3.9. Множинна нелінійна регресія.

3.9.1 Степенева множинна  регресія

Розглянуті раніше  множинні лінійні регресiйнi моделі являються частковим випадком більш загальних нелінійних моделей.

В економічному аналiзi використовують рiвняння більш складного криволінійного типу, котрі краще описують багатофакторні економічні взаємозв’язки. Одним iз таких рiвнянь являється степенева функція

 (3.66).

Прологарифмуємо вираз ( 3.66): 

і зробимо  заміну нелінійних елементів на лінійні

  та  ,

одержимо систему лінійних рівнянь

 

Параметри моделі  степеневої функції можна обчислити, розв’язавши  систему рівнянь:

 

Цю систему нормальних рівнянь можна рішити методом оберненої матриці, для цього сформуємо матриці Х та Y.

 ; 

Параметри моделі знаходимо як добуток матриць:

 

звідки  .

Для розрахунку вектора залишків необхідно знайти теоретичні значення 

 

Приклад 3.9. Визначіть параметри степеневої моделі  залежності витрат на споживання від рівня доходів х1 та збережень х2. Обчислення виконати на базі статистичних даних приклада 3.1.

Рішення.

Проводимо лінеаризацію вхідних даних

 

 

Формуємо таблицю 3.9  для накопичення сум:

 

Записуємо систему нормальних рівнянь:

 

 

Систему рішаємо методом оберненої матриці:

 

 

Запишемо економетричну модель

 

Розрахуємо теоретичні значення витрат на споживання:

 

 

 

 і т.д.

Теоретичні значення  заносимо у таблицю 3.9.

Розрахуємо  та знаходимо тісноту зв’язку.

 

Висновки. У степеневій моделі показники степеня є коефіцієнтами еластичності. Отже, при зростанні рівня доходів х1 на 1% рівень витрат на споживання зростає на 1,1852%; при зростанні рівня збережень на 1% рівень споживання зростає на 0,504185%.

3.9.2 Показникова множина регресія

 

Прологарифмуємо функцію:

 

Зробимо заміну  та  відповідно на  одержимо лінеаризовану функцію. Для знаходження її  параметрів  складемо та рішимо систему нормальних рівнянь

 

3.9.3 Гіперболічна множинна регресія

 

Проведемо лінеаризацію функції шляхом заміни нелінійних елементів на лінійні:  відповідно на  складемо схему лінійних рівнянь:

 

3.9.4 Параболічна множина регресія

 

Параметри  знайдемо методом найменших квадратів, рішивши систему лінійних рівнянь:

 

3.9.5 Логарифмічні та напівлогарифмічні функції

 

 

 

Лінеаризація цих функцій проводиться шляхом заміни  на  .

Можлива також комбінація лінійних елементів функції з їх нелінійними елементами.

Наприклад:

 ,

Ліва частина функції може приймати також значення