Тема 11.1. Поняття про коливні процеси
Коливаннями називаються процеси, які періодично повторюються. Такі властивості мають, наприклад, коливання маятника годинника коливання струни, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача тощо.
В залежності від природи повторюваності є такі коливання: механічні, електромагнітні, електромеханічні та ін. В цьому розділі ми розглянемо механічні коливання.
Коливання широко розповсюджені в природі і техніці. В багатьох випадках вони грають негативну роль. Коливання моста, які виникають внаслідок поштовхів, що передаються йому колесами потягу при проходженні через стики рейок, коливання (вібрації) корпуса корабля, визвані обертанням гребного гвинта, вібрації крил літака – все це процеси, які можуть привести до катастрофічних наслідків. В подібних випадках усувають причини виникнення коливань, або протидіють тому, щоб коливання досягли небезпечних розмірів.
Разом з тим, коливання є основою різних галузей техніки. Так, наприклад, вся радіотехніка заснована на коливальних процесах.
Характер зовнішньої дії на коливну систему розділяє коливання на такі види: вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання і параметричні коливання.
Вільними, або власними, коливаннями називаються такі коливання, які проходять в системі, коли вона виведена з положення рівноваги. Прикладом таких коливань є коливання кульки, підвішеної на нитці (маятник).
Вимушеними коливаннями називаються такі коливання, коли коливна система піддається дії зовнішньої періодичної змінної сили. Прикладом таких коливань служать коливання мосту, які виникають при проходженні на ньому людей, які йдуть в ногу.
Автоколивання, як вимушені коливання, виникають під дією зовнішніх сил, але моменти часу, коли передаються ці дії, задаються самою коливною системою. Прикладом автоколивної системи є годинник, в якому маятник одержує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі, або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти, коли маятник проходить через середнє положення.
При параметричних коливаннях, за рахунок зовнішньої дії, відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи, наприк¬лад, довжини нитки, на якій підвішена кулька, що здійснює коливання.
Найпростішими є гармонічні коливання, при яких коливна величина (наприклад, відхилення маятника) відбувається за законами синуса або косинуса.
Більшість коливань в природі і техніці мають характер близький до гармонічних, а періодичні процеси іншої форми (інша залежність від часу) можуть бути представлені, як накладання декількох гармонічних коливань.
Тема 11.3. Швидкість, прискорення, та енергія гармонічного коливання
Швидкість коливального руху визначимо, продиференціював¬ши рівняння (11.6) по часу:
(11.10)
Як видно з рівняння (11.10), швидкість також змінюється за гармонічним законом. Порівнюючи (11.6) і (11.10) видно, що швидкість випереджає зміщення по фазі на /2.
Максимальна швидкість відповідає максимальному значенню синуса, тобто, коли , тоді:
. (11.11)
Продиференціювавши (11.10) ще раз в часі, одержимо вираз для прискорення:
(11.12)
З рівняння (11.12) видно, що прискорення і зміщення знаходяться в протифазі. Це означає, що в момент часу, коли зміщення досягає найбільшого додатного значення, прискорення досягає найбільшого за величиною від’ємного значення і навпаки.
Максимальне значення прискорення буде при максимальному значенні косинуса , тобто коли і дорівнює:
. (11.13)
Квазіпружна сила є консервативною, і тому повна енергія гармонічного коливання повинна залишатись постійною В процесі коливань, як ми вияснили вище, відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну і навпаки, причому в моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія Е складається тільки з потенціальної енергії, яка досягає свого найбільшого значення :
. (11.14)
При проходженні системи через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в ці моменти досягає свого найбільшого значення :
. (11.15)
В будь-який момент часу повна енергія складається із суми кінетичної і потенціальної енергії:
. (11.16)
Так як
, (11.17)
(11.18)
то підставивши значення (11.6), (11.10) та (11.17) і (11.18) у формулу (11.16) отримаємо:
Таким чином, повна енергія гармонічного коливання дійсно залишається постійною.
Тема 11.4. Комплексна форма представлення коливань
Комплексним числом z називається число виду:
, (11.19)
де x і y – дійсне число, – уявне число ( ).
Число х називається дійсною частиною комплексного числа z. Символічно це записується у вигляді . Число у називається уявною частиною z.
Число
(11.20)
називається комплексно-спряженим до числа z.
Дійсному числу х можна співставити точку на осі х. Комплексному числу z можна співставити точку на площині, яка має координати х, у (мал. 3).
Комплексне число z можна задати також з допомогою полярних координат ρ і φ. Між обома парами координат є співвідно¬шення:
(11.21)
Прийнявши до уваги формулу (11.21) комплексне число можна представити у тригоно-метричній формі:
. (11.22)
Умова дійсності числа z є, коли , тобто число z буде чисто дійсним. В математиці існує співвідношення, яке називається формулою Ейлера:
. (11.23)
Замінивши в цій формулі φ на –φ і враховуючи, що , а , одержимо співвідношення:
(11.24)
З допомогою формули (11.22) комплексне число можна записати в показниковій формі:
. (11.25)
Комплексно-спряжене число в показниковій формі має вигляд:
. (11.26)
Розв’язок рівняння (11.5) у вигляді (11.6) можна представити з допомогою комплексного числа, користуючись формулою Ейлера таким чином:
. (11.27)
Рівняння представлене у показниковому вигляді, спрощує операції додавання гармонічних коливань.
Тема 11.6. Векторні діаграми. Додавання гармонічних однаково направлених коливань
Вирішення ряду питань, зокрема додавання декількох коливань одного й того самого напрямку, значно полегшується і стає наглядним, якщо представляти коливання з допомогою векторної діаграми.
Рис. 11.6
Для цього візьмемо вісь х (рис. 11.6), на якій з точки О, взятої за початок, відкладемо вектор довжини А (рівний амплітуді коливань), який утворює з віссю х кут α. Якщо обертати цей вектор з кутовою швидкістю, то проекція кінця вектора буде переміщатися по осі х в межах від –а до +а, причому координата цієї проекції буде змінюватися з часом за законом:
(11.42)
Відповідно, проекція кінця вектора на осі буде здійснювати гармонічне коливання з амплітудою, яка дорівнює довжині вектора і круговою частотою, яка дорівнює кутовій швидкості обертання вектора та початковою фазою, яка дорівнює кутові, утвореному вектором А з віссю в початковий момент часу.
Розглянемо випадок, коли тіло бере участь одночасно в декількох коливаннях, які відбуваються вздовж одного й того самого напрямку або поздовж різних напрямків. Так, наприклад, якщо кулька підвішена на пружині до стелі вагона, який коливається на ресорах, тоді рух кульки відносно землі буде складатись з коливань вагона відносно землі і коливань кульки відносно вагона.
Одержимо два гармонічні коливання однакового напрямку і однакової частоти з допомогою векторної діаграми. Зміщення х коливного тіла буде сумою зміщень х1 і х2, які запишемо таким чином:
(11.43)
Представимо два коливання з допомогою векторів амплітуди А1 і А2 (рис. 11.7).
Рис. 11.7
Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор А. Можна побачити, що проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій векторів, які додаються:
. (11.44)
Таким чином вектор А є результуючим коливанням.
Цей вектор обертається з такою самою кутовою швидкістю, як вектори А1 і А2, таким чином результуюче коливання буде гармонічним з такою самою частотою, амплітудою А і початковою фазою. З рис. 11.7 видно, що:
(11.45)
. (11.46)
Отже, представлення гармонічних коливань на векторній діаграмі дозволяє звести складання декількох коливань до операції складання векторів (формули (11.45) і (11.46)) провівши відповідні тригонометричні перетворення виразу (11.43).
