3.3.Коваріація (cov)

Властивості коваріації вивчається у коваріаційному аналізі. Коваріаційний аналіз — це одночасний аналіз сум квадратів і сум добутків відхилень двох або більше змінних від їх середніх. Він використовується при плануванні і статистичній обробці результатів дослідів як спосіб зменшення помилки експерименту, яка не піддається безпосередньому контролю (вимірюванню). Коваріаційний аналіз дозволяє встановити співвідношення між варіацією залежної змінної у і варіацією незалежної х.

У вузькому розумінні під коваріацією, яка позначається cov розуміють середній добуток відхилень двох змінних від їх середніх:

 (3.11)

Властивості коваріації:

1) коваріація ознаки х з самою собою є дисперсія

 (3.12)

  (3.13)

2)  якщо ознаки х та у функціонально залежні і пряма  утворює з віссю абсцис кут 45о або 135о, то абсолютна величина коваріації максимальна;

3)  якщо лінія регресії у по х розміщена горизонтально, а лінія регресії х по у вертикально, то коваріація дорівнює нулю, модуль коваріації знаходиться в границях

4)  знак коваріації визначається тим, що при прямому зв’язку між х та у додатні відхилення від х множаться на додатні відхилення від у, а від’ємні; при оберненому зв’язку навпаки:  додатні відхилення від х множаться на від’ємні відхилення від у, а від’ємні відхилення від х на додатні відхилення від у; тому коваріація позитивна при прямому зв’язку між х і у і негативна при оберненому зв’язку.

Якщо нормувати х і у, тобто перейти до нових величин  і  , в яких середині дорівнюють нулеві, а дисперсія — одиниці:

то  буде дорівнювати лінійному коефіцієнту кореляції. В іншому розумінні коваріація — сума добутків відхилень двох випадкових величин від відповідних середніх, тобто:

В імовірнісному вигляді:

 (3.14)

де  — можливі значення випадкових величин х та у;  — імовірність того, що випадкові величини приймуть значення  та  .

Позначивши  , отримуємо коваріаційну матрицю:

 (3.15)

Ділення коваріації двох ознак на добуток середньоквадратичних відхилень  та  дає лінійний коефіцієнт кореляції

 (3.16)