Тема 12. Оптика.

 Тема 12.1. Елементи геометричної оптики. Основні закони оптики. Закон відбивання світла. Закон заломлення світла. Повне внутрішнє відбивання світла.

Основні закони оптики були встановлені давно, але точка зору на них змінювалась на протязі всіх епох аж до нашого часу. Сформулюємо спочатку основні закони оптики.

1. Закон прямолінійного поширення світла в однорідному середовищі по прямих лініях.

Ще Евклід за 300 років до нашої ери в своїх творах по оптиці описує цей закон, який, очевидно, був відомий і застосовувався на практиці значно раніше.

Дослідним підтвердженням цього закону може бути спостереження різкої границі тіні, які створюють тіла при освітлені їх точковими джерелами світла, або створення зображень тіл за допомогою малих отворів, які є попередниками сучасних фотоапаратів. Геометричне поняття прямої лінії, очевидно, виникло на основі закону прямолінійного поширення світла.

Закон прямолінійного поширення світла має глубокий фізичний зміст. Його детальне дослідження показує, що якщо світло проходить через дуже малі отвори то закон втрачає силу, тобто світло відхиляється від прямолінійного поширення. Це явище вивчається в розділі оптики ²дифракція світла².

2. Закон незалежності світлових пучків.

Світловий потік можна розглядати як сукупність світлових пучків.

Деталізуємо дещо цей закон. Нехай, наприклад, світловий потік є відбите світло від деякого об’єкту (будинок, дерево, сукупність будинків, дерев, тощо). Інформація, яка знаходиться в будь-якому пучку потоку світла не залежить від інформації, яку несуть інші пучки. Так, нариклад, при фотографуванні сукупності будинків зображення одного будинку не залежить від того чи присутні в потоці світла зображення інших будинків чи ні. В кожній точці світлового потоку відбитого від об’єкту є світло відбите від кожної точки іншого об’єкту, воно несе інформацію про цю точку і ця інформація не залежить від наявності (або ввідсутності) інформації про іншу точку об’єкту.

Більш глубокий зміст цього закону знаходиться в явищі інтерференції світла (див. нижче)

3. Закон відбивання світла.

Якщо середовище неоднорідне і існує границя розділу між різними його частинами, то на границі розділу проходить часткове відбивання світла (рис.12.1.1). Закон відбивання світла складається з двох частин і формулюється так:

 

1.Промінь падаючий (а) та промінь відбитий(в) та нормаль (n)поставлена вточці падіння до поверхні розділу знаходиться в одній площині.

2. Кут падіння a (кут між падаючим променем а та нормаллю n) дорівнює куту відбивання b (кут між нормаллю n та відбитим променем в )

4. Закон заломлення світла.

Якщо середовище неоднорідне і існує границя розділу між різними його частинами, то на границі розділу проходить не лише часткове відбивання світла, але і часткове заломлення світла (промінь с ). Закон заломлення світла складається також із двох частин і формулюється так:

1. Промінь падаючий (а) та промінь заломлення (с) на нормаль (n) поставлена до границі розділу в точці падіння знаходиться в одній площинні.

2. Кут падіння (a) та кут заломлення (g) зв’язані співвідношенням:

 (12.1.2)

де n1,2 – відносний показник заломлення, тобто відношення абсолютного показника (n2) другого середовища де абсолютного показника першого середовища (n1).

Яявище заломлення було відомо також давно. Воно описується ще в роботах Аристотеля. Спроба встановити кількісне співвідношення між кутами a та g належить ще Птоломею (120 р. нашої ери). Вимірювання Птоломея досить точні, він перший врахував вплив заломлення світла в атмосфері Землі на видиме положення зірок на небосхилі (атмосферна рефракція) і навіть склав таблиці атмосферної рефракції. Однак вимірювання Птоломея відноситься до невеликих кутів і тому він прийшов до невірних висновків, що кут заломлення g пропорційний куту падіння a .

Правильна формуліровка закону заломлення належить Снелліусу (1591 – 1626 рр.), який в своїх неопублікованих роботах вказав, що відношення косекансів кутів падіння і заломлення залишається постійним.

Дещо пізніше (1637р.) Декарт в книзі “ Діоптрика” дав сучасну формуліровку закону заломлення. Чи знав Декарт про роботи Снелліуса невідомо. Тому закон заломлення часто називають законом Снелліуса – Декарта.

Із закону заломлення слідує цікаве явище, яке отримало назву “явище повного внутрішнього відбивання”. Це явище складається в тому, що при певних умовах заломлення світла на границі двох середовищ світло в друге середовище не проходить, тобот немає заломленого променя. Енергія заломленого променя повністю “перекачується” в енергію відбитого променя.

Розглянемо детально це явище.

 Нехай абсолютний показник заломлення другого середовища (n2) менший ніж показник заломлення (n1) першого середовища, тобто n2<n1 . Тоді і відносний показник заломлення n менший одиниці. Це означає , що

α< γ, так як

 , (12.1.3)

що зображено на рис. 12.1.2

Із збільшенням кута α кут γ також збільшується згідно співвідношення (12.1.3). При якомусь значенні граничного кута αгр кут γ досягне 90° і sinγ =1, тобто заломлення промінів йде вздовж границі розділу двох середовищ. При цьому

 (12.1.4)

При подальшому збільшенні кута падіння α (тобто α>αгр) заломлений промінь зникає , його світло (енергія) переходить в відбитий промінь. Саме це явище називається явищем повного внутрішнього відбивання (все світло відбивається назад в перше середовище).

Явище повного внутрішнього відбивання має глибокий фізичний зміст. Насправді заломлений промінь формується в приграничній зоні, але він проникає на глибину порядку довжини хвилі і повертається назад. В наш час явище повного внутрішнього відбивання широко використовується в передачі інформації по оптичних хвилеводах. Несуча частина оптичного хвилевода (волокна) має більший показник заломлення ніж його оболонка і в такому волокні світло постійно відбиваючись від границі розділу зберігається в оптичному каналі. Це явище дає змогу передавати оптичні сигнали на сотні, а то і тисячі кілометрів без проміжкового підсилення.

Світловий потік переносить енергію, завдяки чому світло сприймається різними регіструючими приладами, зокрема , оком.

Відношення енергії, яка протікає через будь-яку вибрану поверхню S за час t , до величини цього часу називається потоком променистої енергії Ф.

Якщо джерело світла точкове (рис.12.1.3), то мірою тілесного кута

 dΩ називають величину

 (12.1.5)

Таким чином, для точкового джерела виділений потік знаходиться в тілесному куті dΩ.

Величина потоку, яка припадає на одиницю тілесного кута називається силою світла І . Якщо потік Ф рівномірний то

 (12.1.6)

так як повний тілесний кут дорівнює 4

В загальному випадку (12.1.7)

Освітленістю Е називається величина потоку, яка припадає на одиницю поверхні, тобто

 (12.1.8)

Тема 12.2. Інтерференція світла. Когерентність і монохроматичність світлових хвиль. Час і довжина когерентності. Просторова когерентність. Розрахунок інтерференційної картини від двох когерентних джерел. Оптична різниця ходу. Інтерференція світла в тонких плівках. Інтерферометри. Поняття про голографію.

Методи практичного отримання інтерференції світла

Явище інтерференції нами вище розглядалось для пружних механічних хвиль. Джерелами механічних хвиль служили гармонічні коливання матеріальних тіл. Джерелами світла є атоми. В атомі проходять деякі процеси в результаті чого його енергія понижується, а надлишок енергії випромінюється у вигляді електромагнітної хвилі. Якщо у сусідніх атомах джерела світла проходять такі ж процеси, то ці атоми також випромінюють електромагнітні хвилі, але ці хвилі зовсім не узгоджені між собою, тобто вони мають різні початкові фази, площини поляризації, частоти, амплітуди Мало того, якщо навіть той же самий атом із-за будь-яких причин випускає дві або більше електромагнітних хвиль одна за другою, то ці хвилі також є неузгодженими. Якщо атом випромінює електромагнітні хвилі тільки однієї частоти то ці хвилі все ж, будуть мати різні початкові фази. Таким чином, якщо сукупність атомів одного джерела випромінює електромагнітні хвилі однакової частоти, то всі вони відрізняються початковими фазами. Отже складання світлових хвиль від двох (або більше) джерел не приводить до інтерференції, яка, як відомо, заключається в тому, що в кожній точці простору хвилі складаються завжди з однаковими фазами і в результаті в просторі розподіляються максимуми та мінімуми світла. Складання світла від двох різних джерел внаслідок того, що електромагнітна хвиля не є строго монохроматичною (тобто не є синусоїдальною, випромінювання має початок і має кінець, а синусоїда нескінченна) завжди дає підвищення інтенсивності світла. В даний момент в заданій точці результат складання може бути, наприклад, максимумом, а вже в наступний момент результат складання може бути в цій точці мінімумом, а ще в наступний момент якісь проміжкові значення і так дальше. Ці результати так швидко змінюється, що ніякий прилад (тим паче наше око) не може зафіксувати такі результати складань, тому ми бачимо середнє значення інтенсивності світла. Збільшення кількості джерел світла буде приводити лише до збільшення інтенсивності світла в кожній точці.

Отже атоми всіх джерел світла випромінюють електромагнітні хвилі з різними початковими фазами, різними поляризаціями. Ці електромагнітні хвилі мають початок і кінець і не є монохроматичними (синусоїдальними). Такі хвилі часто називають цугами. Кожний цуг має обмеженість у просторі, яка зв'язана з обмеженістю часу його випромінювання. Час випромінювання цуга атомом дуже малий і складає порядка 10-8с. Цуг хвиль можна представити у вигляді хвильового пакета із суцільним спектром частот, циклічні частоти монохроматичних хвиль які входять до складу пакета утворюють неперервну послідовність значень від w-Dw/2 до w+Dw/2, де w - циклічна частота цуга хвиль. Таким чином, замість одного цуга можна розглядати сукупність монохроматичних хвиль в інтервалі частот Dw.

Проміжок часу t протягом якого різниця фаз коливань, які відповідають хвилям з циклічними частотами w1= w+Dw/2 і w2 =w-Dw/2 змінюється на 2p , називається часом когерентності немонохроматичних хвиль. Тобто

(w1t-kx) - (w2t-kx)= 2p (12.2.1)

звідки

 (w1-w2)t =2p ( 12.2.2)

Або

 Dwt= Dwt.= 2p ( 12.2.3)

Час когерентності буде

 (12.2.4)

Відстань на яку поширюється за час когерентності t хвиля з циклічною частотою w і фазовою швидкістю u, називається довжиною когерентності немонохроматичної хвилі. Отже

 (12.2.5)

Чим ближча хвиля до монохроматичної, тим менша ширина спектра її частот і тим більший її час когерентності та довжина когерентності. Наприклад , для видимого світла від Сонця, суцільний спектр частот складає від до Гц, тоді

 (12.2.6)

 Тобто довжина когерентності світла складає всього декілька мікрон. Тому, як ми побачимо дальше, для спостереження інтерференції світла від звичайних джерел потрібно забезпечити різницю ходу лише в декілька мікрон.