Проаналізуємо вираз (11.45). Якщо різниця фаз двох коливань дорівнює нулеві, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі А1 і А2 . Якщо різниця фаз дорівнює π або –π, тобто обидва коливання знаходяться в протифазі, тоді амплітуда результуючого коливання дорівнює різниці амплітуд А1–А2.
Якщо частоти коливань х1 і х2 не однакові, тоді вектори А1 і А2 будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор А пульсує по величині і обертається з непостійною швидкістю.
Тому результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливальний процес.
Тема 11.7. Складання коливань з близькими частотами. Биття
З практичної точки зору, цікавим є випадок, коли два гармонічні коливання, які додаються, однакового напрямку незначно відрізняються частотою.
Коливання, яке виникає, в цьому випадку можна розглядати як гармонічне коливання з результуючою амплітудою. Таке коливання називається биттям.
Позначимо частоту одного з коливань буквою ω, а другого коливання через . За умовою . Амплітуди двох коливань будемо вважати однаковими і рівними А. Оскільки частоти коливань дещо відрізняються, завжди можна почати відліку часу так, щоб початкові фази обох коливань були рівні нулю. Тоді рівняння двох коливань будуть мати такий вигляд:
. (11.47)
Додаючи ці два вирази і використовуючи тригонометричну формулу для суми косинусів, одержимо:
. (11.48)
Графік функції (11.48) показаний на рис. 11.8. Рис. 11.8
Множник в дужках у формулі (11.48) змінюється набагато повільніше, ніж другий множник. Внаслідок цього час, за який постійний множник здійснює декілька повних коливань, множник в дужках майже не змінюється.
Це дає нам право розглядати коливання (11.48) як гармонічне коливання частотою ω, амплітуда якого змінюється за деяким періодичним законом. Виразом цього закону не може бути множник, який стоїть у дужках, так як він змінюється в межах від –2а до +2а, в той час як амплітуда за визначенням – додатна величина. Аналітичний вираз амплітуди, очевидно має вигляд:
(11.49)
Частота пульсацій амплітуди – її називають частотою биття – дорівнює різниці частот коливань, які додаються.
Тема 11.8. Складання взаємно перпендикулярних
коливань. Фігури Лісажу
Будемо вважати, що матеріальна точка може здійснювати коливання як вздовж осі х, так і вздовж перпендикулярної до неї осі у. Прикладом може служити важка кулька, підвішена на легкій довгій пружині, кінець якої закріплений на шарнірі так, що кулька разом з пружиною може здійснювати маятникоподібні коливання в одній площині.
Якщо здійснювати одночасно два коливання, то кулька буде рухатись по якійсь складній траєкторії (рис. 11.9), форма якої залежить від співвідношення частот і початкових фаз обидвох коливань.
Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання була рівна нулю. Тоді рівняння коливань записується так:
, (11.50)
де – різниця фаз обох коливань.
Вирази (11.50) є заданим в параметричній формі рівнянням траєкторій, по якій рухається тіло, яке бере участь в обох коливаннях. Щоб одержати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, необхідно виклю¬чити з рівняння (11.50) параметр t.
З першого рівняння одержи¬мо:
, (11.51)
тоді:
. (11.52)
Тепер із формули для косинуса суми, підставляючи замість і значення (11.51) і (11.52), одержимо:
. (11.53)
Рівняння (11.53) після деяких перетворень можна звести до вигляду:
. (11.54)
З аналітичної геометрії відомо, що рівняння (11.54) є рівнянням еліпса, осі якого орієнтовані відносно координатних осей х і у довільно. Орієнтація еліпса і величина його півосей залежать певним чином від амплітуд А1 і А2 і різниці фаз .
Проведемо дослідження форми траєкторії в деяких часткових випадках.
Різниця фаз дорівнює нулю. В цьому випадку рівняння (11.54) приймає вигляд:
. (11.55)
Звідси одержуємо рівняння прямої:
. (11.56)
Точка, яка коливається, переміщається по цій прямій, при цьому віддаль її від початку координат дорівнює . Підставляючи сюди вираз (11.50) для х і у і враховуючи, що дорівнює нулю, одержуємо закон, за яким змінюється з часом:
. (11.57)
З (11.57) маємо, що результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої (11.56) з частотою і амплітудою (рис. 11.10).
Рис. 11.10
Різниця фаз дорівнює .
Рівняння (11.54) приймає вигляд:
. (11.58)
Звідси одержуємо, що результуюче коливання є гармонічним коливанням вздовж прямої (рис. 11.11). Рис. 11.11 При рівняння (11.54)
приймає вигляд:
, (11.59)
тобто в рівняння еліпсу, приведеного до координатних осей, причому півосі еліпсу дорівнюють відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд еліпс вироджується в коло.
Випадки ; відрізняються напрямком руху по еліпсу або по колу. Якщо , рівняння (11.50) можна записати таким чином:
. (11.60)
В цей момент тіло знаходиться в точці 1 (рис. 11.12).
Рис. 11.12
Рух показано стрілкою. При рівняння коливання приймає вигляд:
. (11.61)
Звідси легко довести, що рух проходить проти часової стрілки.
Із сказаного легко бачити, що рівномірний рух по колу з радіусом R з кутовою швидкістю може бути представлений як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:
. (11.62)
(знак "+" у виразі для у відповідає руху проти часової стрілки, знак "–" – руху за часовою стрілкою).
Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не одинакові, то траєкторії результуючого коливання мають вигляд складних кривих, які називаються фігурами Лісажу. На рис. 11.13 показана одна із простіших траєкторій, які одержуються при співвідношенні частот 1:2 і різниці фаз . Рівняння коливань мають вигляд:
. (11.63)
Рис. 11.13
Тема 11.9. Згасаючі коливання.
Логарифмічний декремент згасання
В реальній коливальній системі, крім квазіпружної сили, завжди присутні сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. Якщо енергія не відновлюється за рахунок зовнішніх сил, коливання будуть згасати.
Розглянемо вільні (або власні) згасаючі коливання.
Якщо коливання вільні, то система, виведена з положення рівноваги зовнішніми силами, одержавши за рахунок них початковий поштовх, буде представлена сама собі і буде знаходитися під дією квазіпружної сили і опору середовища. Обмежимося розглядом малих коливань. Тоді швидкість системи буде невеликою, а при малих швидкостях сила опору пропорційна величині швидкості:
(11.64)
де – коефіцієнт опору, а знак" – " обумовлений тим, що і мають протилежні напрями.
Запишемо для тіла, яке коливається, другий закон Ньютона:
(11.65)
де – пружна сила, яка рівна .
Тоді рівняння (11.65) запишемо у вигляді:
. (11.66)
Застосовуючи позначення , і , одержимо:
(11.67)
Зауважимо, що є частотою, з якою здійснювались би вільні коливання системи при відсутності опору середовища, тобто, при . Цю частоту називають власною частотою коливання системи.
У випадку гармонічного осцилятора розмах коливань визначається амплітудою А, яка залишається постійною. Існування опору середовища призводить до того, що розмах коливань зменшується. Тому розв’язок рівняння (11.67) будемо записувати у вигляді:
, (11.68)
де – деяка функція часу.
З теорії розв’язку диференціальних рівнянь, дане однорідне диференційне рівняння розв’язується підстановкою:
. (11.69)
Продиференціюємо (11.69) в часі і знайдемо і .
. (11.70)
Підставимо (11.69), (11.70) в рівняння (11.67):
(11.71)
Після скорочень одержимо:
. (11.72)
Аν
Позначимо як частоту згасаючого коливання.
