Тема 5.1 Центр терції (мас) і його координати.

Закон руху центру інерції

Абсолютно твердим тілом називається тіло, відстань між будь-якими двома точками якого стала, які б не були сили, що діють на нього. Інакше кажучи, форма і розміри такого тіла залишаються незмінними. Абсо¬лютно твердих тіл в природі немає.

Можна показати, що будь-який рух твердого тіла зводиться до двох рухів - поступального і обертового (приклад руху циліндра). При поступальному русі швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла одинакові. Це дозволяє характеризувати рух всього тіла рухом лише однієї його точки - центру мас.

Центр маси твердого {піяа - це точка в якій умовно зосереджується вся маса тіла і приклавши до неї рівнодійну всіх зовнішніх сил, які діють на тіло, можна використовувати для описання-руху.

Центр маси твердого тіла точка положення якої залежить від роз¬поділу маси в тілі або матеріальній системі і визначається координатами:

де m1,m2,…,mn - маси матеріальних точок, які утворюють тіло (систему);

Хі, Yi, Zi - координати матеріальних точок.

Зосередивши умовно в цій точці всю масу тіла і приклавши до неї рівнодійну всіх зовнішніх сил, можна використати для описання руху тіла раніше одержані закономірності для матеріальної точки.

Найдемо рівняння руху центру інерції. Для цьогопродиференціюємо співвідношення (1.5.1).

 ,

 , (1.5.2)

 ,

 

Отже:

 . (1.5.3)

Тверде тіло має такий імпульс, який має матеріальна точка маєи, яка дорівнює масі твердого тіла, і рухається так само як рухається центр маси тіла.

Тобто імпульс твердого тіла, можна замінити на імпульс матері¬альної точки, поміщеної в центр маси цього твердого тіла.

Рівняння (1.5.3) дає можливість встановити закон руху центру інерції твердого тала, якщо відома маса тіла і сила, яка діє на нього.

Із (1.2.14) знаємо, що зміна імпульсу системи:

 .

Підставимо цей вираз в (1.5.3)

 . (1.5.4)

Отже: центр маси твердого тіла рухається так само, як рухалась б матеріальна точка такої самої маси під дією всіх зовнішніх сил, які діють на тіло.

Тема 5.2 Момент інерції матеріальної точки і твердого тіла. Момент інерції стержня і інших тіл.

Теорема Штейнера. Момент сили

 Моментом інерції матеріальної точки відносно осі називається до¬буток маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі (рис. 1.5.1).

 (1.5.5)

де - момент інерції і-ої матеріальної точки відносно осі Z.

 - момент інерції системи матеріальних точок відносно осі Z.

 

Рис. 1.5.1

Якщо замість скінечного числа п матеріальних точок ми будемо ма¬ти тіло, то його можна розбити на елементарні маси dm. Тоді сума скінченого числа доданків перейде в суму безкінечного великого числа і м:омент іне¬рції виразиться інтегралом.

 (1.5.6)

Знайдемо момент інерції стержня відносно осі перпендикулярної до нього (рис.1.5.2).

 

Рис. 1.5.2

Нехай S є площа поперечного перерізу стержня, а  — густина. Ви¬ділимо елементарну малу частину стержня, довжиною dx, на відстані х від oci Z'-Z’.

Тоді: dm =  S  dx.

Якщо елементарно мала частина стержня dx знаходиться на відстані х від осі обертання, то її момент інерції буде:

dI=  S  x2 dx.

Момент інерції стержня довжиною l відносно осі Z'-Z':

 ,

 . (1.5.7)

 Момент інерції для циліндра відносно осі, яка проходить через центр мас:

 (1.5.8)

де m - маса циліндра,

R – радіус.

