Тема 1.4. Кінематичний опис руху. Прямолінійний рух точки.

Швидкість і прискорення

Щоб визначити положения тіла в просторі в даний момент часу, тре¬ба задати відстані від цього тіла до групи тіл умовно прийнятих за нерухомі. Така група тіл і зв'язана з нею система координат утворює систему відліку. Ввівши декартову систему координат Х,Y,Z, зможемо визначити положения рухомої матеріальної точки А в певний момент часу, за допомогою трьох координат Х,Y,Z. Щоб описати рух тіла, замість декартової системи можна застосувати також інші системи координат, наприклад, полярну.

 

Під час руху матеріальної точки її координати змінюються з плином часу. Тому в загальному випадку рух визначається заданням трьох рівнянь:

 x=ƒ(t)

 y=ƒ(t)

 z=ƒ(t) (1.1.1)

 Рис. 1.1.1

Виключивши з цих рівнянь час, ми знайдемо рівняння траєкторії ру¬ху матеріальної точки. Траєкторія руху матеріальної точки - лінія, яку описує ця точка в просторі. Залежно від форми траєкторії рухи розділяються на прямолінійні і криволінійні.

Замість трьох рівнянь (1.1.1) для координат рухомої матеріальної точ¬ки її рух можна задати одним векторним рівнянням:

 = (t), (1.1.2)

де - радіус-вектор, проведений з початку координат. Радіус-вектор можна

характеризувати в просторі, задаючи його довжину r і два кути θ і φ.

(рис. 1.1.1)

Форма траєкторії залежить від вибору систем відліку. Нехай тіло падає в вагоні, який рухається відносно землі. Тоді траєкторія цього тіла відносно вагона буде прямою лінією, а відносно землі кривою.

При русі матеріальної точки радіус-вектор змінюється, і по величині і по напрямку.

Вектор Δ , який з'єднує початкове положення матеріальної точки з кінцевим називається переміщенням точки за вказаний проміжок часу

Δt.

Рис.1.1.2

 

Довжина ділянки траєкторії ММ , пройденої точкою з

моменту початку відліку часу, називається довжиною

шляху S, це є скалярна величина (рис.1.1.2).

При Δt→0 елементарний вектор переміщення направлений по дотичній до траєкторії, а його величина стає рівною елементу шляху (

Швидкість

Щоб охарактеризувати рух матеріальної точки, вводять векторну фізичну величину - швидкість, яка визначає бистроту руху та його напрям в даний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії MN так, що в момент часу t вона знаходиться в точці М, а в момент часу t+Δt -в точці N. Радіуси-вектори точок М і N відповідно дорівнюють і + Δ , а довжина дуги MN дорівнює ΔS. (рис. 1.1.3). Вектором середньої швидкості руху точки в інтервалі часу від t до t + Δt називається відношення приросту радіуса-вектора точки за цей інтервал часу до його величини Δt.

 (1.1.3)

 

Рис 1.1.3

Напрям вектора збігається з напрямами Δ . Якщо в виразі (1.1.3) перейти до границі, коли Δt прямує до нуля, то дістанемо вираз для швидкості (її називають миттєвою швидкістю) рухомої матеріальної точки в момент проходження її через точку М траєкторії:

 (1.1.4)

У процесі зменшення величини Δt точка N необмежено наближаєтьгя до точки М і хорда MN, повертаючись навколо точки М, біля границі збігається за напрямом з дотичною до траєкторії в точці М. Тому вектор і швидкість рухомої точки направлені вздовж дотичної до траєкторії в бік руху.

Якщо

 ,

то модуль , або враховуючи (1.1.4):

 

В системі СІ швидкшть вимірюється

Рівномірний прямолінійний рух матертальної точки характеризується постійною швидкістю. В нерівномірному русі величина швидкості змінюється з часом.

Прискорення

У рухах, з якими найчасташе доводиться мати справу, вектор швидкості змінюється і за величиною, і за напрямом. Для характеристики зміни швидкості таких рухів вводять поняття про прискорення. Розрізняють середнє і миттєве прискорення.

Середнім прискоренням нерівномірного руху в інтервалі часу від t до t+Δt називають векторну величину, чисельно рівну відношенню зміни швидкості до проміжку часу Δt.

 . (1.1.5)

Миттєве прискорення (прискорення в даний момент часу, в даній точці траєкторії) називають векторну величину , що дорівнює границі, до якої прямує середнє прискорення цієї точки при необмеженому зменшенні Δt:

 , (1.1.6)

або

В системі СІ [a] = .

При прямолінійному русі вектор прискорення співпадає з вектором швидкості ΔV > 0 при прискореному русі), і протилежний йому ΔV < 0 при сповільненому русі). Рух з постійним прискоренням називають рівнозмінним.

Тема 1.5. Прискорення при криволінійному русі

При криволінійному русі швидкість матеріальної точки змінюється в загальному випадку, по напрямку і по величині, залишаючись в будь-який момент часу дотичною до траєкторії руху.

У зв'язку з цим в криволінійному русі розрізняють тангенціальне прискорення, яке характеризує зміну швидкості по модулю

 (1.1.7)

і нормальне прискорення, яке характеризує зміну швидкості по напрямку:

 . (1.1.8)

Так як вектори тангенціального і нормального прискорення завжди перпендикулярні, то повне прискорення рівне

 . (1.1.9)

 

Рис 1.1.4