Отже, випромінювання реальних джерел світла є немонохроматичним, а значить і не когерентним. Для спостереження інтерференції світла, окрім когерентності, потрібно також, щоб коливання вектора E ( і відповідно H) знаходились в одній площині , або принаймні,

дуже близької орієнтації.

Френель показав, що можна практично отримати інтерференцію світла, якщо використати акт випромінювання одного і того ж атома, яке звичайно вже буде когерентним. Для цього необхідно випромінювання розділити на два потоки, провести їх різними шляхами і звести в одній області простору. Якщо різниця ходу цих потоків не велика, то ми, таким чином, заставляємо зустрітися хвилі, які вийшли від одного і того ж атома і є когерентними. Якщо різниця ходу буде великою, то хвилі від одного і того ж цуга "розминуться" і потоки вже не будуть когерентними. Для створення когерентних потоків Френель використав відбивання світла від двох дзеркал (рис12.2.1)

 

Дзеркала З1 і З2 розміщені майже під кутом 1800. Один і той же фронт хвилі відбивається від дзеркал так ніби виходить від різних джерел S1 і S2 і хвилі є когерентними, отже і інтерферують в області їх перекриття (область I).

Після цього було запропоновано дуже багато інших методів отримання інтерференції світла, але принцип розділення на дві (або більше) частини одного і того же фронту хвилі з послідуючим їх зведенням в одній області простру є основою у всіх цих методах.

 а) Метод Юнга. Малий отвір S (рис. 12.2.2) в непрозорому екрані згідно принципу Гюйгенса, стає новим джерелом сферичних хвиль. Ці хвилі падають на два наступні малі отвори S1 і S2 які стають джерелами хвиль, що перекриваються на екрані Ек і дають інтерференцію світла, оскільки коливання від S1 і S2 викликані однією і тією ж падаючою хвилею є когерентними.

б) Біпризма Френеля. Світло від джерела S заломлюється в двох призмах А і з малими заломлюючими кутами (рис. 12.2.3) і складеними своїми основами. Призми відхиляють падаюче світло до своїх основ і таким чином виникає два уявних джерела S1 і S2. Проміння від цих джерел переикриваються і на екрані Ек дають інтерференцію світла. Аналогічний хід променів схеми білінзи Бійє.

 в) Дзеркало Ллойда. Тут інтерферують промені які виходять безпосередньо із джерела S та відбиті від дзеркала, які ніби виходять від уявного джерела (рис. 12.2.4).

Особливість інтерференційної картини, яка спостерігається за допомогою дзеркала Ллойда, полягає в тому, що центральна смуга є не світлою, а темною. Це вказує на те, що проміння, які проходять однакові геометричні шляхи сходяться з різницею ходу . Така втрата півхвилі (або, другими словами зміна фази на ) проходить при відбиванні світла від скла, тобто від більш оптично густого середовища.

Існує дуже багато різних варіантів створення двох (або більше) когерентних уявних джерел S1 і S2 шляхом поділу фронту хвилі. Причому інтерференція спостерігається коли віддаль S1 S2 значно менша від віддалі їх до екрану.

Визначення довжин хвилі за допомогою інтерференції світла

Нехай точкові джерела хвиль S1 і S2 розміщені один від одного на віддалі (рис. 12.2.5).

 Коливання в точках S1 і S2 відбуваються в одній фазі. Результат інтерференції хвиль будемо спостерігати на екрані Ек, розміщеному від точок S1 і S2 на віддаль L, значно більшу ніж . Визначимо різницю ходу , з якою приходять хвилі від джерел S1 і S2 в точку екрана C, яка віддалена від його середини (точки O) на віддаль . При умові , що значно менша ніж L , наближено маємо:

 і (12.2.7)

так як то і

 (12.1.8)

 (12.2.9)

Так само як і при інтерференції пружних хвиль в точці C буде максимум тоді, коли в різницю ходу вкладається парне число половин довжин хвиль, тобто

 (12.2.10)

де = 0,1,2,3... - цілі числа. З формули (12.2.10) одержуємо відстань від центру інтерференційної картини до -ї смуги:

 (12.2.11)

Відстань між двома сусідніми максимумами буде (12.2.12) звідки

 (12.2.13)

З формули (12.2.13) можемо знайти довжину хвилі .

При спостереженні в білому світлі всі смуги, окрім центральної, якій відповідає = , забарвлені, причому число смуг невелике. При спостереженні в світлі певного кольору смуги мають той же колір і число їх значно більше. При спостереженні в червоному світлі відстань між смугами найбільша, а при спостереженні в фіолетовому світлі найменша. Звідси слідує , що світло різного кольору відрізняються одне від одного довжиною хвилі: червоні хвилі мають найбільшу довжину хвилі, а фіолетові - найменшу довжину хвилі, які сприймаються людським оком. Біле світло представляє собою суміш хвиль різної довжини, тобто різних кольорів. Вимірювання показує, що кольори відповідають такій області довжини хвиль (табл. 12.2.1).

Таблиця 12.2.1

 Колір світла   Інтервал довжин хвиль (мкм)

 Червоний

Оранжевий

Жовтий

Зелений

Синє-зелений

Синій

Фіолетовий     0,76-0,63

0,63-0,60

0,60-0,57

0,57-0,50

0,50-0,45

0,45-0,43

0,43-0,40

Промені з довжиною хвиль більшими ніж 0.76мкм і меншими 0.40 мкм людським оком не сприймаються. Хвилі з довжиною > 0.76мкм називаються інфрачервоними, а хвилі < 0.40мкм - ультрафіолетовими. При білому світлі смуги різних кольорів при великих перекриваються і дають рівномірне біле освітлення . Цим пояснює те, що в білому світлі число смуг менше ніж при одному кольорі.

Інтерференція на плоскопаралельних пластинах

Смуги рівного нахилу

Розглянемо плоскопаралельну прозору пластинку товщиною , на яку падає під кутом a плоска монохроматична хвиля (рис 12.1.6 ). Будемо вважати, що з обидвох боків пластинки знаходиться одне і теж середовище (наприклад, повітря). Абсолютні показники заломлення середовища 1, а пластинки- 2 (нехай 2 > 1). Відносний показник заломлення є .

 Падаюча хвиля 1 частково відбивається від верхньої поверхні пластинки (промінь 2) а частково заломлюється (промінь 3). Заломлена хвиля досягає нижньої поверхні пластинки (точка B), також частково відбивається (промінь 4), а частково заломлюється (промінь 5). Промінь 4 досягає верхньої поверхні пластинки (точка С) знову частково заломлюється (промінь 6), а частково відбивається (промінь 7).

 Промінь 6 безпосередньо накладається на промінь відбитий від верхньої поверхні (промінь 2). Хвилі цих променів (2 та 6) когерентні , якщо тільки різниця їх ходу мала в порівняні з довжиною когерентності . Для цього потрібно, щоб пластинка була дуже тоненькою (плівкою). Результат інтерференції променів 2 та 6 залежить від різниці їх ходу яка створює певну різницю фаз. Як видно із (рис. 12.1.6 ) промінь 2 проходить додатковий шлях DC у порівнянні з променем 1, а промінь 1, щоб перетворитись в промінь 6 проходить відстань AB, відбивається в точці B, проходить BC і зустрічається з променем 2, який відбивається в точці C. Таким чином, геометрична різниця ходу , буде . Відрізки AB та BC знаходиться в середовищі пластинки, яка має показник заломлення а відрізок DC знаходиться в навколишньому середовищі, що має показник заломлення 1, тому для світла ці середовища не рівноцінні, швидкість світла в них різна.

За оптичну довжину шляху приймають величину рівну добутку геометричного шляху на абсолютний показник заломлення. Тоді оптична різниця ходу між променями 6 та 2 буде

Крім цього промінь 1 у точці B відбивається від границі середовище - повітря, тобто відбивається від повітря (в нашому допущенні ( ) взагалі то ситуації можуть бути і інші). Ми знаємо, що коли хвиля відбивається від менш густого середовища і при цьому немає явища повного внутрішнього відбивання , то хвиля не змінює своєї фази (кажуть, що хвиля не втрачає половину довжину хвилі). Промінь 2 відбивається від оптично більш густого середовища ( ) тому промінь 2 втрачає половину довжини хвилі, і оптична різниця ходу остаточно буде

 (12.1.14)

Виразимо відрізки та через товщину пластинки та кути падіння і заломлення .

З рис. 12.1.6 видно, що

 . (12.1.15)

З трикутників і , маємо

 , (12.1.16)

 , (12.1.17)

 . (12.1.18)

Тоді формула (12.1.14) набуває вигляду :

 (12.1.19)

Використаємо закон заломлення (Снелліуса-Декарта)

 (12.1.20)

З врахуванням (12.1.20) формула (12.1.19) буде мати вигляд:

 (12.1.21)

Формулу (12.1.21) можно також виразити через кут падіння a.

Зауваживши, що

 (12.1.22)

Отримаємо:

 (12.1.23)

За умови, якщо в оптичну різницю ходу буде вкладатись парне число половин довжин хвиль, то в результаті інтерференції отримаємо максимум, якщо в оптичну різницю ходу вкладається непарне число половин довжин хвиль отримаємо мінімум.

При освітленні пластинки білим світлом для деяких довжин хвиль виконується умова максимуму, а для деяких умова мінімуму. Ті хвилі, для яких виконується умова мінімуму, гасять одна одну і у відбитому світлі відсутні. Тому у відбитому світлі пластинка забарвлюється тим кольором для якого виконується умова максимуму

 .

Інтерференція світла спостерігається не тільки у відбитому світлі, а також і у заломленому світлі. Оскільки у заломленому світлі (інтерферують промені 5,7) немає втрати у точці С половини довжини хвилі, то умови максимуму та мінімуму для заломленого світла будуть протилежними, тобто інтерференційні смуги у відбитому та заломленому світлі мають протилежний контраст.

Можливість послаблення відбитого світла внаслідок інтерференції в тонких плівках широко використовується у сучасних оптичних приладах - фотоапаратах, біноклях, перископах та інших. Для цього на передні поверхні лінз наносять тонкі прозорі плівки, абсолютний показник заломлення якої менший абсолютного показника заломлення матеріалу лінзи. Товщина плівки підбирається таким чином, щоб виконувалась умова інтерференційного мінімуму для світла з довжиною світла м, яка відповідає найбільшій чутливості людського ока. Така оптика отримала назву просвітленої оптики. Лінзи, виготовлені таким чином, не дають відблисків і мають фіолетове забарвлення внаслідок наявності у невеликий кількості відбитого світла фіолетових променів для яких умова мінімуму виконується не строго.