Момент інерції для диска, відносно осі, яка проходить через центр мас (рис.1.5.3):

 (1.5.9)

 

Рис.1.5.3

Момент інерції для тонкого диску (b<<R):

 . (1.5.10)

Момент інерції для кулі відносно осі яка проходить через центр маси:

 . (1.5.11)

Теорема Штейнера: момент інерції Iz-z відносно довільної осі дорівнює сумі момента інерції Iz-c тіла відносно осі Zc-Zc, проведеної через центр інерції С тіла паралельно осі Z-Z і добутку маси т тіла на квадрат відстані а між цими осями (рис.1.5.4).

 

 Рис. 1.5.5

Рис. 1.5.4

Iz-z=Izc+ma2 (1.5.12)

Моментом сили відносно деякої точки О називається векторна величина , яка визначається:

 , (1.5.13)

де - радіус-вектор проведений із точки О в точку прикладання сили

(рис. 1.5.5).

Векторним добутком двох векторів i називається вектор , який має такі властивості:

- модуль вектора рівний добутку модулів векторів і на sin a (a- кут між векторами і ).

 - вектор перпендикулярний до площини, в якій лежать вектори і . Вектори , і утворюють праву трійку.

Числове значення моменту сили дорівнює:

M= F × r × sina = F × l, (1.5.14)

де a - кут між векторами і ;

l = r × sin a - довжина перпендикуляра, опущеного з точки О на лінію дії сили . Величина l називається плечем сили .

Тема 5.3. Основний закон динаміки обертового руху для матеріальної точки і твердого тіла

Для того щоб тіло оберталось, необхідно до нього прикласти зовніш¬ню силу. Але будь-яка сила не може викликати обертовий рух тіла. Сили, напрям яких проходить через вісь обер¬тання або паралельно їй не можуть змінити кутову швидкість обертання тіла, тобто викликати обертовий рух. Тому обертання може бути викликане тільки силою Ft, яка лежить в площині, пер¬пендикулярній осі обертання і направ¬леній по дотичній до кола, яке описує точка прикладання сили (рис. 1.5.6)

 

Рис. 1.5.6

 . (1.5.15)

Якщо на тіло, закріплене на осі, діє декілька сил , ,... , то су¬марна їх дія рівна

 . (1.5.16)

Перейдемо до виводу рівняння руху тіла, яке має закріплену в прос¬торі вісь обертання. Для цього уявно розбиваємо тіло на сукупність окремих точок з масами т1, т2 , ... тт. Кожна із цих точок находиться на відстані від осі обертання, відповідно r1,r2,…,rn.

На точку з індексом і (i = 1,2,3,...n) діє в даний момент часу деяка сила , яка являє собою рівнодійну всіх прикладених до цієї точки зовніш¬ніх і внутрішніх сил.

 . (1.5.17)

Згідно 2-го закону динаміки:

 .

Точка тіла з масою mі рухається по колу з радіусом ri. Проектуємо вектори і на напрямок дотичної до траєкторії точки. Тоді:

 . (1.5.18)

Помножимо обидві частини цього рівняння на ri:

 ,

 (1.5.19)

де Mi - момент діючий на дану точку тіла сили , відносно осі обертання

Мi = Мi внутр +Мiзовн.

Тоді:

 . (1.5.20)

Рівняння (1.5.20) справедливе для будь-якої точки тіла. Підсумовуємо рівняння (1.5.20) для всіх точок тіла, яке обертається:

 . (1.5.21)

За третім законом динаміки:

 .

тому , тобто алгебраїчна cyмa моментів всіх невідомих нам внутрішніх сил рівна нулю:

 . (1.5.22)

Тоді рівняння (1.2.21) буде мати вигляд:

 .

Якщо: ,

то

Mзовн = e × I . (1.5.23)

Формула (1.5.23) виражає основний закон динаміки обертового руху твердого тіла, аналогічно другому закону Ньютона для поступального руху.

Порівнюючи (1.5.23) і (1.2.2), бачимо, що при обертовому русі роль сили відіграє момент сили М, роль прискорення - кутове прискорення e, а роль маси - момент інерції I.

Мірою інертності тіла яке обертається, як видно із основного закону, є момент інерції, який враховує не тільки масу тіла, але і її розподіл відносно осі обертання.

