3.2. Середні величини. Загальні принципи їх застосування

Серед узагальнюючих величин або показників, що застосовуються для вивчення суспільних явищ і виявлення закономірностей їх розвитку, велике значення мають середні величини. Це пояснюється тим, що статистика вивчає сукупності за варіюючими ознаками, зміна яких проявляється у зміні їх кількісних значень в окремих одиницях цих сукупностей. На величину індивідуальних значень кожної одиниці спостереження діють декілька причин, певний вплив мають також і їх індивідуальні особливості.

Наприклад, розподіл робітників двох підприємств можна охарактеризувати за їх кваліфікацією, яка може бути представлена розрядом робітника. Для цього слід розрахувати показник середнього розряду окремо по кожному підприємству. Одержані середні дані можна порівняти і визначитись, на якому з підприємств рівень кваліфікації вищий.

В статистиці середня величинає одним з найбільш поширених способів узагальнення.

Середня величина – це узагальнюючий показник, який характеризує рівень явища і виражає середню ознаку даної сукупності. Середня ознака завжди узагальнює кількісну варіацію ознак. Наприклад, середня заробітна плата на даному підприємстві становить 150 грн., середня урожайність ранніх зернових або урожайність зернових культур і т.ін.

Середні величини, що застосовують у статистиці, належать до класу степеневих. В узагальненій формулі степенева середня має такий вигляд:

де х – індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти); т – показник степені середньої; п – число варіантів.

Зміна значення ступеня m визначає вид середньої.

Формули степеневих середніх:

при m=0 вона має вид середньої геометричної:

 - геометрична

при m=1 вона має вид середньої арифметичної:

 - арифметична

при m=-2 вона має вид середньої квадратичної: 

при m=-1 вона має вид середньої гармонійної: 

Середня арифметичнавеличина – це один із поширених видів середньої. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів.

Середня арифметична буває простою і зваженою. Середня арифметична проста розраховується по формулі:

 ,

  де х – показник індивідуального значення; п – кількість показників.

Наприклад, урожайність пшениці на трьох полях склала відповідно 25, 30 і 40 цнт з 1 га. Знайти середню арифметичну просту:

Середня арифметична зважена розраховується за формулою:

де х – показник індивідуального значення однієї системи або сукупності; f – показник індивідуального значення іншої системи або сукупності, який має логічний зв’язок з системою показника – х; xf – розрахунковий показник.

Наприклад, необхідно визначити середню кількість дітей в одному таборі, якщо відомі наступні показники:

 

1. Кількість дітей в таборі даної групи, x	50	60	30	35	20	25
							220
2. Кількість таборів для відпочинку дітей кожної групи, f	4	3	5	4	2	1
							19
3. Розрахункові дані, xi, fi	50x4=200	60x3=180	30x5=150	35x4=140	20x2=40	25x1=25
							735

Кількість дітей, яка в середньому нараховується в одному таборі знаходимо за формулою визначення середньої зваженої:

» 38 ¸39 дітей

Такий самий результат можна дістати, здійснивши розрахунок за середньою арифметичною простою.

Середня арифметична з інтервального ряду

В статистиці часто розраховують середні величини з інтервальних рядів, коли варіанти ознаки подаються у вигляді інтервалу ( від – до). В такому випадку середня

Наприклад, ми маємо такі дані:

Розподіл підприємств за рівнем продуктивності праці

 

Групи робітників за рівнем середнього виробітку, грн.	Число робітників, f	Середина інтервалу	xf
800-1000	20	200	18000
1000-1200	80	1100	88000
1200-1400	160	1300	208000
1400-1600	90	1500	135000
Всього	350	-	449000

= 1282,8 грн.

Середня з середніх

Бувають випадки, коли треба визначити середнє значення середніх декількох груп. В такому випадку їх знаходять за формулою:

Середня гармонійна

В статистиці на практиці зустрічаються і такі випадки, коли застосування середньої арифметичної є неможливим. Це буває в тому випадку, коли підсумовуванню підлягають не самі варіанти, а обернені їм числа, тобто , то середнє значення варіюючої ознаки обчислюють за допомогою середньої гармонійної.

Наприклад, витрати робочого часу двох трактористів на оранці одного гектару зябу відповідно становили  години. Це означає, що кожен тракторист за одну годину виоре відповідно 2 і 3 гектари. Визначимо середню арифметичну з цих чисел, тобто кількість гектарів виораних у середньому за годину. Для цього використовують формулу середньої гармонійної простої:

Дано: n= 2 ( кількість тракторів); ;.

год.

На практиці ширше застосовується формула визначення середньої гармонійної зваженої:

, z = xf

По суті це перетворена середня арифметична. Її застосовують коли показник f відсутній і його слід додатково визначити на основі відомих варіант Х і добутку варіант на частоту xf.

Наприклад, необхідно визначити середню урожайність озимої пшениці по агроформуванню, виходячи з даних таблиці. Урожайність та валовий збір озимої пшениці по агроформуванню

 

Бригада	Середня урожайність, ц/га (х)	Валовий збір, ц (z)
№ 1	40,2	16200
№ 2	38,6	14300
№ 3	33,4	12800
№ 4	42,1	20150
Разом	?	=63450

Підставивши дані у формулу середньої гармонійної зваженої, отримаємо кількість га:

(ц/га)

Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіюючою ознакою. В той же час для характеристики структури цих сукупностей застосовуються особливі показники, які називають у статистиці структурними середніми. Зокрема, це мода і медіана.

Мода – це величина, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряді це буде варіант, що має найбільшу частоту. Модашироко використовується в комерційній діяльності, в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, при реєстрації цін, встановленні рейтингу популярності осіб чи товарів тощо.

Наприклад:

 

Чисельність робітників даного розряду	80	50	30
Розряд робітників	5	6	вищий

 В даному прикладі модою є 5 розряд, так як цей розряд має найбільша кількість робітників.

Медіаною називають варіанту, що знаходиться в середині упорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше, ніж середня, а друга – більше. Медіана показує величину варіюючої ознаки, якої досягла половина одиниць сукупності.

Наприклад, ми маємо такі дані:

 

Розмір костюма	44	46	48	50	52	54	56	х
Кількість проданих костюмів	2	8	20	91	44	19	5	х
Всього	х	х	х	х	х	х	х	189

Для визначення медіани в дискретному варіаційному ряду потрібно суму всіх частот поділити на два і до одержаного результату додати 0,5. Тобто:

Число 95 ділить упорядкований ряд на дві частини. Таким чином, ми бачимо, що 95 варіанта найближча до числа 91, а це значить, що медіаною буде покупець костюма 50 розміру.

Моду з інтервального ряду визначають за формулою:

M₀=x_M0+,

де х_М0 - нижня границя інтервалу, в якому знаходиться мода (модальний інтервал); і – величина модального інтервалу;

f_{M0 ,} f_M0-1, f_M0+1 – відповідно частоти модального, до модального й після модального інтервалу.

Медіану з інтервального ряду визначають за формулою:

M_е=x_Mе+,

де х_{Ме –} нижня границя медіанного інтервалу; і – величина медіанного інтервалу; n=сума частот ряду; - сума нагромаджених частот ряду; f_Me  -частота медіанного інтервалу.