Рис. 11. 14
Тоді рівняння (11.72) можна записати у вигляді:
. (11.73)
За умови, що , величина буде дійсною і розв’язок диференційного рівняння (11.67), з врахуванням підстановки (11.69) опишеться функцією:
(11.74)
Графік цієї функції представлений на рис. 11.14.
Пунктирними лініями показані границі, в яких знаходиться зміщення коливної точки c. У відповідності з видом функції (11.74) рух системи можна розглядати як гармонічне коливання частоти з амплітудою, яка змінюється за законом:
. (11.75)
Швидкість згасання коливань визначається величиною , яку називають коефіцієнтом згасання. Знайдемо час , за який амплітуда зменшиться в разів. За визначенням , звідси . Таким чином, коефіцієнт згасання обернений по величині проміжку часу, за який амплітуда зменшиться в разів.
Згідно з формулою для частоти згасаючих коливань період буде рівний:
. (11.76)
При незначному опорі середовища ( ) період коливань практично дорівнює . Зі збільшенням коефіцієнта згасання період коливань збільшується. Наступні відхилення в будь-яку сторону (А1, А2 і А3 на рис. 11.11) утворюють геометричну прогресію. Дійсно, якщо , то , і т.д. Отже, відношення значень амплітуд, відповідаючи моментам часу, які відрізняються на період, рівне
. (11.77)
Це відношення називається декрементом згасання, а його логарифм – логарифмічним декрементом згасання:
. (11.78)
Останню величину звичайно використовують для характеристики згасання коливань.
Зі збільшенням сили опору період коливань, як ми вже сказали, зростає, і при період стає безмежним: . При дальшому збільшенні період стає уявним, а рух точки аперіодичним, як це зображено на рис. 11.15.
Рис. 11.15
Тема 11.10. Вимушені коливання. Резонанс
Вимушеними коливаннями називаються такі коливання, які виникають в коливній системі під дією зовнішньої періодично змінної сили (яку будемо називати вимушуючою силою).
Нехай вимушуюча сила змінюється з часом за гармонічним законом:
(11.79)
При складанні рівняння руху треба врахувати, крім вимушуючої сили, також ті сили, які діють в системі при вільних коливаннях, тобто квазіпружну силу і силу опору середовища. Припускаючи, що коливання достатньо малі, будемо рахувати силу опору пропорційну швидкості. Тоді рівняння руху запишемо в такому вигляді:
. (11.80)
Розділимо це рівняння на і, переносячи члени з і в ліву частину, одержимо неоднорідне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
, (11.81)
де , – коефіцієнт згасання, – власна частота коливань системи.
Як видно з теорії диференціальних рівнянь, загальний розв’язок неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального розв’язку рівняння відповідного однорідного і часткового розв’язку неодно¬рідного рівняння.
Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:
. (11.82)
Залишається знайти частковий розв’язок рівняння (11.81). Припустимо, що цей розв’язок має вигляд:
. (11.83)
З допомогою векторної діаграми легко впевнитися в тому, що наше припущення вірне, а також визначити значення і j, при яких функція (11.83) задовольняє рівняння (11.81). Диференціюючи (11.83) в часі, перші два члени рівняння (11.81) можна записати у вигляді:
), (11.84)
. (11.85)
Виходячи з рівняння (11.81), гармонічне коливання є сумою трьох гармонічних коливань тієї самої частоти: коливання (11.85), коливання (11.84) і коливання Якщо представити останнє коливання вектором довжиною , направленим вправо (рис. 11.16), тоді коливання (11.84) можна представити вектором довжиною , повернутим відносно век¬тора проти часової стрілки на кут , а коливання (11.85) – век¬тором довжиною , повернутим відносно вектора на кут
Рис. 11.16
Щоб рівняння (11.81) задовольнялось, векторна сума перерахованих трьох векторів повинна співпадати з вектором, який представляє коливання Такий збіг можливий лише при значені амплітуди , яка визначається умовою (див. рис. 11.16, а):
,
звідки:
. (11.86)
Рис. 11.16,а відповідає випадкові . З рис. 11.16,б, який від¬повідає випадку , витікає таке ж значення .
Рис. 11.16 дозволяє одержати також значення , яке є величи¬ною відставання по фазі вимушеного коливання (11.83) від обумовленої ним вимушуючої сили (11.79). З малюнка видно, що
. (11.87)
Сума (11.82) і (11.83) дає загальний розв’язок рівняння (11.81), яке описує поведінку системи при вимушених коливаннях. Доданок (11.82) грає помітну роль тільки на початковій стадії процесу при встановленні коливань (рис. 11.17).
Встановлення коливань
t
Рис. 11.17
Таким чином, функція (11.83) описує встановлені вимушені коливання. Вони є гармонічними коливаннями з частотою, яка дорівнює частоті вимушених коливань.
Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушуючої сили призводить до того, що при деякій визначеній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Явище різкого зростання амплітуди, коли частота власних коливань наближається до частоти вимушуючої сили, називається резонансом, а відповідна частота – резонансною частотою.
Щоб визначити резонансну частоту , потрібно знайти максимум функції (11.86), що відповідає мінімуму виразу, який стоїть під коренем в знаменнику.
Продиференціювавши цей вираз по і прирівнявши до нуля, ми одержимо умову, яка визначає w рез:
. (11.88)
Одне із розв’язків рівняння, що має фізичний зміст, має вигляд:
. (11.89)
Підставивши це значення частоти в рівняння (11.86), одержимо вираз для амплітуди при резонансі:
. (11.90)
З (11.90) видно, що при відсутності опору середовища амплітуда при резонансі переходить в безмежність.
Згідно з (11.89) резонансна частота за тих самих умов (при ) співпадає з власною частотою коливань системи . Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушуючої сили показана графічно на рис. 11.18, де кожна крива відповідає певному значенню .
Чим менше , тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. При наближенні до нуля всі криві приходять до одного, відмінного від нуля, граничного значення, рівного / , тобто / . Ці значення являють собою зміщення від положення рівноваги, яке система одержує під впливом постійної сили . При наближенні до безмежності всі криві асиметрично прямують до нуля, тому що при великій частоті сила так швидко змінює свій напрям, що система не встигає помітно зміститися від положення рівноваги.
З явищем резонансу необхідно рахуватись при конструюванні машин та різного роду приладів і пристроїв.
Рис. 11.18
В області малих частот, при і малому терті зміщення коливної системи майже без відхилення прямує за зміною вимушуючої сили. Цей випадок представляє практичний інтерес для вимірювальної техніки. Різні самописні прилади для реєстрації швидкозмінних зусиль (наприклад, мембранний індикатор, який записує тиск в швидкохідному двигуні, являє собою систему, на яку діють пружні або квазіпружні сили, які повертають систему в положення рівноваги після зняття навантаження. Змінне зусилля є для такої системи вимушуючою силою зі своєю характерною круговою частотою . Для того, щоб вимушені коливання приладу встигали прямувати за змінами вимушуючої сили, необхідно, щоб власна частота коливань приладом повинна бути набагато більша частоти зміни вимірюваної величини.
При похибка вимірювань не буде перевищувати 1-2 %. Збільшення власної частоти досягається як за рахунок збіль¬шення жорсткості вимірювальної системи , так і за рахунок зменшення її маси .
В області високих частот:
(11.91)
При таких частотах і коливання системи відбуваються у фазі, протилежній коливанням вимушуючої сили. Коли зміщення позитивне, вимушуюча сила від’ємна, і навпаки. Внаслідок цього амплітуда вимушуючих коливань не може бути більшою і зменшується зі зростанням частоти вимушуючої сили за законом:
. (11.92)
Подібний випадок також має практичне значення. Наприклад, для відвернення дії хитавиці корабля на різні прилади, їх необхідно підвішувати на порівняно м’яких пружинах максимальною масою. Якщо при цьому частота власних коливань системи буде набагато менша частоти хитавиці , то згідно з (11.92) амплітуда коливань підвішаного приладу буде набагато менша амплітуди коливань точки підвісу.