Якщо на плівку падає світло під різними кутами (наприклад, розсіяне місячне світло), то для спостереження інтерференції у відбитому світлі потрібно на екрані зібрати паралельні промені за допомогою лінзи. Такі паралельні промені дають інтерференцію хвиль, які мають однакову різницю ходу, визначену кутом падіння . Тому ці смуги називають смугами рівного нахилу.

Прикладом інтерференції світла, яка спостерігається в природних умовах, може служити забарвлення тонких плівок (мильних бульбашок, плівок нафти або масла на поверхні води, прозорих плівок оксидів на поверхнях металевих деталей та ін.).

Інтерференція на клиноподібних пластинах.

Смуги рівної товщини

Розглянемо прозору пластину, поверхні якої не паралельні одна одній. Нехай для простоти проміння падають на поверхню пластинки перпендикулярно (рис.12.1.7). В цьому випадку також виникнуть промені, відбиті від обох поверхонь AB i CD. Як і в плоскопаралельній пластинці ці промені при невеликій товщині пластинки є когерентні і будуть інтерферувати. Різниця ходу між променями залежить від товщини пластини в даному місці. Для кожного місця не однакова товщина пластини (d const) різниця ходу між хвилями відбитими від верхньої поверхні (АВ) та нижньої поверхні (СD) не однакова. Якщо різниця ходу така, що в неї вкладається парне число половин довжин хвиль, то в цьому місці виникає максимум, якщо вкладається непарне число половин довжин хвиль, то - мінімум. Таким чином, інтерференційні смуги відповідають однаковій товщині клиноподібної пластини, тому носять назву смугами однакової товщини.

 Кут , як правило, дуже малий, тому формули для різниці ходу, які отримані для плоскопаралельної пластини (формули 12.2.24 і 12.2.25) можуть бути використані для клиноподібних пластинок.

Нехай промені 1 і 2 (рис.12.2.7) створюють сусідні максимуми, тоді

 ; , (12.2.26)

Промені падають на поверхню перпендикулярно, тому кут падіння та кут заломлення дорівнюють нулю і номер інтерференційної смуги для променю 2 дорівнює k, для променю 1 є (k+1).

Віднімемо в (12.2.26) від першого рівняння друге, отримаємо:

 , (12.2.27)

де - абсолютний показник заломлення середовища пластинки.

Різниця товщини пластини в цих місцях буде: .

Якщо відстань між смугами є , то з рис. 12.2.7 видно, що

 , (12.2.28)

тоді звідки

 (12.2.30)

Таким чином, по відстані між інтерференційними смугами рівної товщини можна знайти кут клину , що знаходить широке практичне застосування, коли кути дуже малі, і інші методи вимірювання в цих випадках безсилі.

Якщо промені падають на поверхню не перпендикулярно, то в зв’язку з тим, що кути завжди дуже малі, і використання формули (12.2.24) та (12.2.25) приводить до малих похибок, і їх використання цілком оправдане.

На відміну від інтерференційних смуг від плоскопаралельної пластини, які локалізовані на нескінченності, смуги рівної товщини локалізовані на поверхні пластинки, так як відбиті промені від нижньої та верхньої поверхні розходяться, їх складання (інтерференція) відбувається лише на поверхні пластинки. Кільця Ньютона

Установка на якій Ньютон спостерігав інтерференційні кільця показано на рис. 12.2.8. Установка складається з напіввипуклої прозорої лінзи з великим радіусом кривизни R, розміщеній на прозорій плоскопаралельній пластинці. Лінза та пластинка утворюють між собою зазор, який по товщині змінюється від центра, де його товщина дорівнює нулю, до боків, де товщина достатньо велика. Цей зазор може бути повітряний, а може бути заповнений іншим середовищем.

Нехай на таку установку падає перпендикулярно до площини лінзи світло. Частина світла відбивається від верхньої поверхні лінзи (промінь 1), частина від нижньої поверхні лінзи (промінь 2), частина від верхньої поверхні плоскопаралельної пластинки (промінь 3), та частина від нижньої поверхні пластинки (промінь 4). Так як різниця ходу між променями 2 і 3 поблизу центра, де товщина зазору дуже мала, є також малою, то промені 2 і 3 є когерентними і інтерферують між собою. Промені 1 і 4 ні між собою, ні з променями 2 і 3 не інтерферують із-за некогерентності.

Якщо на якійсь товщині зазору d різниця ходу між променями 2 і 3 задовольняє умову максимуму, то ця умова задовольняється по колу радіуса r (так як лінза має сферичну поверхню). Тому інтерференційні смуги мають вигляд концентричних кілець, які і назвали кільцями Ньютона.

Нехай зазор між лінзою і пластиною є повітряний. Тоді промінь 3 проходить два рази повітряний прошарок товщиною d, та відбивається від пластини (оптично більш густого середовища) де втрачає половину довжини хвилі, після чого складається з променем 2. Таким чином, оптична різниця ходу між променями 2 і 3 є

 (12.2.31)

(абсолютний показник заломлення повітря n=1).

Якщо в оптичну різницю ходу вкладається парне число половин довжин хвиль, то в цьому місці виникає максимум, якщо непарне, то - мінімум. Тобто

 (max) (min) (12.2.32)

де k = 0, 1, 2, 3 ... - цілі числа.

Товщина зазору d може бути виражена через радіус кривизни лінзи R, та радіус кільця (максимуму або мінімуму). З рис. 12.2.8 маємо

 (12.2.33)

Звідки

 (12.2.34)

Так як товщина зазору, де утворюється інтерференційна картина, дуже маленька, то величиною можна знехтувати, і тоді

 (12.2.35)

Підставимо формулу (12.2.35) в формули 12.2.32,(умови мінімуму та максимуму) отримаємо:

 (max) (min) (12.2.36)

Звідки

 (12.2.37)

 (12.2.38)

Із-за того, що промінь 3 при відбиванні від верхньої поверхні плоскопаралельної пластини втрачає половину довжини хвилі, то в центрі інтерференційної картини, де товщина зазору дорівнює нулю, відбиті промені 2 і 3 складаються в протифазах і утворюють мінімум (в центрі інтерференційної картини у відбитому світлі темна пляма).

Заломлені промені i також інтерферують між собою, але в цьому випадку промінь не втрачає половини довжини хвилі. У центрі інтерференційної картини буде світла пляма (максимум), а умови максимумів та мінімумів протилежні (обернений контраст) умовам максимумів та мінімумів для відбитого світла. Тоді для заломленого світла

 (12.2.39)

 ; (12.2.40)

Якщо поверхня лінзи не є сферичною, то інтерференційні кільця також не мають форми правильних кілець, що використовується на практиці для контролю сферичності поверхні лінз при їх виготовлені. Крім цього, вимірюючи радіуси інтерференційних кілець та знаючи довжину хвилі за формулами (12.2.37, 12.2.38 або 12.2.39, 12.2.40) можна виміряти радіус кривизни лінзи, що також широко використовується у практиці виготовлення лінз, та інших сферичних поверхонь. Інтерферометри, та їх застосування

 

Рис.12.2.9

 Прилади, робота яких основана на інтерференції світла називаються інтерферометрами. Конструктивно вони відрізняються один від одного в залежності від того, які практичні задачі мають виконуватись на цих приладах. Наприклад, інтерферометр Жамена (рис. 12.2.9) переважно використовується для визначення коефіцієнтів заломлення, або за коефіцієнтами заломлення контролює сорт газу (наприклад, метану в вугільних шахтах).

Інтерферометр складається із товстих плоскопаралельних скляних пластинок І і ІІ. Пластинки виготовляються товстими, щоб промені 1 і 2, які інтерферують, були широко розділені. Це дозволяє ввести в один із пучків шар будь-якої речовини, і по різниці ходу між пучками знаходять показник заломлення

 (12.2.41)

де l - довжина введеного об’єкта, - його показник заломлення, - показник заломлення навколишнього середовища (для повітря = 1).

Різниця ходу приведе до зміщення інтерференційних смуг на величину так, що

 (12.2.42)

Звідки

 (12.2.43)

Інтерферометр Майкельсона (рис. 12.2.10) дозволяє визначати лінійні переміщення з великою точністю. Світло від джерела S падає на напівпрозору пластинку P (пластинка з однієї сторони покрита тонким шаром срібла так, щоб цей шар половину інтенсивності падаючого світла пропускає, а половину відбиває). На шляху променів 1 та 2 розміщенні дзеркала, які повністю відбивають падаюче на них світло. Таким чином, створюються два когерентних промені, які знову пройшовши пластинку P інтерферують, і утворюють інтерференційну картину на екрані Е

Переміщуючи одне з дзеркал (ДЗ1 або ДЗ2) вздовж падаючого на них променя можна змінювати різницю ходу між променями 1 та 2, що приводить до зсуву інтерференційних смуг. Так при пересуванні дзеркала на відстань половину довжини хвилі зсув смуг проходить на один період. Якщо переміщення пройшло на величину L, то

 (12.2.43)

де N - кількість періодів на які змістилася інтерференційна картина на екрані. Таким чином, вимірюючи зміщення інтерференційної картини можна визначити зміну лінійних розмірів з точністю до долі довжини хвилі.

Якщо одне із дзеркал розмістити на зразку, який змінює свої лінійні розміри (наприклад, теплове розширення, електрострикція, магнітострикція та ін.), то цю зміну можна достатньо точно виміряти за допомогою інтерференції світла. Вимірювання зміни лінійних розмирів тіл називається дилатометрією, а відповідні прилади дилатометрами. Дилатометри, робота яких грунтується на явищі інтерференції, є дуже точними приладами.

Крім того, інтерферометр Майкельсона, як і інтерферометр Жамена, можна використовувати для вимірювання показників заломлення, довжини хвилі світла, вимірювання розподілу енергії по частотах тощо.

Принцип роботи інтерферометра Майкельсона використаний (Лінник, Твойман) для побудови інтерферометрів для контролю якості готових оптичних систем (об’єктиви та ін.), при тому контролюється не тільки якість обробки поверхні, але і однорідність скла, з якого виготовлена система. Для контролю поверхонь великих розмірів (декілька квадратних метрів) Лінник побудував інтерферометр, в якому світло падає дуже нахилено на цю поверхню, завдяки чому зменшується переріз відбитого пучка, що дозволяє з точністю до мікрона контролювати прямолінійність поверхонь довжиною до 5 м.

В. П. Лінник сконструював також ‘’мікроінтерферометр’’, який представляє собою маленький інтерферометр Майкельсона. Він надівається на звичайний мікроскоп, і дозволяє за допомогою інтерференційної картини (одне із дзеркал замінюється поверхнею деталі) вимірювати найменші нерівності поверхні металевих деталей.

Явище інтерференції в тонких плівках використовується в ряді приладів для вимірювання товщини, плоско-паралельних поверхонь, їх однорідність тощо.

