції залишків використовують ітераційний метод, запропонований Д.Кокрейном та Ж.Оркуттом, який базується на авторегресійному перетворенні змінних. Проблема автокорекції також рішається при допомозі перетворень Койка.

Приклад 5.4. По даних таблиці 5.2 побудувати економетричну модель, що характеризує залежність величини пропозиції від ціни на окремий вид товару.

Таблиця 5.2

Рік     1          2          3          4          5          6          7          8          9          10

Ціна   2,5        2,7        3,2        3,5        3,7        4,0        4,3        4,6        5,0        5,5

Пропозиція   4,2        4,5        4,8        5,2        5,4        5,8        6,5        6,9        7,7        8,1

Рішення. Позначимо величину пропозиції через у, а ціну — через х. Тоді загальний вигляд економетричної моделі:  , де  — оцінки параметрів моделі;  — залишки.

Крок 1. Визначимо параметри моделі  на основі методу найменших квадратів, припускаючи, що залишки  не корельовані: 

де  — матриця, транспонована до матриці Х.

Формуємо матриці Х та Y:

 ; 

   ; 

 

Економетрична модель має вигляд: 

Крок 2.  На основі економетричної моделі  знайдемо розрахункові значення пропозиції  і порівняємо їх з фактичними. Тоді  .

Таблиця 5.3

Рік                                                     -                       -

1        4,2        3,99732 0,20268 0,041079           —        —        —

2        4,5        4,27056 0,22944 0,052643           0,02676 0,000518           0,046503

3        4,8        4,93566 -0,15366           0,023611           -0,3831 0,146766           -0,03526

4        5,2        5,36352 -0,16352           0,026739           -0,00986           0,0000972         0,025126

5        5,4        5,63676 -0,23676           0,056055           -0,07324           0,005364           0,038715

6        5,8        6,04662 -0,24662           0,060821           -0,00986           0,0000972         0,05839

7        6,5        6,45648 0,04352 0,001894           0,29014 0,084181           -0,01073

8        6,9        6,86634 0,03366 0,001133           -0,00986           0,0000972         0,001465

9        7,7        7,41282 0,28718 0,082472           0,25352 0,064272           0,009666

10      8,1        8,09592 0,00408 0,0000166         -0,2831 0,080146           0,001172

                                             0,346465                      0,381539           0,135049

Знайдемо критерій Дарбіна-Уотсона:

 

Оскільки критерій  менше двох, то можна стверджувати про існування додаткової або прямої автокореляції. Зробити порівняння фактичного значення критерію  з табличними неможливо, бо критичні значення подані, починаючи з п=25 (в даному випадку п=10).

Критерій фон Неймана  . Це значення порівнюється з табличним.  при п=10 і рівні значимості  .

Так як  , то існує додатна автокореляція залишків.

Циклічний коефіцієнт автокореляції

 

 , таким чином існує автокореляція залишків 

Крок 3. Формування матриці S.

Оскільки параметр  має зміщення, тому при формуванні матриці S необхідно скоригувати коефіцієнт автокореляції  на величину зміщення.

 

або 

Матриця коваріації S буде мати вигляд:

 

 

 

Записуємо рівняння регресі: 

Знайдемо розрахункові значення  та визначимо залишки Wt (табл.5.4)

Таблиця 5.4

Рік                                                     -           

1        4,2        4,561    -0,361   0,130321           —        —

2        4,5        4,7666  -0,2666 0,071076           0,0944  0,0088911

3        4,8        5,2806  -0,4806 0,230976           -0,214   0,045796

4        5,2        5,589    -0,389   0,151321           0,0916  0,008391

5        5,4        5,7946  -0,3946 0,155709           -0,0056 0,0000314

6        5,8        6,103    -0,303   0,091809           0,0916  0,008391

7        6,5        6,4114  0,0886  0,00785 0,3916  0,153351

8        6,9        6,7198  0,1802  0,032472           0,0916  0,008391

9        7,7        7,131    0,569    0,323761           0,3888  0,151165

10      8,1        7,645    0,455    0,207025           -0,114   0,012996

                                             1,40232            0,397422

Розрахуємо критерії Дарбіна-Уотсона і фон Неймана:

 

Циклічний коефіцієнт автокореляції:

 

Оскільки  , а  при числі спостережень п=10 та рівні значимості  , то автокореляція відсутня.