І, нарешті, область резонансу:
. (11.93)
При частотах коливань вимушуючої сили, близьких до частоти власних коливань системи, амплітуда вимушених коливань сильно зростає і починає в багато разів перевищувати статистичне зміщення:
. (11.94)
Малопотужний двигун, якщо він погано зрівноважний і при обертанні "б’є", може у випадку резонансу зруйнувати і сильно пошкодити споруду, на якій він закріплений.
При незначному терті в деякій області частот амплітуда коливань деталей машин при їх вібрації стає значною і перевищує допустиме, що загрожує аварією машини.
Чим більше тертя, тим вужча смуга частот, і при достатньо великому тертю вся область частот стає безпечною для роботи машин.
Але добиватися зниження вимушених коливань машини, збільшуючи тертя, було б абсурдним. З іншої сторони, це не означає, що машина повинна працювати завжди в області малих частот. Необхідно пам’ятати, що рух:
встановлюється лише після великого проміжку часу (в порівнянні з періодом коливання t) після зміни характеру руху, коли внаслідок тертя згасає. Згасання ж тим менше, чим менше тертя. Відповідно, при зміні режиму роботи машин амплітуда встановлюється не зразу. Це означає, що небезпечна зона частот може бути пройдена, якщо прискорення ходу машини (або сповільнення) не дуже мале, необхідно тільки не затримуватися в цій небезпечній для машини області частот.
З іншої сторони, наявність резонансу дозволяє виявляти навіть дуже слабкі коливання, коли частота їх співпадає з частотою власних коливань приладу.
Вся прикладна акустика, а також радіотехніка, яка сприймає звукові та електромагнітні коливання, засновані на явищах резонансу.
Тема 11.11. Автоколивання. Параметричний резонанс
Можливість підтримувати незгасаючі коливання має надзвичайний інтерес для техніки. Особливо важливими і широко застосовуваними є коливання, які виникають і підтримуються за рахунок постійного, неколивного джерела енергії. Такі системи називаються автоколивними. Як приклади автоколивних систем можна назвати годинники, в яких постійні коливання маятника підтримуються за рахунок енергії спіральної пружини чи тягарця; радіопередавач, енергія коливань якого підтримується за рахунок енергії акумулятивних батарей; електричний дзвінок; пневматичний молоток та інші прилади.
В розглянутому попередньому розділі прикладена ззовні вимушуюча сила зумовила зміщення системи з положення рівноваги. Виявляється, що існує інший вигляд дії ззовні, з допомогою якої можна привести в коливання систему. Цей вид дії заключається в тому, що в такт з коливаннями системи змінюється параметр системи, внаслідок чого саме явище називається параметричним резонансом.
Так, наприклад, розкачування гойдалки відбувається за рахунок зміни моменту інерції гойдалки, в якій знаходиться людина. В момент її знаходження в максимальному відхиленні людина присідає, тим самим змінюючи величину моменту інерції, збільшуючи його. Збільшення енергії гойдалок відбувається за рахунок роботи, яку здійснює сила, діючи на підвіс гойдалки. Сила, яка діє на підвіс гойдалки, при коливаннях непостійна: вона менша в крайніх положеннях, коли швидкість рівня нулю, і більша в середньому положенні, коли швидкість маятника максимальна. Тому від’ємна робота зовнішньої сили при зменшенні моменту інерції стає менша за величиною, ніж позитивна робота, яка здійснюється при його збільшенні. В підсумку робота зовнішньої сили за період стає більшою від нуля.
Тема 11.12 Коливальний контур. Електромагнітні коливання
Електромагнітні коливання відбуваються в колі, яке складається з індуктивності і ємності. Таке коло називається коливальним контуром. Для того, щоб викликати коливання, потрібно приєднати відключений від індуктивності конденсатор до джерела струму, внаслідок чого на обкладках конденсатора виникнуть різнойменні заряди величини (стадія 1, рис. 11.19).
Рис. 11.19
Між обкладками виникне електричне поле, енергія якого рівна . Якщо потім відключити джерело струму і замкнути конденсатор на індуктивність, ємність почне розряджатися, і в контурі потече струм. В результаті цього енергія електричного поля буде зменшуватися, зате виникне енергія магнітного поля, обумовлена струмом, який протікає через індуктивність. Ця енергія рівна Тому що активний опір кола дорівнює нулю, повна енергія, яка складається з енергії електричного кола і енергії магнітного поля не витрачається на нагрівання і буде залишатися постійною. Тому в момент часу, коли напруга на конденсаторі, а відповідно, і енергія електричного поля стають нульовими, енергія магнітного поля, а отже, і струм досягають найбільшого значення (стадія 2; починаючи з цього моменту струм тече за рахунок е.р.с. самоіндукції). В подальшому струм зменшується і, коли заряди на обкладках досягнуть початкового значення , сила струму стає рівною нулеві (стадія 3). Потім процеси протікають у зворотному напрямку (стадія 4 і 5), після чого система приходить в початковий стан (стадія 5), і весь цикл повторюється знову. Між електромагнітними і механічними коливаннями існує аналогія: в механічних коливаннях потенціальна енергія системи переходить в кінетичну і навпаки, в електромагнітних електрична енергія переходить в енергію магнітного поля. Ця аналогія поширюється і на математичні рівняння, що описують процес електромагнітних коливань.
Тема 11.13. Вільні електромагнітні коливання
Під час вільних електромагнітних коливань зовнішнє джерело до контуру не підключено. Тому, згідно з ІІ законом Кірхгофа алгебраїчна сума напруг в замкнутому контурі дорівнює алгебраїчній сумі електрорушійних сил, діючих в даному контурі.
В контурі, представленому на рис. 11.19, падіння напруги на ємності , а електрорушійна сила самоіндукції на соленоїді рівна . Застосовуючи ІІ закон Кірхгофа, одержимо:
(11.95)
Розділивши цей вираз на і зробивши заміну через , прийдемо до такого рівняння:
. (11.96)
Якщо ввести позначення:
, (11.97)
то рівняння, відоме з теорії механічних коливань, приймає вигляд
. (11.98)
Розв’язком цього рівняння, як відомо, є функція
(11.99)
Таким чином, заряд на обкладках конденсатора змінюється за гармонічним законом з частотою, яка визначається виразом (11.97). Ця частота називається власною частотою контуру. Для періоду коливань отримуємо, так звану, формулу Томсона:
. (11.100)
Напруга на конденсаторі відмінна від заряду множником :
. (11.101)
Продиференціювавши функцію (11.99) за часом, одержимо вираз для сили струму:
. (11.102)
Тема 11.14. Згасаючі електромагнітні коливання
Будь-який реальний контур має активний опір R (рис. 11.20).
Рис. 11.20
Енергія контуру поступово витрачається на цьому опорі на його нагрівання, внаслідок чого вільні коливання згасають. Рівняння коливань можна одержати, виходячи з того, що сума падінь напруги на ємності і активному опорові, за другим законом Кірхгофа, рівна електрорушійній силі самоіндукції:
. (11.103)
Переносимо всі члени в праву сторону і ділимо вираз на , замінивши через , а через , одержимо:
. (11.104)
Враховуючи, що і ввівши позначення:
, (11.105)
рівняння (11.104) приймає вигляд:
. (11.106)
Останнє рівняння співпадає з диференціальним рівнянням згасаючих механічних коливань. За умови, що , тобто , розв’язок рівняння має вигляд:
, (11.107)
де .