Приведені типи інтерферометрів лише демонструють можливості при використанні інтерференції світла. До нашого часу сконструйовано багато інших інтерферометрів, які використовують як два інтерферуючих променя, так і багато інтерферуючих променів, наприклад, інтерферометр Фабрі - Перо, пластинка (інтерферометр) Люмера - Герке.

В останній час в зв’язку з створенням високо когерентних джерел світла (лазерів) інтерференційні методи вимірювання набули особливого значення.

Поняття про голографію

Англійський фізик Д.Габор в 1948р, на відміну від звичайного фотографування де фіксується лише інтенсивність світла, запропонував регіструвати за допомогою фотоемульсії не тільки інтенсивність, а і фази розсіяних об’єктом хвиль, скориставшись для цього явищем інтерференції хвиль. Таким способом можна отримати та зареєструвати значно повнішу інформацію про об’єкт. Цей метод Габор назвав голографією, що означає на грецькій мові повний запис.

Суть цього методу пояснюється на рис. 12.2.11. За допомогою фотопластинки Ф реєструється інтерференційна картина яка виникає при накладанні хвиль 1 відбитих від об’єкта О та хвиль 2 відбитих від дзеркала Дз.

 

Хвиля 1 називається предметною хвилею, а хвиля 2 називається опорною хвилею. Інтерференційну картину зафіксовану на фотопластинці після її проявлення називають голограмою об’єкта О. Голограма на відміну від фотографічного негативу об’єкта, не має зовнішньої подібності з об’єктом, вона представляє собою дуже складний візерунок інтерференції, тобто складне розміщення чорних та світлих дільниць.

Отримання голограми вимагає здійснення інтерференції світла при великих різницях ходу, тому світло має мати високу ступінь когерентності. Практичне здійснення ідеї Габора стало можливим лише на початку 60-х років після створення лазерів, які мають достатню когерентність випромінювання.

Відновлення зображення об’єкта по його голограмі проводять так. Голограму просвічують як діапозитив тою ж самою опорною хвилею, яка використовувалась при отримані голограми, причому орієнтація голограми по відношенні до опорної хвилі має бути такою ж самою, як при записі. Ця світлова хвиля дифрагує на голограмі, в результаті чого спостерігається два об’ємних зображення об’єкта: уявне та дійсне. Уявне зображення знаходиться в тому самому місці де було розташовано об’єкт. Це зображення видно при спостереженні через голограму як через вікно. Дійсне зображення розміщено з другої сторони голограми (по ходу опорного пучка). Воно якби зависає в повітрі перед голограмою і є дзеркальним зображенням об’єкта, що представляє деякі незручності при роботі з цим зображенням. Тому частіше працюють з уявним зображенням.

Інтерференційна картина в кожній точці голограми визначається світлом , яке розсіяне усіма точками об’єкта Тому кожна дільниця голограми вміщує інформацію про весь об’єкт. Якщо голограма випадково розбилась, то за допомогою навіть малого осколка можна відновити зображення всього об’єкта. Зменшення частини голограми приводить лише до зменшення контрастності та яскравості зображення. Як відомо, кожний елемент поверхні звичайного фотонегативу вміщує інформацію тільки про ту частину об’єкту яка зображена на ньому. Часткове пошкодження фотонегативу завжди веде до втрати деякої частини інформації. Таким чином, з точки зору надійності збереження інформації голограма значно переважає звичайний фотонегатив.

Крім цього на одну і ту саму голограму можна послідовно записати декілька різних голограм, змінюючи кожний раз умови запису.

Можна також отримати кольорове голографічне зображення об’єкту. Для цього при виготовленні голограми користуються монохроматичним світлом трьох основних кольорів (червоним, зеленим та синім). На стадії відновлення зображення на голограму потрібно направляти цих самих три опорних хвилі, наприклад від трьох різних лазерів.

В 1962 році Ю. Денисюк вперше отримав об’ємні голограми, використовуючи для цього фотоемульсії які складають товстий шар. Такі голограми ведуть себе як просторові дифракційні гратки. Вони здатні виділяти з білого світла лише те світло, довжини хвиль якого були використані при записі голограми. Якщо при записі використовувались одночасно три основних кольори, то при освітленні такої голограми білим світлом спостерігається кольорове зображення об’єкта.

Застосування голографії відкриває принципову можливість систем стереоскопічного кольорового голографічного кіно та телебачення. Дуже перспективним є використання голографічних методів для створення нових, особливо надійних, з великою ємністю систем пам’яті вичислювальних машин, систем збереження інформації та ін.

Тема 12.3. Дифракція світла. Принцип Гюйгенса-Френеля. Метод зон Френеля. Прямолінійне поширення світла. Дифракція Френеля на круглому отворі і диску. Дифракція Фраунгофера на одній щілині і на дифракційній гратці. Роздільна здатність оптичних приладів.

Принцип Гюйгенса – Френеля

Принцип Гюйгенса стверджує, що кожну точку хвильового фронту можна представити як точкове джерело вторинних сферичних хвиль, добре пояснює явище дифракції з якісної точки зору. Як відомо, явище дифракції полягає в тому, що світлові хвилі проникають в область геометричної тіні, тобто відхиляються від прямолінійного поширення і огинають перешкоди.

Принцип Гюйгенса дозволяє побудувати нове положення фронту, проводячи огинаючу до таких елементарних хвиль, які виникають навколо кожної точки хвильового фронту в наступний момент часу від того коли зафіксовано фронт хвилі. На рис. 12.3.1. показано як світлова хвиля проникає

 в область геометричної тіні.

Але принцип Гюйгенса не повністю пояснює всі явища при дифракції світла. Зокрема, при проникненні світла в область геометричної тіні проходить ще і складний розподіл інтенсивності світла. Щоб пояснити це явище Френель доповнив принцип Гюйгенса, а саме, він добавив що вторинні точкові джерела є когерентними і в такому виді він став відомим, як принцип Гюйгенса- Френеля.

Кожну точку хвильового фронту можна представити як точкове джерело сферичних когерентних хвиль.

Це означає, що в будь–якій точці спостереження результатом дії фронту хвилі (або частини фронту коли він обмежений ) є результат інтерференції нескінченного числа хвиль, тобто для того щоб визначити результуюче коливання в точці спостереження, яка лежить перед фронтом на відстані , треба по Френелю, скласти коливання, які приходять в точку спостереження від всіх елементів поверхні фронту із врахуванням їх амплітуди та фази.

Амплітуда коливань, які приходять в точку спостереження від елементу поверхні фронту, залежить від розмірів цього елементу, відстані до точки спостереження (хвиля сферична і її амплітуда зменшується обернено пропорційно відстані ), а також кута між напрямком на точку спостереження та нормаллю до елемента поверхні фронту хвилі. Фаза коливань визначається довжиною шляху . Сумування таких елементарних коливань є задачею інтегрувального числення і, взагалі кажучи , може бути надто складною. Але в простих випадках, в так званих симетричних задачах, як показав Френель, інтегрування може бути змінене простим алгебраїчним або графічним складанням.

Метод зон Френеля Прямолінійне поширення світла

Розглянемо дію відкритого фронта плоскої хвилі (рис.12.3.2). в точці спостереження Р. Для цього поділимо фронт хвилі на зони (так звані зони Френеля) наступним чином.

 Радіусом ,

( - найкоротша відстань точки спостереження Р до фронту хвилі). проведемо сферу з центром в т. Р , яка вималює на фронті хвилі першу зону Френеля. Сфера проведена радіусом обмежить другу зону Френеля, сфера радіусом обмежить третю зону Френеля і так дальше.

Визначимо площі цих зон. З рис. 12.3.2. видно , що радіус першої зони Френеля за теоремою Піфагора буде рівним

 (12.3.1)

Величина дуже мала в порівнянні з величиною тому нею будемо нехтувати. Знайдемо радіус другої зони Френеля

 (12.3.2.)

Радіус третьої зони Френеля

 (12.3.3.)

і очевидно , що радіус будь-якої – тої зони буде

 (12.3.4.)

Площа першої зони буде

 (12.3.5.)

Площа другої зони є

 (12.3.6.)

Третя зона має площу

 (12.3.7.)

і площа будь-якої n-ї зони буде:

 (12.3.8.)

Таким чином площі всіх зон побудованих таким чином з точністю до величини є рівновеликими, тобто кількість вторинних джерел Гюйгенса- Френеля в цих зонах хоча і безмежно велика, але однакова у всіх зонах. Як видно із побудови середня відстань збільшується на із збільшенням номера зони на одиницю. Це означає що кожному вторинному сферичному джерелу в першій зоні можна співставити одне і тільки одне джерело у другій зоні, яке посилає свою хвилю в точку спостереження Р в протифазі і компенсує дію джерела із першої зони. Таким чином дія першої зони компенсується дією другої зони. З тієї самої причини дія другої зони компенсується дією третьої зони, а дія першої зони підсилюється дією третьої зони і так дальше. Тобто амплітуди, які посилають непарні зони підсилюють одна одну (вони приходять в точку спостереження з однаковою фазою) і всі амплітуди, які приходять від парних зон також підсилюють одна одну (вони також приходять з однаковою фазою). Якщо побудувати на прозорій пластинці зони Френеля, як це показано на рис. 12.3.2. і зафарбувати або парні зони або непарні то така пластинка збирає хвилі в точці Р які лише підсилюють одна одну, тобто така пластинка працює як лінза, вона називається зонною пластинкою.

Завдяки тому, що з ростом номера зони відстань від зони до точки спостереження росте, а також збільшується кут між нормаллю до площини зони і напрямком на точку спостереження, амплітуда хвилі зменшується.

З врахуванням зменшення амплітуди та зміни фази дію всіх зон можна характеризувати такою діаграмою. (рис.. 12.3.3.).

 

З достатньо добрим наближенням можна вважати, що модуль будь-якої амплітуди дорівнює середньому арифметичному із модулів сусідніх амплітуд. Наприклад

 (12.3.9)

 

і так дальше

Результуюча амплітуда в точці спостереження буде

 (12.3.10)

Розділимо амплітуди непарних зон на дві половини, тоді

 (12.3.11)

Враховуючи рівність (12.3.9.) члени рівності (12.3.11.) які виділені дужками будуть рівні нулю і тому

 (12.3.12)

Тобто дія повністю відкритого фронту із-за інтерференції вторинних хвиль зводиться до дії половини першої зони Френеля. Отже хвилі від повністю відкритого фронту як би поширюються в каналі поперечний переріз якого дорівнює половині першої зони Френеля. Якщо площа зон згідно (12.3.8.) дорівнює , то, наприклад, для лабораторних умов , (червоне світло). Площа зони Френеля буде

Хвилі від відкритого фронту при таких умовах якби поширюється в каналі з поперечним перерізом , тобто виконується закон прямолінійного поширення світла.