Момент інерції в системі СІ вимірюється - [І] = кг × м2.

Тема 5.4 Момент імпульсу матеріальної точки і твердого тіла. Закон збереження моменту імпульсу.

Векторний добуток радіуса - вектора матеріальної точки на її імпульс називається моментом імпульсу цієї матеріальної точки відносно точки 0 (рис.1.5.7).

 . (1.5.24)

 

Вектор моменту кількості руху матеріальної точки відносно точки О на¬правлений перпендикулярно до площини про¬веденої через вектори та і утворює з ними праву трійку векторів.

 Рис. 1.5.7

По величині цей момент рівний:

 . (1.5.25)

Векторна сума моментів імпульсів , всіх матеріальних точок сис¬теми називається моментом імпульсу руху системи відносно точки О:

 . (1.5.26)

Вектор співпадає по напрямку з вектором кутової швидкості

 . (1.5.27)

Із основного рівняння динаміки обертового руху (1.5.23) одержуємо імпульс моменту сили - :

 ,

 , (1.5.28)

 .

Зміна моменту кількості руху системи рівна імпульсу моменту всіх діючих на систему зовнішніх сил.

На ізольовану систему зовнішні сили не діють, тому момент зовніш¬ніх сил і;зміна моменту кількості руху будуть рівні нулю:

 ;

тобто . (1.5.29)

Отже, момент кількості руху замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки сталий у часі. Це є закон збереження моменту кількості руху (моменту імпульсу) для замкненої (ізольованої) системи тіл.

Кутова швидкість ізольованого абсолютно твердого тіла в процесі обертання не може змінюватися, В обертаючій, ізольованій системі, де мож¬ливі переміщення мас, із зміною моменту інерції відповідно змінюється і ку¬това швидкість. Якщо замкнена система включає в себе декілька обертаючих з різними швидкостями тіл, то рівняння (1.5.29) запишеться у вигляді:

 . (1.5.30)

Отже, якщо результуючий момент усіх зовнішніх сил. прикладених до системи, відносно будь-якої нерухомої осі тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу системи відносно тієї самої осі не змінюється з часом.

Тема 5.5 Кінетична енергія і робота oбертового руху

При обертанні твердого тіла окремі його елементарні частини (мате¬ріальні точки з масами тi) описують кола різних радіусів rі і мають різні лінійні швидкості Vi.

Кінетична енергія твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі, визначається як сума кінетичних енергій його складових частин:

 

якщо ,

то

Якщо тіло при обертанні не деформується то:

Отже ,

або . (1.5.31)

В загальному випадку рух твердого тіла можна подати в вигляді су¬ми двох рухів; поступального - зі швидкістю рівною швидкості Vc центра інерції тіла і обертового - з кутовою швидкістю навколо миттєвої осі, яка проходить через центр інерції.

Тоді повна кінетична енергія тіла, яке котиться, складається із енергії його поступального і обертового руху:

 (1.5.32)

де w - кутова швидкість твердого тіла, яке обертається навколо своєї геометричної осі;

V - лінійна швидкість поступального переміщення самої осі.

Тема 5.6 Робота зовнішніх сил при обертанні твердого miла

При обертанні тіла навколо нерухомої осі момент відносно цієї осі створює тільки одна складова діючої на нього сили, дотична до траєкторії точкиїї прикладення (рис. 1.5.8).

 

Рис. 1.5.8

При цьому сила , прикладена до тіла, виконує елементарну роботу: Якщо , то , , і тоді

 .

Робота за скінчений проміжок часу визначається:

 . (1.5.33)

Якщо M = const, то А = М×j

Тема 5.7 Рух в центральному полі. Закони Кеплера

Поле в якому потенціальна енергія частинки залежить тільки від від¬стані від частинки до центру поля називається центральним.