Підставляючи значення (11.97) для і (11.105) для , знаходимо, що:
. (11.108)
Таким чином, частота згасаючих коливань менша власної частоти . При вираз (11.108) переходить в (11.97). Розділивши (11.107) на ємність , одержимо напругу на конденсаторі:
. (11.109)
Щоб знайти силу струму, продиференціюєм рівняння (11.107) за часом:
(11.110)
Помножимо і розділимо цей вираз на .
Отримаємо:
(11.111)
Вводячи кут , який визначається умовами:
і ,
можна записати:
(11.112)
Графік функції (11.107) представлений на рис. 11.21. Згасання коливань прийнято характеризувати логарифмічним декрементом згасання:
, (11.113)
де – амплітуда відповідної величини . Легко перевірити, що логарифмічний декремент згасання обернений за величиною числу коливань , які відбулися за час, протягом якого амплітуда зменшується в разів:
. (11.114)
Рис. 11.21
Коливальний контур часто характеризують його добротністю Q, яка визначається як величина, обернено пропорційна логариф¬мічному декременту згасання:
Q . (11.115)
З формули (11.113) виходить, що добротність контуру тим вища, чим більше число коливань встигає здійснитися, перш, чим амплітуда зменшиться в раз.
В підсумку зазначимо, що при , тобто , замість коливань відбувається аперіодичний розряд конденсатора. Опір контуру, при якому коливальний процес переходить в аперіодичний, називається критичним. Значення критичного опору визначається умовою , звідки:
(11.116)
Тема 11.15. Вимушені електромагнітні коливання.
Електромагнітний резонанс
Щоб викликати вимушені електромагнітні коливання, необхідно подіяти зовнішньою змінною періодичною електрорушійною силою. Закон зміни електрорушійної сили повинен бути відповідний закону електромагнітних коливань. У випадку електромагнітних коливань це можна здійснити, якщо увімкнути послідовно з елементами контуру змінну електрорушійну силу (е.р.с.), або, розірвавши контур, подати на контакти змінну напругу ( рис. 11.22)
. (11.117)
Рис. 11.22
Застосовуючи ІІ закон Кірхгофа до замкнутого контуру (рис. 11.22), можна записати:
. (11.118)
Виконуючи всі перетворення і використовуючи позначення (2.2.3) і (2.3.3), одержимо рівняння, яке співпадає з диференціальним рівнянням вимушених механічних коливань:
. (11.119)
Частковий розв’язок цього рівняння має вигляд:
, (11.120)
де , .
Підстановка значень і дає нам:
, (11.121)
. (11.122)
Загальний розв’язок одержимо, якщо до часткового рішення (11.120) додати загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння. Цей розв’язок був отриманий в попередньому розділі: він включає в себе експоненціальний множник , тому при проходженні деякого часу він стає дуже малим, і ним можна знехтувати. Тому коливання, що встановилися, будуть описуватися функцією (11.120).
Продиференціювавши вираз (11.120) за часом , знайдемо силу струму в контурі при коливаннях, що встановилися:
, (11.123)
або де – зсув фаз між струмом і напругою.
Згідно з (11.121):
. (11.124)
Представимо співвідношення (11.118) у вигляді:
, (11.125)
або . (11.126)
Таким чином, сума напруг на окремих елементах контуру рівна е.р.с., прикладеній зовні відповідно до (11.117):
. (11.127)
Поділивши вираз (11.120) на С, одержимо напругу на конденсаторі:
. (11.128)
Тут .(11.129)
Е.р.с. самоіндукції одержимо, помноживши функцію (11.123) на :
, (11.130)
тут . (11.131)
Фазові співвідношення можна представити наочно з допо¬могою векторної діаграми. Нагадаємо, що гармонічні коливання можна задати з допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з деякою віссю кут, який дорівнює початковій фазі коливання.
Візьмемо як пряму, від якої відраховуємо початкову фазу, вісь струмів. Тоді одержуємо діаграму, приведену на рис. 11.23.
Рис. 11.23
Згідно з (11.126) три функції і в сумі повинні бути рівні прикладеній е.р.с. . У відповідності до цього, напруга зображається на діаграмі вектором, рівним цій сумі. Резонансна частота для заряду і напруги на конденсаторі дорівнює:
(11.132)
Для прикладу резонансні криві для зображені на рис. 11.24.
Рис. 11.24
Добротність контуру визначає також гостроту резонансних кривих.
Явище резонансу використовується для виділення із складної напруги потрібної складової. Нехай е.р.с., прикладена до контуру, рівна:
Налаштувавши контур на одну з частот і т.д. (тобто підібравши відповідним чином його параметри і ), можна одержати на конденсаторі напругу, яка в Q разів перевищує значення даної складової, в той час, як напруга, створена на конденсаторі іншими складовими, буде слабкою. Такий процес здійснюється, наприклад, при виборі у радіоприймачі відповідної довжини хвилі.
Тема 11.16. Хвильові процеси
Якщо в якому-небудь місці середовища збуджувати коливання його частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання буде поширюватись в середовищі від частинок до частинки з деякою швидкістю . Процес поширення коливань в просторі називається хвилею.
Частинки середовища, в якому поширюється хвиля, не переносяться хвилею, вони лише здійснюють коливання біля своїх положень рівноваги. В залежності від напряму коливань частинок по відношенню до напряму, в якому поширюється хвиля, розрізняють поздовжні і поперечні хвилі. В поперечній хвилі частинки середовища коливаються в напрямах, перпендикулярних до напряму поширення хвилі. Механічні поперечні коливання можуть виникнути лише в середовищі, яке має опір зсувові. Тому в рідких і газоподібних середовищах можливе виникнення тільки поздовжніх хвиль. В твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, так і поперечних хвиль.
При поздовжній хвилі в середовищі створюються згущення і розрідження частинок, які чергуються і переміщаються в напрямі поширення хвилі із швидкістю .
Тема 11.17. Рівняння хвилі. Фазова швидкість, довжина хвилі. Хвильове число
Весь час, поки існує хвиля, частинки середовища здійснюють коливання біля своїх положень рівноваги. Віддаль між найближчими частинками, які коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі (рис. 11.25). Довжина хвилі, очевидно, рівна віддалі, на яку поширюється хвиля за період:
(11.133)
Рис. 11.25
Замінюючи в цьому співвідношенні через ( – частота коливань), одержимо, що:
. (11.134)
В об’ємному середовищі коливаються не тільки розміщені в певному напрямку частинки, але й сукупність частинок, що є в даному об’ємі. Розповсюджуючись від джерела коливань, хвильовий процес захоплює все нові і нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу , називається фронтом хвилі. Фронт хвилі – це поверхня, яка відділяє частину простору, вже втягнуту в хвильовий процес, від області, в якій коливання ще не виникли.
Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Через те у хвильових поверхонь існує безмежна множина. Хвильові поверхні весь час залишаються нерухомими, в той час як хвильовий фронт в кожний момент часу тільки один. Хвильовий фронт весь час переміщається. Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. В найпростіших випадках вони мають вигляд площини або сфери.
В плоскій хвилі хвильові поверхні являють собою ряд паралельних площин, в сферичній хвилі – ряд концентричних сфер.
Рівнянням хвилі називається вираз, який дає зміщення точки, яка коливається, як функцію координат і часу :
(11.135)
Функція (11.135) повинна бути періодичною як відносно часу , так і відносно координат . Періодичність за часом випливає з того, що описує коливання з координатами . Періодичність по координатах випливає з того, що точки, які знаходяться одна від іншої на віддалі , коливаються однаково.