При розгляді сферичного фронту хвилі ситуація принципово не змінюється. В цьому випадку зони Френеля не є плоскими і для визначення їх площі треба враховувати не тільки відстань від фронту до точки спостереження, але і відстань від джерела до фронту хвилі (риис.. 12.3.4)

 

Площа зон в цьому випадку визначається формулою:

 (12.3.13)

і також з точністю до є одинаковою для всіх зон.

Дифракція на круглому отворі і диску

Розглянемо дифракцію плоских (для простоти) хвиль на круглому отворі.(рис.12.3.5)

      

Рис.12.3.5

Нехай точка спостереження знаходиться на осьові лінії. Побудуємо зони Френеля як і в попередньому параграфі на необмеженому фронті. В отвір поміститься певна кількість зон. Це число може бути або парним або непарним. Тому ряд (12.3.11) буде обмежений. Він обірветься або на парному або на непарному члені. Якщо в отвір поміщається парне число зон , то амплітуда парної зони в формулі (12.3.11) зі знаком мінус. Половина дії парної зони компенсується дією половини попередньої непарної зони, а половина залишається не скомпенсованою. Тоді результуюча амплітуда буде:

 ( 12.3.14)

Якщо ж в отвір поміститься непарне число зон, то дія половини непарної зони залишається не скомпенсованою, як видно із (12.3.11) амплітуда непарної зони має знак плюс , тоді

 (12.3.15)

Об’єднуючи (12.3..14) і (12.3.15) маємо

 (12.3.16)

де знак “+” береться для непарного і знак “ - “ для парного . Змінюючи відстань до точки спостереження змінюється і площа зони згідно (12.3.8). . Коли точка спостереження близько розміщена до площини отвору , то і величина площі зон також мала і кількість зон які розміщуються в отворі дуже велика, в цьому випадку фронт хвилі можна вважати відкритим і його дія зводиться до дії половини першої зони Френеля, вклад члена в формулі (12.3.16) дуже малий. Змінюючи в незначних межах відстань інтенсивність світла практично залишається незмінною. Але якщо збільшувати відстань суттєво, тоді в отвір буде поміщатись все менше і менше зон, номер зони зменшується а його вклад збільшується (див. рис. 12.3..3). Тоді в точках спостереження з яких в отвір поміщається парне число зон Френеля буде спостерігатись мінімум світла, а в точках з яких в отвір поміщується непарне число зон будуть спостерігатись максимуми. Віддаляючи точку спостереження ми будемо проходити почергово через мінімуми та максимуми, аж поки з точки спостереження в отвір буде вміщуватись лише дві зони Френеля. При цьому буде спостерігатись останній мінімум. Останній максимум буде спостерігатись в тій точці з якої в отвір поміщається одна (перша) зона Френеля. При подальшому віддалені точки спостереження від отвору інтенсивність світла буде монотонно зменшуватись. (рис.12.3.6.).

Розрахунок амплітуди результуючих коливань в других точках, які не лежать на осьові лінії значно складніший, так як відповідні їм зони Френеля виявляються частково закритими непрозорим екраном.

 Але із симетрії системи та закону збереження енергії очевидно, що інтерференційна картина в площині, яка проходить через точку спостереження ( т. Р ) і паралельна площині отвору , буде мати вигляд концентричних кілець із центром в точках на осьові лінії. Віддаляючи цю площину від отвору контраст інтерференційних смуг буде почергово змінюватись, на місцях мінімумів будуть виникати максимуми і навпаки.

 Якщо отвір освітлюється не монохроматичним світлом, то інтерференційні кільця мають багатокольорове забарвлення, так як число зон Френеля, які вміщаються в отвір залежить від довжини хвилі.

Розглянемо дифракцію світла на невеликому непрозорому круглому екрані. Спосіб побудови зон Френеля на відкритій частині фронту хвилі показано на рис. 12.3.7. Інтерференційна картина на екрані Е має вигляд концентричних темних та світлих кілець з центром в точці Р, де завжди знаходиться інтерференційний максимум (пляма Пуассона). Амплітуда світла в точці Р дорівнює половині амплітуди А1 , яка відповідає дії в цій точці одної, тільки першої відкритої зони Френеля . При освітлені диска білим світлом в центрі ( в т. Р) буде спостерігатись біла пляма , навколо якої розміщуються концентричні кольорові кільця. По мірі віддалення екрану Е від диску пляма Пуассона поступово зменшується в розмірах, а наступне за ним темне кільце розширюється, утворюючи область тіні.

Із розглянутих прикладів видно як просто за допомогою принципу Гюйгенса – Френеля і основаного на цьому методі зон Френеля можна розрахувати інтенсивність світла для різних випадків дифракції. Однак, користуючись цим принципом, потрібно завжди пам’ятати, що він є лише наближеним розрахунковим прийомом, який замінює строгий розв’язок задачі про поширення світла.

 Дифракція на щілині

 

Нехай плоска хвиля падає нормально на непрозорий екран Ек в якому прорізана вузька щілина ВС, яка має постійну ширину і довжину >> .(рис.12.3.8) Згідно принципу Гюйгенса – Френеля точки щілини є вторинними джерелами хвиль, які коливаються в одній фазі, так як площина щілини співпадає з фронтом падаючої хвилі. Внаслідок дифракції на екрані буде спостерігатись система інтерференційних смуг. В побічному фокусі О1 лінзи збираються всі паралельні промені, які падають на лінзу під кутом . Промені, які випромінюють вторинні джерела, що розміщенні в різних точках щілини, приходять з різними фазами. Результуюча амплітуда на екрані в даному місці (точка О1) залежить від співвідношення фаз між цими хвилями. Для знаходження результуючої амплітуди поступимо наступним чином. Відрізок АС поділимо на відрізки . Через ці точки перпендикулярно до рисунка (вздовж щілини) проведемо площини, які поділять щілину на смуги шириною .

 (12.3.17.)

Оптична різниця ходу променів , проведених від границі сусідніх смуг (зон) паралельно ВМ, дорівнює . Всі зони в заданому напрямку випромінюють абсолютно однаково. При інтерференції світла від кожної пари сусідніх зон амплітуда результуючих коливань дорівнює нулю, так як ці зони посилають коливання з однаковими амплітудами, але протилежними фазами. Таким чином, результат інтерференції світла в точці О2 визначається тим, скільки зон Френеля вкладається в щілині (це те ж саме скільки відрізків вміщується в відрізку АС ). Якщо число зон парне, то спостерігається дифракційний мінімум, тобто умова мінімуму має вигляд:

 ( =1,2,3...- цілі числа) (12.3.18)

Якщо число зон Френеля непарне, то в точці О2 спостерігається дифракційний максимум, тобто умова максимуму має вигляд

 ( –цілі числа) (12.3.19)

Знак “ + ” береться для мінімумів (максимумів) з правої сторони від головного фокуса О1 а знак “ - ” для мінімумів (максимумів) з лівої сторони. Максимуми при =±1 називаються максимумами першого порядку, при =±2 максимумами другого порядку і так дальше. В точці О1 (головному фокусі лінзи ) спостерігається самий інтенсивний центральний максимум нульового порядку: коливання, які створюються в точці О1 всіма дільницями щілини, відбуваються в одній фазі.

Дифракційна картина на екрані залежить від відношення ширини щілини до довжини хвилі λ . Якщо , наприклад, = λ де –ціле число, то як видно із співвідношення (12.3.18.)

 (12.3.20)

звідки Sin = ± 1 і = ± 90о , тобто на екрані неможливо спостерігати дифракційні максимуми, порядок яких більший ніж =1 .

Шириною дифракційного максимуму на екрані називають відстань між двома дифракційними мінімумами, які обмежують цей максимум. Якщо не дуже велике (щілина дуже вузька) то всі максимуми дуже широкі і дифракційна картина мало контрастна. Навпаки, коли велике (щілина широка) то всі максимуми дуже вузькі та яскраві.

 Положення дифракційних максимумів всіх порядків починаючи з першого залежать від довжини хвилі , тому при освітлені щілини білим світлом центральний максимум буде білим, а максимуми інших порядків забарвлені з одного кінця (для більших φ) червоним кольором а з другого кінця (для менших φ) фіолетовим кольором, тобто світло розкладається в спектр. На місці максимуму першого порядку виникає спектр першого порядку і так дальше.

Розрахунок дифракційної картини, оснований на використанні методу зон Френеля є наближеним. Точний розв’язок цієї задачі ґрунтується на розділенні щілини на нескінченне число однакових нескінченно вузьких смуг паралельних довгій стороні щілини. В точному розв’язку умова мінімуму (формула 12.3.18.) така ж сама, а умова максимуму дещо відрізняється від формули (12.3.19.), але відхилення дуже незначні і ми будемо вважати, що формула (12.3.19.) є точною.

Дифракційна гратка. Роздільна здатність оптичних приладів

Найпростіша одномірна дифракційна гратка представляє собою систему із великого числа N однакових по ширині паралельних одна одній щілин, які лежать в одній площині та розділені непрозорими проміжками, рівними по ширині (рис.12.3.9.).

Нехай на таку дифракційну гратку падає плоска хвиля нормально до площини щілин. Коливання у всіх точках щілин проходять в одній фазі, так як ці точки знаходяться на одній і тій же хвильовій поверхні.

Явище тепер ускладнюється тим, що крім дифракції від кожної щілини, проходить ще і складання коливань від всіх щілин, тобто проходить інтерференція багатьох променів. Максимум інтенсивності світла буде спостерігатись для тих точок екрана для яких різниця ходу від всіх щілин буде такою що всі амплітуди будуть складатися з однаковими фазами. Позначимо ширину щілини через , а ширину непрозорої дільниці через . Величина

 = + (12.3.21)

називається постійною дифракційної гратки.

З рис.12.3.9. видно, що різниця ходу між сусідніми щілинами дорівнює AD, і

 . (12.3.22)

Якщо в різницю ходу буде вміщуватись парне число половин довжин хвиль, то в результаті інтерференції утвориться максимум, тобто

 , (12.3.23.)

де k = 0,1,2,3,........ цілі числа. Якщо виконується умова (12.3.23.) (умова максимуму) то хвилі від всіх щілин складаються з однаковими фазами і утворюють так званий головний максимум. Результуюча амплітуда хвилі в головному максимумі в N раз більша від амплітуди, яку посилає в даному напрямку кожна щілина.

Так як різниця фаз зв’язана з різницею ходу співвідношенням

 (12.3.24)

то умову головних максимумів можна записати і так

 (12.3.25)

Окрім максимумів на екрані виникають також і мінімуми. Можна показати що мінімуми виникають тоді, коли різниця фаз дорівнює :

 (12.3.26)

або

 , (12.3.27.)

крім тих випадків коли k = 0, N, 2N, 3N......, бо тоді умова мінімумів (12.3.26.) переходить в умову максимумів (12.3.25.), або в (12.3.23.). Таким чином , між сусідніми головними максимумами виникає N-1 мінімумів в яких інтенсивність світла дорівнює нулю. Між цими мінімумами виникають, так звані, вторинні максимуми. Вони названі так тому що, їх інтенсивність значно менша ніж інтенсивність головних максимумів. Схематично розподіл інтенсивності на екрані показано на рис.12.3.10.