Eпот=Епот(r); . (1.5.34)

Важливим випадком центральних полів є поля, в яких потенціальна енергія обернено пропорціональна відстані . Сюди від¬носяться ньютонівські поля тяжіння і кулонівські електростатичні поля. Перші, як відомо, мають характер притягування, а другі можуть бути як по¬лями притягування, так і відштовхування.

В центральних полях траєкторії тіл, які рухаються, можуть бути пло¬скими кривими: параболами, гіперболами або еліпсами (в окремому випадку колами).

Кеплером були встановлені закони руху планет навколо Сонця.

 Всі планети рухаються по еліпсах, в одному із фокусів яких находи¬ться Сонце.

Так як гравітаційне поле являється полем центральних сил, то траєк¬торія тіл в полі центральних сил являє собою плоску криву - гіперболу, пара¬болу або еліпс.

 Радіус - вектор планети описує за рівні проміжки часу одинакові площі.

Приймаючи для простоти, що орбіти являються колами (це допустимо, тому що практично орбіти планет мало відрізняються від кіл).

 

 Рис. 1.5.9

Сонце і планети утворюють замкнену систему, тому до неї застосо¬вуються закони збереження моменту імпульсу.

L = mV× R = const

Площа, яку описує радіус - вектор планети за одиницю часу (рис.1.5.9)

 . (1.5.35)

 Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця прямопропорційні кубам великих півосей їх орбіт.

Сила тяжіння, яка діє зі сторони Сонця на планети, надає їм нор¬мального прискорення. Згідно закону всесвітнього тяжіння;

 (1.5.36)

де g - гравітаційна стала;

 mз і Мс -маси Землі і Сонця;

R - відстань від центра Землі до центра Сонця:

По другому закону Ньютона:

 

Тема 5.8 Закони збереження і симетрії простору та часу

Закони збереження імпульсу і моменту імпульсу ми одержуємо із за¬конів Ньютона (2-го і 3-го). Але ці співвідношення можна одержати, не звер¬таючись до третього закону Ньютона, виходячи із властивостей симетрії про¬стору, його однорідності і ізотропності. Тобто, закони збереження імпульсу і моменту імпульсу можна одержати, використовуючи другий закон Ньютона і вказані властивості симетрії простору.

Закон збереження імпульсу зв'язаний з однорідністю простору, а закон збереження моменту імпульсу з ізотропністю простору.

Простір однорідний - це значить, що при паралельному перенесенні замкнутої системи як цілого, її властивості не змінюються. Зокрема, при до¬вільно малому переміщенні системи як цілого, повинна бути рівна нулю ро¬бота dА всіх сил в системі. В замкнутій системі діють тільки внутрішні сили.

 .

Якщо ,

тоді .

Отже .

Закон збереження імпульсу на відміну від законів Ньютона справед¬ливий не тільки в рамках класичної механіки. Він справедливий як для мак¬роскопічних систем тіл, так і для систем мікрочастинок. Виконується цей закон і в релятивістській механіці. Імпульсом можуть володіти не тільки час¬тинки тіла, а також і поля (тиск електромагнітних хвиль, зокрема світла, на відбиваючих і поглинаючих поверхнях).

Отже, закон збереження імпульсу належить до числа самих фунда¬ментальних законів фізики.

Ізотропність простору проявляється в тому, що фізичні властивості і закони руху замкнутої системи не змінюються при її повороті в просторі як цілого на будь-який кут.

Зокрема, при довільно малому повороті замкнутої системи, як цілого, навколо нерухомої точки (початку координат) робота dА всіх сил, діючих в системі повинна бути рівна нулю.

 ,

 .

Якщо ,

тоді

Якщо , то .

Закон збереження механічної енергії зв'язаний з однорідністю часу. Однорідність часу проявляється в тому, що з бігом часу властивос¬ті замкнутої системи не змінюються.

Тобто закони руху замкнутої системи, не залежать від вибору початку відліку часу. Якщо в будь-які два моменти часу замкнуту систему поставити в одинакові умови, то починаючи з цих моментів часу всі ці процеси в систе¬мі будуть проходити однаково.