Знайдемо вигляд функції у випадку плоскої хвилі, припускаючи, що коливання носять гармонічний характер. Для спрощення направимо осі координат так, щоб вісь співпала з напрямом поширення хвилі. Тоді хвильові поверхні будуть перпендикулярні до осі і, оскільки всі точки хвильової поверхні коливаються однаково, зміщення буде залежати тільки від і :
.
Нехай коливання точок, які лежать в площині
(рис. 11.26), мають вигляд:
. (11.136)
Рис. 11.26
Знайдемо вид коливань частинок в площині, яка відповідає довільному значенню . Для того, щоб пройти шлях від площини до цієї площини, хвилі необхідний час:
,
де – швидкість поширення хвилі.
Таким чином, коливання частинок, які лежать в площині , будуть відставати в часі на від коливань частинок в площині , тобто будуть мати вигляд:
. (11.137)
Отже, рівняння плоскої хвилі залишимо в такому вигляді:
. (11.138)
Величина в (11.138) являє собою зміщення будь-якої із точок з координатою в момент часу .
Зафіксуємо деяке значення фази, яке є в рівнянні (11.138):
. (11.139)
Визначивши , ми знайдемо швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціювавши вираз (11.139), отримаємо:
,
звідки . (11.140)
Таким чином, швидкість поширення хвилі в рівнянні (11.140) є швидкістю переміщення фази, в зв’язку з чим її називають фазою швидкості.
Хвиля, яка розповсюджується в протилежному напрямку від розглянутої, має вигляд:
. (11.141)
Рівнянню плоскої хвилі можна надати симетричний вигляд відносно і . Для цього введемо так зване хвильове число :
. (11.142)
Між хвильовим числом , циклічною частотою і фазовою швидкістю хвилі є співвідношення:
. (11.143)
Підставивши в рівняння (11.139) замість його значення (11.143), одержимо рівняння плоскої хвилі у вигляді:
. (11.144)
У випадку сферичної хвилі, яка породжується точковим джерелом, точки, які лежать на хвильовій поверхні радіусу , будуть коливатися з фазою . Амплітуда коливань в цьому випадку, навіть якщо енергія не поглинається середовищем, не залишається постійною – вона зменшується з віддаллю від джерела за законом . Таким чином, рівняння сферичної хвилі має вигляд:
, (11.145)
де – постійна величина, яка чисельно дорівнює амплітуді на віддалі від джерела, рівній одиниці.
Тема 11.18. Хвильове рівняння. Групова швидкість
Рівняння будь-якої хвилі є розв’язком деякого диференці¬ального рівняння, яке називається хвильовим. Щоб встановити вигляд хвильового рівняння, співставимо другі частинні похідні по координатах і часові від функції (11.145), яка описує плоску хвилю. Продиференціювавши це рівняння двічі по кожній із змінних, одержимо:
. (11.146)
(11.147)
Додамо разом рівняння (11.147):
. (11.148)
Тепер, співставляючи рівняння (11.146) і (11.148), знаходимо, що
.
Накінець, враховуючи, що , отримаємо:
. (11.149)
Це рівняння – хвильове рівняння. Легко впевнитися в тому, що хвильове рівняння задовольняє не тільки функція (11.141), але й будь-яка функція вигляду:
. (11.150)
Монохроматична хвиля виду являє собою безмежну в часі і в просторі послідовність "горбів" і "впадин", які переміщаються вздовж осі з фазовою швидкістю
. (11.151)
З допомогою такої хвилі не можна передати ніякого сигналу, тому що кожний наступний "горб" нічим не відрізняється від попереднього. Для передачі сигналу необхідно на хвилі зробити "позначку", допустимо, обірвавши її на деякий час . Але в цьому випадку хвиля вже не буде описуватися відомим рівнянням хвилі.
Простіше всього сигнал передати з допомогою імпульсу. Згідно з теоремою Фур’є подібний імпульс можна представити як накладання хвилі з частотами в деякому інтервалі . Суперпозиція хвиль, які близькі за частотою, називається хвильовим пакетом, або групою хвиль. Аналітичний вираз для групи хвиль має вигляд:
, (11.152)
(індекс при вказує на те, що ці величини для різних частот різні). При фіксованому графік функції (11.152) має вигляд, показаний на рис. 11.27.
Рис. 11.27
В межах пакета плоскі хвилі більшою чи меншою мірою підсилюють одна одну, поза пакетом вони практично гасять одна одну. Взагалі, пакет розпливається, але це проходить повільно. В цьому випадку пакету можна приписати швидкість, з якою переміщається центр пакета, тобто, точка з максимальним значенням .
Цю швидкість називають груповою швидкістю. На рис. 11.28 показані "фотографії" хвильового пакету для трьох послідовних моментів часу і . Малюнок виконаний для випадку, коли групова швидкість більша фазової швидкості .
Рис. 11.28
В результаті, в той час, коли пакет в цілому переміщається зі швидкістю , окремі "горби" і "впадини" переміщаються із швидкістю . При розгляді суперпозиції двох плоских хвиль:
, (11.153)
. (11.154)
Одержимо, що:
. (11.155)
Виразу для групової швидкості можна надати інший вигляд. Замінивши через , представимо (11.155) таким чином:
. (11.156)
А далі запишемо: .
Із співвідношення витікає, що . Відповідно . Підставивши це значення в (3.3.11), отримаємо:
. (11.157)
З цієї формули видно, що в залежності від знаку групова швидкість може бути як менша, так і більша фазової швидкості . Поняття групової швидкості пояснює явище дисперсії світла.
Тема 11.19. Пружні хвилі в твердих тілах, газах і рідинах
З рівняння хвилі:
, (11.158)
видно, що при розповсюдженні хвилі в пружному середовищі зміщення сусідніх точок, що перебувають в коливному русі твердого тіла, в один і той же момент часу будуть різними. Тіло, яке коливається неперервно, змінює свою форму – деформується. В поз¬довжніх хвилях має місце деформація змінного розтягу і стиску. При поперечних хвилях в середовищі поширюється періодично коливна деформація зсуву. Якщо деформувати (стиснути, розтягнути або зсунути одну відносно іншої) крайні точки пружного тіла, то ця деформація буде поширюватися в тілі з деякою швидкістю . Для вирахування швидкості розглянемо схематично найпростіший випадок передачі деформації через пружний стрижень. Нехай протягом короткого часу ударом молотка ми подали стрижневі деякий імпульс (рис. 11.29). За цей час точки торця стрижня змістяться на деяку віддаль . Деформація, яка виникла, буде поширюватися від точки, і по стрижню побіжить хвиля стиску.
Рис. 11.29
На кінець проміжку часу стиск охопить ділянку стрижня довжиною . Відношення являє собою швидкість поширення хвилі стиску по стрижню.
До кінця проміжку часу всі частинки ділянки стрижня довжини будуть рухатися зі швидкістю вправо. Оскільки на початку проміжку часу частинки були нерухомі, то приріст імпульсу стрижня буде рівний , де – маса ділянки . Позначивши площу поперечного перерізу стрижня через , а густину матеріалу стрижня через , ми одержимо . За законами динаміки приріст імпульсу дорівнює імпульсові зовнішньої сили , яка діяла при ударі на стрижень, тобто:
. (11.159)
З іншої сторони, сила яка стискала стрижень, зв’язана з деформацією стиснутої ділянки за законом Гука співвідношенням:
, (11.160)
де – модуль пружності (Юнга).
Розв’язуючи разом рівняння (11.159) і (11.160) отримаємо:
. (11.161)
Після скорочень будемо мати .
Звідси швидкість поширення хвилі стиску в пружному стрижні дорівнює:
. (11.162)
Якщо стрижень розтягувати, а не стискати, тоді величини і змінюють свій знак, а величина залишиться такою самою. Таким чином, формула (11.162) дає швидкість розповсюдження хвиль стиску і розтягу в пружному середовищі.