При великому числі щілин N головні максимуми дуже різкі, а вторинні максимуми дуже слабкі. В монохроматичному світлі вся інтерференційна картина має вигляд вузьких світлих смуг, розділених практично чорними проміжками. При освітлені гратки білим світлом в центрі виникає біла смуга , а справа і зліва від неї на місці головних максимумів для однієї довжини хвилі виникає ряд максимумів для різних довжин хвиль дещо зміщених одна від одної, тобто виникають спектри. В кожному із спектрів максимуми для фіолетових променів розміщуються ближче до центральної смуги, а максимуми для червоного проміння найдальше від центральної смуги (тобто ).

При освітлені гратки світлом, яке складається лише з певних довжин хвиль, ми отримуємо лінійчаті спектри різних порядків (+1,-1,+2,-2, і т. д.) Центральна смуга в цьому випадку є результатом накладання максимумів для всіх довжин хвиль. Спектри різних порядків можуть перекриватися.

      

Рис. 12.3.10

Спектри характеризуються кутовою дисперсією та роздільною здатністю.

Кутова дисперсія характеризує ступінь розтягнутості спектра поблизу даної довжини хвилі і виражається співвідношенням

 (12.3.28)

Використовуючи формулу (12.3.23.) отримаємо для спектра дифракційної гратки:

 (12.3.29)

Як видно із (12.3.29.) дисперсія не залежить від числа щілин, а визначається лише постійною дифракційної гратки d та порядком спектра k . Для малих кутів

 (12.3.30)

дисперсія зберігає постійне значення; звідси витікає, що при цих умовах кутові відстані між спектральними лініями пропорційні різниці довжин хвиль . Спектр з постійною дисперсією рівномірно розтягнутий в області всіх довжин хвиль і цим вигідно відрізняється від спектра, отриманого за допомогою призми, де фіолетова частина розтягнута значно сильніше червоної.

Роздільна здатність показує які спектральні лінії, з малою різницею довжин хвиль між ними, гратка ще може розрізнити. Якщо різницю довжин цих двох хвиль позначити , то роздільною здатністю називають величину

 (12.3.31)

де - середня довжина хвилі в інтервалі .

Згідно критерію Релея два максимуми вважаються розділеними, якщо ордината мінімуму складає 0,8 (80%) від ординати максимумів.

Дифракційна гратка здатна розрізняти тим більш близькі спектральні лінії, чим більше число щілин N вона має і чим більший порядок спектра.

 (12.3.32)

Сучасні дифракційні гратки мають до 1200 щілин на міліметр і загальне число щілин в них досягає 200000. Така гратка має в першому порядку роздільну здатність .

Дифракційні гратки широко використовуються в спектральних приладах для визначення довжин хвиль та вивчення світла яке випромінюється в різних фізичних процесах і дозволяє вивчати самі ці процеси.

Тема 12.4 Дифракція на просторовій гратці. Формула Вульфа –Бреггів. Дослідження струкетури кристалів. Рентгенівський аналіз досконалості кристалічної структури

Рентгенівські промені також є електромагнітні хвилі, довжина хвиль яких в тисячі раз менша довжини хвилі видимого світла і складає величину порядку одного ангстрема . Тому виготовлення дифракційних граток для таких хвиль штучним способом практично неможливо. В якості дифракційної гратки для рентгенівських променів служить природна просторова гратка, яку представляють собою кристалічні структури. Атоми і молекули в кристалі розміщені в вигляді правильної трьохмірної гратки, причому періоди таких граток співрозмірні з довжиною хвилі рентгенівських променів. Якщо на такий кристал направити пучок рентгенівських хвиль, то кожний атом або молекула, з яких складається кристалічна гратка, викликає дифракцію рентгенівських хвиль. Під дією електромагнітного випромінювання електрони атомів набувають прискорення і в свою чергу стають джерелами випромінювання тієї ж частоти, що і падає на кристалічну гратку. При частотах видимої області суперпозиція хвиль, розсіяних окремими атомами кристалу, приводить лише до звичайного оптичного заломлення. Якщо довжина хвилі співрозмірна з постійною кристалічної гратки, як це має місце для рентгенівських хвиль, то при деяких умовах буде проходити також дифракція хвиль. Для встановлення умов при яких спостерігається дифракція рентгенівських хвиль, розглянемо два атоми кристалічної гратки (два розсіюючих центри) (рис.12.4.1.)

 Нехай відстань між атомами . Тоді , як видно із малюнка різниця ходу між променями 1 і 2 буде

 (12.4.1.)

де - кут падіння, а - кут розсіювання рентгенівських хвиль. В рентгенівській області кут падіння та кут розсіювання вимірюється від площини, яка пролягає через ці центри розсіювання (атоми), тоді як в оптичному діапазоні хвиль цей кут відраховується від нормалі до цієї площини.

Якщо періоди трансляції кристалічної гратки в других двох перпендикулярних напрямках будуть, наприклад і , а відповідні кути падіння , і і кути розсіювання і то вся сукупність умов для отримання максимуму при дифракції буде:

 

 

 (12.4.2)

де -цілі числа.

Рівняня (12.4.2) є умовою отримання максимуму дифракції в певному напрямку і називаються рівняннями Лауе. Вони мають розв’язок для певних кутів та певного значення довжини хвилі . Рівняння Лауе мають просте геометричне трактування. Кожне з цих рівнянь описує поверхню конуса. Таким чином, рівняння Лауе мають розвязок тільки для тих напрямків в яких поверхні конусів в трьох взаємно перпендикулярних напрямках мають спільні точки.

В 1913 році В.Брегг та незалежно від нього російський кристалогораф Г.Вульф встановили, що напрямок дифракційних максимумів можна знайти на основі такої простої моделі, згідно з якою падаючі рентгенівські хвилі дзеркально відбиваються від різних атомних площин в кристалі. Напрямок дифракційних пучків визначається інтерференцією відбитих променів від всіх паралельних атомних площин з однаковими індексами Міллера.

Розглянемо в кристалі сімейство паралельно розміщених на рівних відстанях d атомних площин, які частково відбивають випромінювання з довжиною хвилі . На рис.12.4.2. показано лише дві таких площини.

 

Як видно із рис.12.4.2. різниця ходу між променями 1 та 2 дорівнює

 (12.4.3)

Якщо в різницю ходу вміщується парне число довжин хвиль, або це те саме, що ціле число довжин хвиль то в результаті інтерференції виникне максимум, тобто

 (12.4.4)

де n =1,2,3.....- цілі числа.

Співвідношення (12.4.4) називається законом Вульфа-Брегга. Із закону Вульфа-Брегга видно, що дифракція має місце, тоді коли .

Використовуючи закони геометрії для кристалічної гратки можна показати що із рівнянь Лауе витікає закон Вульфа-Брегга.

Завдяки дифракції рентгенівських хвиль розв’язуються дві дуже важливі задачі. По-перше, за допомогою дифракції можна визначити довжини хвиль рентгенівського проміння, якщо відома структура тої кристалічної гратки, яка використовується для дифракції. Таким чином була створена спектроскопія рентгенівських хвиль, яка використовується для встановлення особливостей будови атомів, та якісного і кількісного аналізу сплавів різних речовин, причому чутливість рентгенівського спектрального аналізу значно перевищує чутливість спектрального аналізу в видимій області.

По-друге, спостерігаючи дифракцію рентгенівських хвиль відомої довжини хвилі на кристалічній структурі невідомої будови, ми отримаємо можливість встановити характер цієї структури, тобто взаємне розміщення та положення іонів, атомів або молекул, які складають кристал. Таким шляхом був створений рентгеноструктурний аналіз кристалів.

Дифракція світлових хвиль на ультраакустичних хвилях

Просторову гратку, на якій відбувається дифракція світла оптичного діапазону, практично можна створити. Сюди відносяться, перш за все, дифракційні явища на ультразвукових хвилях.

Як відомо, в пластинці, наприклад, кварцу за рахунок п’єзоефекту можна збудити механічні коливання дуже високої частоти ( до 108 Гц ). Така пластинка буде випромінювати пружні ультраакустичні хвилі, які поширюються в навколишньому середовищі. Якщо таку пластинку приклеїти до поверхні твердого тіла, або розмістити в рідині, то в цих середовищах будуть поширюватися ультраакустичні хвилі, тобто в цих середовищах будуть області підвищеної та пониженої густини, а значить і різні показники заломлення. Тому для світла таке середовище представляє собою фазову гратку, проходячи через яку відбувається зміна не амплітуди, а фази світлової хвилі. Якщо заставити ультраакустичну хвилю шляхом відбивання повертатися назад то у середовищі пройде накладання прямої та відбитої хвилі і утворяться стоячі хвилі, які також представляють собою періодичну структуру змінної густини та показника заломлення світла.

Утворена, таким чином, фазова гратка має період, який дорівнює довжині ультраакустичної хвилі. Так, наприклад, якщо швидкість поширення ультразвукових хвиль в даному середовищі складає 1000м/с, то при частоті 108 Гц довжина ультраакустичної хвилі складає ., таким шляхом утворюється просторова фазова гратка з періодом в десять мікрон, яка цілком зручна для спостереження дифракції світлових хвиль. В самому кристалі, який служить для збудження хвиль, також встановлюється стояча ультраакустична хвиля і такий кристал також може служити фазовою дифракційною граткою.

Якщо пропустити ультраакустичні хвилі по трьох взаємно перпендикулярних напрямках, то можна створити просторову гратку для світлових хвиль.

Фазова гратка, яка створюється за допомогою ультраакустичних хвиль, має показник заломлення, який не тільки створює просторову періодичну структуру, але й змінюється періодично в часі, з періодом ультраакустичної хвилі, тобто порядку 107 – 108 Гц. Це приводить до того, що інтенсивність дифрагованого світла періодично змінюється з тою ж частотою, тобто відбувається модуляція. Це означає, що якщо на ультраакустичну хвилю падає монохроматичне світло з частотою , то дифраговане світло має змінену чястоту, рівну , де - частота застосованої ультраакустичної хвилі.

Тема 12.5 Дисперсія світла. Нормальна і аномальна дисперсії. Електронна теорія дисперсії світла.

Вiдомо, що при пропусканнi через скляну призму бiле свiтло розкладаеться в спектр (рис. 12.5.1), який називають призматичним спектром на вiдмiну вiд дифракцiйного спектра. Утворення призматичного спектра є наочним доказом iснування залежностi абсолютного показника заломлення n скла вiд частоти n свiтла (або те ж саме, що i довжини хвилi). Як показали дослiди, залежнiсть n вiд n властива всiм речовинам. Це явище називають диперсiєю свiтла. Швидкiсть свiтла в речовинi також залежить вiд частоти (або довжини хвилi).

