3.8. Матричні методи побудови та аналiзу регресій.

Застосування матриць для визначення параметрів рiвняння лiнiйної регресiї дозволяє представити всі розрахунки в зручній i компактній формі.

Для обробки даних, представлених в матричній формі, також використовують метод найменших квадратів, оскільки в цьому випадку мінімізується сума відхилень фактичних значень вiд значень, одержаних по рівнянню зв’язку, тобто:

 (3.46).

де  - матриця відхилень (різниць) фактичних значень результативного показника від теоретичних;

 - обернена матриця;

  - матриця   спостережень незалежних факторів;

 - матриця фактичних значень результативного показника.

Елементи векторів А( ) визначають шляхом прирівнювання до нуля перших частинних похідних вказаної суми:

  ...;  (3.47),

що приводить до системи нормальних рiвнянь, записаної у матричній формі:

 ;  (3.48),

звідки вектор параметрів рівняння регресії

   (3.49),

де

 

В матриці Х додатково введено стовпець, всі елементи котрого рiвнi 1, тобто умовно приймається, що в моделі є вільний член  .

Знайдемо матриці, що входять у вираз (3.49).

 

 

 

Із останніх двох виразів неважко одержати вже розглянуту систему нормальних рiвнянь.

Для оцінки тiсноти зв’язку мiж результативним показником та факторами  розрахуємо вектор залишків , залишкову  та загальну  дисперсії:

 (3.50).

 ; (3.51),

  - число незалежних змінних в моделі;

  (3.52).

Коефіцієнт множинної кореляції:

 (3.52).

Довірчі границі та значущість коефіцієнта  множинної кореляцiї оцінюється через дисперсію

 ; ;  , (3.53)

де  число ступенів вільності;  - нормоване значення функції Стьюдента в залежності від заданого рівня довірчої імовірності та числа ступенів вільності  .

Дисперсія коефіцієнта регресiї  визначається по формулі:

  , або  , (3.54),

де  - діагональний елемент матриці 

Тоді довірчі границі параметра моделі  для генеральної сукупності складуть:

 (3.55)

Значущість коефіцієнта регресiї оцінюється співвідношенням:

 (3.56).

Якщо  > , то параметр моделі  значущий, тобто не випадковий. В протилежному випадку фактор  необхідно виключити із рівняння регресії.

Довірчі границі базисних середніх значень  i довірчі зони рiвняння визначаються по формулі:

  , (3.57),

де  - вектор-рядок;  - номер рядка матриці  :

 , (3.58),

а границі кожного базисного середнього

 (3.59).

Довірчі зони значень показника  вiд факторів ( ) будуть у межах:

 .  (3.60).

Середні значення прогнозного показника  для прогнозних значень факторів  розраховуються по рівнянню регресiї шляхом підстановки відповідного значення  i обчислення

 (3.61),

або у матричній формі

 (3.62),

де  - вектор параметрів моделі.

Довірчі інтервали прогнозу обчислюючи за формулою

  (3.63).

Відповідно, довірчою зоною значень прогнозу буде:

 . (3.64).

Необхідно відмітити, що значення коефіцієнта  в рiвняннi регресії залежить вiд прийнятих одиниць вимірювання величин  . Тому для інтерпретації коефіцієнта  зручно використовувати так званій Коефiцiєнт еластичності, який знаходиться за формулою:

 ;   (3.65).

Коефiцiєнт еластичності показує, на скільки процентів в середньому зміниться величина  iз зміною величини  на 1%.

Приклад3.8. У табл.4 приведені статистичні дані витрат праці  , виробничого капіталу  та обсягу виробництва продукції   Таблиця 4. 

Побудувати та дослідити виробничу функцію Кобба-Дугласа виду

 ,

зробити оцінку її параметрів та, користуючись методом математичної екстраполяції, знайти прогнозоване значення обсягу виробництва, якщо прогнозоване значення витрат праці  млн. л/год., а виробничого капіталу  млн. грн. .

Рішення.

Формуємо матриці X та Y:

 ,  .

Знаходимо добутки матриць:  та  .

 

 

Знаходимо обернену матрицю  методом Гауса

№      Матриця XX Матриця  I       Контрольна сума 

1                                

2                                 

3                                 

4                                

Замінюємо обернену матрицю 

 .

Вектор параметрів моделі

 

Запишемо векторну модель, побудовану по вибіркових даних:

 

 6. Знаходимо дисперсію  залишків (залишкову) та загальну дисперсію.

 

Загальна дисперсія:

 

 

Тіснота зв’язку:

 

Довірчі границі коефіцієнта множинної кореляції R:

 

 

 

Оскільки  , то з ймовірністю  можна стверджувати, що коефіцієнт множинної кореляції значимий.

7. Оцінка значимості параметрів моделі по t-критерію Стьюдента :

 

 

 

 

 

 

 

  а  отже параметри  - значимі, а  - не значимі.

8. Оцінка адекватності моделі по  - критерію Фішера :

9.  ;  ;  ;  отже з ймовірністю  можна стверджувати, що економетрична модель адекватно описує математичне явище.

10. Обчислимо середнє значення прогнозу:

 

11. Довірчі границі прогнозу:

 

 

 

12. Коефіцієнти еластичності:

 

 

Таким чином, при зростанні фактора  на 1% обсяг виробництва   зростає на 0,5314%, а при зростанні фактора  на 1%  показник  зростає на 0,1258%.