У випадку поперечних хвиль схема розрахунку така сама, з тою різницею, що величини і будуть перпендикулярні до напряму поширення, як це показано на рис. 11.30.
Рис. 11.30
Тому рівняння (11.160) замінюємо аналогічним рівнянням:
. (11.163)
де – модуль зсуву.
Тоді швидкість поширення поперечних хвиль буде рівна:
. (11.164)
Вивчаючи швидкість поширення поздовжніх і поперечних хвиль, можна зробити висновок про природу речовини, через яку проходять пружні хвилі. На цьому засновані сейсмічні методи геологічної розвідки. Від місця вибуху через землю побіжать хвилі деформації, швидкість яких, згідно з приведеними формулами, залежить від механічних властивостей порід.
Тому, вимірюючи швидкість поширення хвиль на різних віддалях від точки вибуху, можна оцінити характер покладів. В рідинах і газах деформації зсуву не пружні. Якщо зсунути один шар відносно іншого, то в цьому випадку, на противагу твердим тілам, зсунуті шари не намагаються повернутися у вихідне положення. Тому в рідинах і газах можуть поширюватися тільки поздовжні хвилі – хвилі розширення і стиску. Швидкість цих хвиль в рідинах рівна:
, (11.165)
де – об’ємний модуль пружності; – густина рідини.
Швидкість поширення поздовжніх хвиль в газах вираховується аналогічно. В поздовжній хвилі при односторонньому розтягу відносне видовження дорівнює відносному збільшенню об’єму . Ця зміна об’єму викликається зменшенням тиску – в даному місці, яке грає в цьому випадку роль напруги в твердому тілі. Модуль в газі буде дорівнювати відношенню – до , і швидкість поширення поздовжніх хвиль буде дорівнювати:
, (11.166)
оскільки густина газу обернена його питомому об’єму , (через – позначений питомий об’єм газу).
Якщо коливання густини газу в поздовжніх хвилях буде проходити повільно, то температура сусідніх ділянок, поперемінно розтягнутих і стиснутих, швидко вирівнюється, і деформації розтягу і стиску проходять ізотермічно. Тоді з рівняння стану газу для одного моля:
, (11.167)
де – універсальна газова стала, – молярна маса і – абсолютна температура газу.
Звідси (11.168)
Для швидких коливань порівняно високої частоти стиск і розрідження проходить адіабатично. З рівняння адіабати:
, (11.169)
де – відношення теплоємностей газу при постійному тиску і постійному об’ємові :
. (11.170)
Відповідно до цього ізотермічні хвилі в газах будуть поширюватися зі швидкістю:
, (11.171)
а швидкість поширення адіабатичних хвиль:
. (11.172)
Тема 11.20. Інтерференція і дифракція хвиль
Якщо в середовищі поширюється одночасно декілька хвиль, то коливання частинок середовища є геометричною сумою коливань, які здійснювали б частинки при поширенні кожної із хвиль зокрема. Тобто, хвилі просто накладаються одна на іншу, не збурюючи одна одну.
У випадку, коли коливання, обумовлені окремими хвилями в кожній з точок середовища, мають постійну різницю фаз, хвилі називаються когерентними. Очевидно, що короткі хвилі мають однакову частоту.
При складанні когерентних хвиль спостерігається явище інтерференції, яке полягає в тому, що коливання в одних точках посилюють, в інших послаблюють одне одного.
Розглянемо дві когерентні хвилі, які поширюються від точкових джерел і і визначимо результуюче коливання в деякій точці середовища, вважаючи, що обидва коливання мають однаковий напрям.
Нехай початкові фази коливань джерел і .
Тоді коливання в даній точці буде рівне сумі коливань:
, (11.173)
де і – амплітуди хвиль в даній точці, – це хвильове число, – віддаль від джерел до даної точки.
Згідно з додаванням однаково направлених коливань з допомо¬гою векторної діаграми сумарна амплітуда дорівнює:
, (11.174)
де і – фази коливань в даній точці.
В точках визначених умовою:
(п = 0, 1, 2...) (11.175)
коливання підсилюють одне одного і результуюче коливання являє собою гармонічне коливання частоти з амплітудою .
Різниця називається різницею ходу, і підставивши , отримаємо, що максимальне підсилення відбувається за умови:
. (11.176)
В точках, які визначаються умовою:
(11.177)
коливання послаблюють одне одного, і результуючий рух є гармонічним коливанням з амплітудою, яка дорівнює , а умова:
(п = 0, 1, 2...) (11.178)
є умовою ослаблення.
Частковий випадок, коли коливання в цих точках буде відсутнє.
Хвилі, зустрівши на своєму шляху перешкоду, огинають її. Це явище називається дифракцією. Виникнення дифракції можна пояснити з допомогою принципу Гюйгенса, яким встановлюється спосіб побудови фронту хвилі в момент часу за відомим розміщенням фронту в момент часу . Згідно з принципом Гюйгенса кожна точка, до якої приходить коливання, є центром вторинних хвиль, і огинаюча цих хвиль дає положення фронту хвилі в наступний момент. На рис. 11.31 середовище неоднорідне, тому швидкість хвилі в нижній частині малюнка більша ніж у верхній.
Рис. 11.31
Нехай на плоску перешкоду з отвором падає паралельний їй фронт хвилі (рис. 11.32). За Гюйгенсом кожна точка виділеної отвором ділянки хвильового фронту є центром вторинних хвиль, які в однорідному та ізотропному середовищі будуть сферичними.
Рис. 11.32
Побудувавши огинаючу вторинних хвиль, ми впевнимося в тому, що за отвором хвиля проникає в область геометричної тіні (на малюнку межі цієї області показані пунктиром), огинаючи краї перешкоди.
Тема 11.21. Стоячі хвилі
Одним із випадків інтерференції є накладання двох зустрічних плоских хвиль (прямої і відбитої) з однаковою амплітудою. Результуючий коливний процес називається плоскою хвилею. Практично стоячі хвилі виникають при відбиванні хвиль від перешкод. Падаюча на перешкоду хвиля і відбита хвиля, накладаючись одна на другу, дають стоячу хвилю. Запишемо рівняння двох плоских хвиль, які поширюються в протилежних напрямах:
. (11.179)
Складаємо два рівняння і, використовуючи формулу для суми косинусів, отримаємо:
. (11.180)
Запишемо хвильове число через його значення , тоді виразові для можна надати вигляд:
. (11.181)
Рівняння (11.181) є рівнянням стоячої хвилі. З нього видно, що в кожній точці стоячої хвилі відбуваються коливання тієї самої частоти, що й у зустрічних хвиль, причому амплітуда стає залежною від :
Амплітуда = .
В точках, де (п = 0, 1, 2...), (11.182)
амплітуда коливань досягає максимального значення . Ці точки називаються пучностями стоячої хвилі. З умови (11.182) отримаємо значення координат пучностей:
(п = 0, 1, 2...). (11.183)
В точках, де (п = 0, 1, 2...), (11.184)
амплітуда коливання дорівнює нулю. Точки середовища, які знаходяться у вузлах, коливань не здійснюють. Координати вузлів мають такі значення:
(п = 0, 1, 2...). (11.185)
З формул (11.183) і (11.185) виходить, що віддаль між сусідніми пучностями, а також між сусідніми вузлами дорівнює . Пучності і вузли зсунуті одне відносно іншого на чверть довжини хвилі.З рівняння (11.181) видно, що при переході через нульове значення множник змінює знак. У відповідності до цього фаза коливань по різні сторони від вузла, відрізняється на , тобто точки, які лежать по різні сторони від вузла, коливаються в протифазі. Всі точки, які знаходяться між двома сусідніми вузлами, Рис. 11.33
коливаються синфазно, (тобто в одній і тій самій фазі). На рис. 11.33 приведений ряд "моментальних фотографій" відхилень точок від положення рівноваги. Перша "фотографія" відповідає моментові, коли відхилення досягає найбільшого абсолютного значення.