 Швидкiсть свiтла у вакуумi для свiтла будь-якоi частоти n однакова. Цей висновок пiдтверджений в астрофiзицi при спостереженнi випромiнювання подвiйних зiрок. Спостерiгач, який перебувае в площинi руху обох зiрок, повинен бачити перiодично повторюванi взаємнi затемнення цих зiрок, так як вони обертаються одна навколо другої. Якби швидкiсть свiтла залежела у вакуумi вiд частоти, то при затемненнях повинна була б змiнюватись не лише яскравiсть, а й забарвлення подвiйної зiрки. Наприклад, якби швидкiсть с для червоного свiтла була бiльша, нiж для фiолетового то на початку затемнення подвiйна зiрка повинна була б набути синє - фiолетового забарвленя, а в кiнцi - червоно - жовтого. Однак дослiди показали, що таких закономiрностей у змiнах забарвлення подвiйних зiрок немає.

Дисперсiю свiтла в середовищi називають нормальною, якщо iз зростанням частоти абсолютний показник заломлення n середовища також зростає :

 або (12.5.1)

Дисперсiю свiтла в середовищi називають аномальною, якщо iз зростанням частоти n абсолютний показник заломлення n середовища зменшуеться :

 або (12.5.2)

В зв`язку з наявнiстю дисперсii групова швидкiсть хвиль в середовищi може бути як бiльшою, так i меншою за фазову швидкiсть Справдi, оскiльки

 (12.5.3)

деw = 2pn - циклiчна частота, k = (2pn) / l = (2pnn) / c - хвильове число

 (12.5.4)

 (12.5.5)

Пiдставляючи (12.5.4) та (12.5.5) в (12.5.3) маємо

 (12.5.6)

При нормальнiй дисперсiї dn / dn > 0 i , при аномальнiй дисперсii dn / dn > 0 i .

З теорii Максвелла випливає, що абсолютний показник заломлення середовища виражається формулою :

 (12.5.7)

I так як

 (12.5.8)

де c - дiелектрична сприйнятливiсть середовища, - електрична стала, а Pe - проекцiя вектора поляризацii на напрям вектора напруженостi E електричного поля. Тодi :

 (12.5.9)

де - наведений дипольний момент атома. У першому наближеннi можна вважати, що величина визначається змiщенням лише зовнiшнiх електронiв (валентних електронiв), якi найслабше зв`язанi з ядром. Цi електрони називають оптичними електронами. Очевидно, що для атомiв iз одним оптичним електроном

 і (12.4.10)

де e - абсолютна величина заряду, x - змiщення електрона пiд дiєю електричного поля свiтловоi хвилi. Знак “-“ в формулах (12.5.10) вiдображає той факт, що вектори та протилежнi за напрямом вектору змiщення x. Якщо в атомi Z оптичних електронiв (Z - валентний атом) то

 і (12.5.11)

З врахуванням (12.5.11) формула (12.5.8) буде мати вигляд :

 (12.5.12)

Отже задача зводиться до знаходження залежностi вiд E.

Для прозорих речовин в першому наближеннi можна вважати, що на оптичний електрон дiють двi сили. Збурююча (змушуюча) сила з боку напруженостi електричного поля свiтловоi хвилi :

 (12.5.13)

та квазiнапружна сила взаемодii оптичного електрона з iншою частиною атом

 (12.5.14)

де - амплiтуда напруженостi електричного поля світлової хвилі. w = 2pn - циклiчна частота свiтловоi хвилi, - коєфiцiент пружностi ). В цьому випадку диференцiальне рiвняння вимушених коливань електорна мае вигляд

 (12.5.15)

Розв`язком такого диференцiального рiвняння є функцiя :

 (12.5.16)

Пiдставивши (12.5.16) в (12.5.12), маємо

 (12.5.17)

Отже, iз збiльшенням частоти вiд 0 до w0 абсолютний показник заломлення середовища монотонно зростає вiд величини статичного показника заломлення

 (12.5.18)

до безмежностi. При  значення n стрибкоподiбно змiнюється вiд 1 до , а з дальшим збiльшенням w вiд до , а дальше n знову монотонно зростае вiд -¥ до 1 (рис12.5.2).

 Необмежене зростання n при фiзичного змiсту немає i практично не має мiсця. Цей результат дiстали тому, що в наведенному вище виведенi ми не брали до уваги втрат енергiї, зумовлених випромiнюванням вторинних електромагнiтних хиль (електрон рухається iз прискоренням), спiвударами мiж атомами, якi випромiнюють, та iншими причинами. Формально всi цi втрати можна врахувати, коли припустити, що на коливний електрон дiє додаткова сила опору, пропорцiйна його швидкостi.

 (12.5.19)

де r - коефiцiент опору. Тому точнiшим, нiж (12.5.15), є рівняння руху електрона :

 (12.5.20)

де b = r / 2m - коефiцiент затухання. Розв`язком такого диференцiального рiвняння є:

 (12.5.21)

де

 (12.5.22)

Пiдставивши (12.5.21) i (12.5.22) в (12.55.12) отримаемо:

 (12.5.23)

Коефiцiент в багато разiв менший вiд w. Тому затухання iстотно впливае на залежнiсть n вiд w лише в облатi частот . За межами цiеї областi i формули (12.5.23) та (12.5.17) дають практично однаковий результат. В областi власноi частоти показник заломлення вже не сягає безмежностi, а стає скiнченим (рис. 12.5.3).

 

Для частот далеких вiд проявляеться нормальна дисперсiя, тобто показник заломлення n збiльшуеться iз збiльшенням частоти свiтла w. В областi де проявляеться аномальна дисперсiя, тобто показник заломлення n зменшуеться iз збiльшенням частоти w. Формула (12.5.23) є наближеною але добре узгоджується iз дослiдами в областях нормальної дисперсiї.

Досi ми виходили із припущення про те, що в кожноi речовини є лише одна характерна для неї циклiчна частота вiльних коливань оптичних електронiв.

Насправдi, як показують дослiди, при проходженнi свiтла крiзь будь-яку газоподiбну речовину можна спостерiгати цiлий ряд характерних для цiеї речовини лiнiй або смуг поглинання. Отже, кожна речовина характеризується певним набором рiзних циклiчних частот . Тому в класичнiй теорii диперсii свiтла вводять припущення про те, що кожний атом (або молекулу) можна розглядати як систему гармонiчних осциляторiв - заряджених частинок з рiзними ефективними зарядами i масами якi здiйснюють вiльнi незатухаючi коливання з циклiчними частотами . Пiд дiею електричного поля свiтлової хвилi всi цi осцилятори здiйснюють вимушенi коливання i вносять свiй внесок в залежнiсть n(w). Тому експерементальна залежнiсть n (w) дещо вiдмiнна вiд зображеної на рис.12.5.3.

Тема 12.6. Ефект Доплера для електромагнітних хвиль.

Явище Доплера, яке виражається в зміні частоти хвиль внаслідок руху джерела хвиль, приймача хвиль, або одночасно і джерела і приймача хвиль, має місце і для електромагнітних хвиль. Але вирази для зміни частоти, які отримані для пружних хвиль, для зміни частоти електромагнітних хвиль непридатдні, оскільки електромагнітні хвилі поширюються в різних середовищах зі швидкостями близькими до швидкості світла в вакуумі. Тому при виводі формул для зміни частоти електромагнітних хвиль необхідно використовувати співвідношкення спеціальної теорії відносності.

 Нехай координатна система XYZ зв’язана з джерелом S, а вимірювання частоти проводитьсяя в системі , відносна швидкість систем для простоти направлена по осі OX ( ) (рис. 12 6.1)

Нехай світло від джерела S йде вздовж осі OX. При цьому фаза коливань в системі XYZ дорівнює:

 , (12.6.1)

де - частота, яку випромінює джерело.

Знайдемо фазу в системі координат . За перетвореннями координат Лоренца маємо:

 і , (12.6.2)

де , с-швидкість світла в вакуумі.

Тоді фаза буде:

 (12.6.3)

В рухомій системі координат величина не є числом коливань за одиницю часу, так як в цій системі масштаби довжини та часу інші. Якщо праву частину рівняння 12.6.3 привести до виду:

 , (12.6.4)

то тут вже буде частотою світла в системі . Тоді із рівності

 , (12.6.5)

зробивши елементарні перетворення, отримаємо:

 (12.6.6)

Між формулою 12.6.6 та формулою для ефекту Доплера стосовно пружних механічних хвиль є суттєва різниця, яка полягає в тому, що не тільки самі вирази різні, але і в формулі 12.6.6 входить лише відносна швидкість регіструючого пристрою та джерела, тоді як для механічних хвиль в формулу входять як швидкість джерела так і швидкість приймача.

Тема 12.7. Випрмінювання Вавілова-Черенкова.

Як відомо, електромагнітні хвилі випромінюються зарядами. Які рухаються із прискоренням. Якщо заряди рухаються із постійною по величині та напрямку швидкістю, то випромиінювання електромагнітних хвиль відсутнє. Однак експериментально Вавілов та Черенков встановили, що коли електрони рухаються із швидкістю більшою ніж швидкість світла в даному середовищі, то вони випромінюють електромагнітні хвилі навіть тоді коли вони рухаюиться рівномірно, тобто коли >с і .

Випромінювання світла електронами при і отримало назву ефекту Вавілова- Черенкова.

В вакуумі електрон не може рухатись зі швидкістю більшою ніж швидкість світла, тому у вакуумі випромінювання Вавілова-Черенкова не може бути. Однак в тому витпадку, коли заряджені частинки рухаються в будь-якому середовищі з коефіцієнтом залмлення n більшим одиниці (n>1) випромінювання Вавілова-Черенкова може бути. Умовою виникнення такого випромінювання є нерівність:

 або , (12.7.1)

де -швидкість електрона, с-швидкість світла в даному середовищі,а

 і , (12.7.2)

де с0-швидкість світла в вакуумі.

Вперше таке випромінювання спостерігали Вавілов та Черенков в 1934 році при вивченні світла розчинів під дією -променів. Теорія такого явища, основана на уявленні про електромагнітну природу світла, вперше була дана Франком і Таммом в 1937 році.

Електрон, рухаючись зі швидкістю більшою від швидкості світла, випереджає своє власне електромагнітне поле і гальмується цим же полем. В результаті гальмування і виникає випромінювання Вавілова-Черенкова. В ньомсу переважають короткі довжини хвиль, тому воно має голубе забарвлення.

Характерною особливістю цього випромінювання є його направленність. Світло, яке випромінює електрон, поширюється не в будь-якому напрямі, але тільки в напрямках, які складають певний гострий кут з траєкторією частинки, тобто вздовж твірних конуса, вісь якого співпадає з напрямком швидкості частинки.