Тема 11.22. Ефект Доплера
Нехай в пружному середовищі на деякій віддалі від джерела хвиль розташовується приймаючий коливання середовища пристрій, який надалі ми будемо називати приймачем. Якщо джерело і приймач хвиль нерухомі відносно середовища, в якому поширюється хвиля, то частота коливань, які сприймаються приймачем, буде дорівнювати частоті коливань джерела.
Якщо приймач, або джерело, або вони обидва, будуть рухатись відносно середовища, то частота, яка сприймається приймачем буде відмінна від . Таке явища називається ефектом Доплера.
Для спрощення приймемо, що приймач і джерело рухаються вздовж прямої, яка їх з’єднує. Швидкість джерела будемо вважати додатною, якщо джерело рухається в напрямі до приймача, і від’ємною, якщо джерело віддаляється від приймача. Аналогічно швидкість приймача буде додатною, якщо він наближається до джерела, і від’ємною, якщо приймач віддаляється від джерела.
Якщо джерело нерухоме і видає коливання з частотою , то до моменту, коли джерело видасть – коливання, породжений першим коливанням "гребінь" хвилі пройде в середовищі шлях ( – швидкість поширення хвилі відносно середовища). Число "гребенів" і "впадин" хвилі розміститься на шляху за одиницю часу.
Якщо джерело рухається відносно середовища зі швидкістю то в момент, коли джерело завершить – коливання, "гребінь", породжений першим коливанням, буде знаходитися від джерела на віддалі (рис. 11.34). Таким чином, "гребенів" і "впадин" хвилі розташовуються на довжині , тому довжина хвилі буде рівна:
. (11.186)
Рис. 11.34
До нерухомого приймача за секунду прийдуть "гребені" і "впадини", які розташуються на довжині . Якщо приймач рухається зі швидкістю , то вкінці секундного проміжку часу він буде сприй¬мати "впадину", яка на початку цього проміжку стояла на віддалі . Таким чином, приймач сприйме за секунду коливання, які відповідають "гребеням" і "впадинам", які розташовуються на довжині (мал. 35), і будуть, відповідно, коливатися з частотою:
. (11.187)
Підставивши у вираз (11.187) вираз (11.186) для , отримаємо:
. (11.188)
Рис. 11.35
Згідно з формулою (11.188) при такому русі приймача і джерела, коли віддаль між ними скорочується, частота, яка сприймається приймачем, буде більшою від частоти джерела.
Якщо віддаль між джерелом і приймачем зростає, тобто, коли приймач і джерело розбігаються, буде менше ніж :
. (11.189)
І, нарешті, коли напрям руху приймача і джерела не співпадає з напрямом з’єднуючої їх прямої, у формулах (11.188) і (11.189) слід приймати значення і проекцій швидкостей приймача і джерела на напрям вказаної прямої.
Тема 11.23. Утворення і розповсюдження електромагнітних хвиль
Якщо з допомогою зарядів створити змінне електричне і магнітне поле, в навколишньому просторі виникає послідовність взаємних перетворень електричного і магнітного полів, які поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним в часі і просторі, і, очевидно, являє собою хвилю. Висновок про можливість існування електромагнітних хвиль випливає з рівнянь Максвелла.
Для однорідного і нейтрального середовищ ( – густина середовища і = 0 – густина струму) з постійними (магнітною проникністю) і (діелектричною проникливістю) рівняння Максвелла мають вигляд:
, (11.190)
, (11.191)
де і – абсолютні значення і .
Названі рівняння вказують на те, що електромагнітні поля можуть існувати у вигляді електромагнітних хвиль, фазова швидкість яких дорівнює:
. (11.192)
Для вакууму за цією формулою отримуємо:
Таким чином, у вакуумі фазова швидкість електромагнітних хвиль співпадає зі швидкістю світла. Рівняння плоскої електро¬магнітної хвилі у векторній формі така:
, (11.193)
де – напруженість електричного поля, – напруженість магнітного поля, і – відповідно максимальні значення і . (У формулі (11.193) ми прийняли ).
Джерелом електромагнітних хвиль є електричний коли¬вальний контур. Але випромінювання такого контуру мале. Для одержання достатньої енергії контур необхідно розвернути, що в найпростішому вигляді можна зробити, розсунувши пластини конденсатора на можливу більшу віддаль. Послідовні фази одержання такого розгорнутого коливального контуру показано на рис. 11.36.
Рис. 11.36
Електричне коло, зображене лініями напруженості, в нерозвернутому контурі займає дуже малий об’єм між обкладками конденсатора. В розвернутому контурі електричне поле заповнює весь навколишній простір, і зміна цього поля з часом створює, згідно з першою групою рівнянь Максвелла, змінне в просторі магнітне поле. Зміна магнітного поля в часі, згідно з другою групою рівнянь Максвелла, створює змінне в просторі електричне поле. Два цих процеси взаємозв’язані і утворюють електромагнітну хвилю, яка поширюється в просторі.
Вперше такі хвилі в 1887 році одержав і дослідив Герц. Одержані Герцом хвилі були згасаючими, вони випромінювалися вібратором з іскровим проміжком.
Тема 11.24. Енергія електромагнітної хвилі.
Вектор Умова-Пойтінга.
Для електромагнітної хвилі, яка поширюється від вібратора, ми мали рівняння:
, (11.194)
Із цих рівнянь були одержані хвильові рівняння, розв’язки яких мають вигляд:
, . (11.195)
Взявши похідні від по і від по і підставивши в рівняння (11.194), отримаємо:
, . (11.196)
Враховуючи, що , знайдемо, що:
.
Користуючись виразами (11.195), отримаємо:
. (11.197)
Раніше нами були одержані вирази для густини енергії електричного і магнітного полів:
, . (11.198)
Але, тому що повна енергія електромагнітного поля дорівнює сумі енергій електричної і магнітної складової, тоді:
. (11.199)
Враховуючи (11.197) і (11.198), отримаємо:
. (11.200)
Ця формула є виразом для густини енергії електромагнітного поля, тобто енергії, яка міститься в одиниці об’єму простору, в якому розповсюджується електромагнітна хвиля.
Потоком енергії називається величина, яка чисельно дорівнює кількості енергії, що переноситься хвилею за одиницю часу через одиницю площі, перпендикулярної до напряму поширення хвилі. Якщо швидкість хвилі в даному середовищі , то модуль вектора густини потоку енергії буде:
. (11.201)
Вектор вперше введений Н.А. Умовим. Для потоку електромагнітної енергії його називають вектором Умова-Пойтінга.
Знайдемо вираз для інтенсивності електромагнітної хвилі, яка поширюється. Миттєві значення напруженостей електричного і магнітного полів в плоскій електромагнітній хвилі, яка поширюється вздовж осі будуть визначатись (рис. 11.37):
, .
Рис. 11.37
Миттєве значення модуля вектора Умова-Пойтінга:
. (11.202)
На практиці ми маємо справу не з миттєвим, а із середнім значенням енергії за часом , використовуючи співвідношення (11.197) і, враховуючи, що середнє значення квадрата косинуса дорівнює 0,5 і у вакуумі , отримаємо:
(11.203)
Інтенсивність або енергія, яка проходить в одиницю часу через одиницю поверхні, пропорційна квадрату амплітуди напруженості кола будь-якої з двох складових електромагнітної хвилі.
25 Наверх ↑