Кут випромінювання визначається співвіденошенням:

 (12.7.3)

Існує глубока аналогія між випромінюванням Вавілова-Черенкова і балістичною хвилею, яка виникає при русі тіла в повітрі з надзвуковою швидкістю. Для нього також виконується співвідношення 12.7.3.

Виведемо це рівняння.

Уявимо, що електрон, який рухається зі швидкістю вздовж лінії OL (рис.12.7.1) як вздовж вузького пустотілого каналу в однорідному прозорому середовищі з показником заломллення n.

 Кожна наступна точка лінії ОL, яку послідовно займає електрон, стає центром випрмінювання світла, але із запізненням, яке визначається величиною:

 (12.7.4)

де а-відстань між двома сусідніми послідовними положеннями електрона (наприклад О і А на рис.12.7.1). Для того, щоб всі хвилі, які виходять із цих послідовних положень, підсилювались за рахунок інтерференції, необхідно щоб різниця фаз між ними була рівна нулю при будь-якому значенні а. Як видно із рисунка фронт хвилі, який виходить із точки О досягає положення АМ за час

 (12.7.5)

Електрон же досягає точки А (з точки О) за час

 (12.7.6)

Отже, якщо

 , (12.7.7)

то хвиля із точки О і хвиля із точки А будуть в одній фазі, яке би не було значення а.

Отже ми бачемо, що напрям максимальної інтенсивності визначається кутом твірної конуса з віссю OL, якому задовільняє умова :

 , (12.7.8)

що і співпадає з 12.7.3.

Зрозуміло, що в реальному досліді світловий конус не буде безмежно тонким, так як потік електронів має не нульову апертуру, певний розкид швидкостей та і показник заломлення n для різних довжин хвиль має різне значення. Все це робить потік світла дещо розкиданим навколо напряму, який визначає формула 12.7.8.

Ефект Вавілова-Черенкова широко застосовують на практиці в сучасній експериментальній фізиці. На його основі створено так звані черенковські лічильники заряджених частинок, за допомогою яких можна не лише реєструвати ці частинки, а й визначати величину та напрям швидкості частинки і її електричний заряд.

Тема 12.8 Поляризація світла. Природне і поляризоване світло. Поляризація світла при відбиванні. Закон Брюстера. Подвійне променезаломлення. Одноосні кристали. Поляроїди і поляризаційні призми. Закон Малюса. Штучна оптична анізотропія.

Природне світло. Поляризоване світло

Електромагнітна хвиля, як нам відомо, представляє собою поширення гармонічних коливань напруженості електричного поля Е та гармонічних коливань напруженості магнітного поля H (рис.12.8.1). Причому площини в яких знаходяться вектори Е та Н перпендикулярні між собою.

 

Електромагнітна хвиля є поперечною, тому для такої хвилі притаманне поняття поляризації. Одна електромагнітна хвиля завжди плоско поляризована (або як ще кажуть лінійно поляризована), тобто коливання вектора E (H) знаходиться в одній площині. Площина в якій знаходиться вектор E називається площиною поляризації.

 

А тому звичайні джерела світла випромінюють електромагнітні хвилі неузгоджено (довільно), тому пучок природнього світла складається з багатьох електромагнітних хвиль площини поляризації яких мають довільну орієнтацію. Це ж стосується і площин в яких коливається вектор Н , так як вони завжди перпендикулярні площинам коливання “своїх” векторів Е, якщо із пучка природнього світла будь-яким способом виділити електромагнітні хвилі в яких вектор Е(Н) знаходиться в одній площині, то таке світло називається плоскополяризованим (рис.12.8.2) ,а природне, б- плоскополяризоване).

Часково плоскополяризованим світлом називається таке світло в якому одне із напрямків коливань є переважним, але не винятковим. Якщо будь-яким чином зробити так, щоб вектори Е з часом оберталися, то таке світло називається або циркулярно поляризованим, або еліптично поляризованим в залежності від того яку фігуру описує кінець вектора Е коло чи еліпс.

Як створювати такі типи поляризованого світла ми розглянемо в наступних параграфах. Відмітимо, що людське око відрізняє лише світло по довжині хвилі та інтенсивності, але чи поляризоване чи природнє світло воно не відрізняє. Як ми побачимо дальше є багато ефектів коли внаслідок наявності поляризації світло проходячи деякі об’єкти змінює свою інтенсивність та спектральний склад, і в цьому випадку людське око, таким чином, баче результат поляризації світла.

Поляризація світла при відбиванні та заломлені на границі двох діелектричних середовищ

Як ми знаємо при проходженні світла через границю двох прозорих речовин падаючий промінь розбивається на два відбитий та заломлений. Напрямок цих променів визначається законами відбивання та заломлення. Однак для повного описання явищ, пов’язаних з проходженням світла через границю двох прозорих речовин, треба ще вказати, яка інтенсивність і який стан поляризації відбитого та заломленого променів. Ці питання розв’язуються за допомогою формул, які вперше вивів Френель, тому вони називаються формулами Френеля. Приведемо ці формули без виводів. Для цього введемо такі позначення. Нехай Е0 – сумарна амплітуда напруженості електричного поля природнього світла, яке падає на границю поділу.

Природне світло можна розглянути як суму із двох плоскополяризованих Ео,те і Ео,тм, Ео,те – плоскополяризоване світло напруженість електричного поля в якому перпендикулярна до площини падіння, а Ео,тм -плоскополяризоване світло напруженість магнітного поля в якому перпендикулярна до площини падіння (а значить напруженість електричного поля лежить в площині падіння). Це справедливо, тому що будь-яку гармонічну хвилю можна розглядати як суму двох гармонічних хвиль в двох взаємно перпендикулярних площинах.

Амплітуда відповідних коливань заломленого світла буде Е 3те і Е 3тм , а відбитого Е вте і Е втм Кут падіння, як і раніше позначимо через  , а кут заломлення – через  . Тоді формули Френеля можна записати в такому вигляді:

 

 (12.8..1)

Із формули Френеля зразу же видно, що різні кмпоненти (ТЕ і ТМ) в відбитому та заломленому світлі описуються різними співвідношеннями, а значить мають різні значення. Таким чином, відбите та заломлене світло є часково поляризованим, коли падаюче світло є природнім ( не поляризованим ). Крім цього видно, що коли +=90о , то tg90o =  і

 (12.8.2)

Тобто в відбитому світлі при умові  +  = 90о немає компоненти світла ТМ, тобто відбите світло повністю поляризоване, а саме: в відбитому світлі є тільки складова ТЕ , воно має лише електромагнітні хвилі вектори Е яких коливаються перпендикулярно до площини падіння (нагадаємо, що площина падіння – це площина в якій лежать падаючий, відбитий промінь та нормаль до границі розділу середовищ).

Кут  = б, при якому проходить повна поляризація називається кутом Брюстера, а так як б+=90o , то по закону заломлення (закону Снеліуса-Декарта), маємо

 (12.8.3)

Співвідношення

 (12.8.4)

називається законом Брюстера.

Заломлений промінь залишається не повністю поляризованим. Ступінь його поляризації можна підвищувати, якщо заставити світло послідовно відбиватись (та заломлюватись) від декількох однакових і паралельних одна одній прозорих діелектричних пластин встановлених під кутом Брюстера. Якщо число пластин в стопі достатньо велике, то і проходячий промінь майже повністю плоскополяризований і вектори Е в ньому лежать в площині падіння (ТМ – компонента).

Явище подвійного промене заломлення.

 В природі існують кристали падаюче світло в якому утворює два заломлених промені. Це явище отримало назву подвійного променезаломлення. Наприклад, кристали ісландського штату (CaCO3) , кварц, лід, слюда, ярагоніт, кристалічна сірка, топаз, турмалін та інші проявляють явище подвійного променезаломлення.

 

При виході із кристалу промені йдуть паралельно падаючому (рис. 12.8.3) один із цих променів (промінь 0) називають звичайним, другий (промінь e) називають незвичайним. Для звичайного променя виконується закон заломлення, тобто падаючий промінь і промінь (0) та нормаль до границі розділу в точці падіння знаходяться в одній площині і

 (12.8.5)

Незвичайний промінь (e) отримав свою назву від того, що закон заломлення для нього не виконується. Незвичайний промінь не лежить, як правило, в площині падіння, і залежить від орієнтації кристала.

Обидва промені, і звичайний і незвичайний повністю плоскополяризовані в взаємно перпендикулярних площинах.

В кристалі є такий напрямок (або два напрямки) падаючи вздовж якого промінь не створює подвійного променезаломлення. Такий напрямок називають оптичною віссю кристала. Якщо кристал має одну оптичну вісь він називається одноосним, якщо дві – двохосним.

Площина в якій знаходиться оптична вісь та падаючий промінь називається головним перерізом або головною площиною кристала для даного променя. Через кристал, очевидно, можна провести нескінчечне число оптичних осей та нескінечне число головних площин. Лінія перетину будь-яких головних площин завжди є оптичною віссю.

Звичайний промінь поляризований в площині перпендикулярній до головної площини кристала, а незвичайний промінь складається лише з хвиль вектор Е яких лежить в цій площині.

Пояснення подвійного променезаломлення в одноосних кристалах було вперше дано ще Гюйгенсом, який вважав, що звичайному променю в кристалі відповідає сферична хвильва поверхня, а незвичайний промінь має хвильову поверхню в вигляді еліпсоїда обертання. Гіпотеза Гюйгенса відповідає сучасним уявленням про природу світла та про будову кристалів.

Анізотропія кристалів проявляється не тільки в їх макроскопічних властивостях (пружність, термічне розширення та ін.) але і в властивостях тих частинок, з яких ці кристали побудовані. Атоми, іони або молекули, з яких побудовані ці кристали є, як правило, анізотропними вібраторами. Анізотропний вібратор (осцилятор) замість однієї власної частоти коливань (як в ізотропного осцилятора) має в трьох якихось напрямках, в загальному випадку, три різні власні частоти ω1 ,ω2 ,ω3 .

Така анізотропія може бути обумовлена або їх асиметрією, або характером сил, які діють на кожну частинку в кристалічній структурі. Якщо напрямок електричного вектора Е світлової хвилі співпадає з напрямом коливань осцилятора, то амплітуда і показник заломлення вимушених коливань визначається різницею квадратів частоти світла ω і частоти власних коливань ω1 ,ω2 ,ω3. Таким чином, різним напрямком коливань вектора Е в світловій хвилі відповідають різні швидкості поширення. Для одноосних кристалів дві із трьох власних частот співпадають, так що різні тільки дві частоти, одна в напрямку коливань вздовж оптичної осі, друга в напрямку коливань перпендикулярних оптичній осі кристала.

 

Розглянемо хвилі, в яких коливання вектора Е направлені під різними кутами до оптичної вісі. Цей кут може приймати значення від 0о до 90о . Якщо кут складає 90о то швидкість поширення звичайного променя співпадає з швидкістю поширення незвичайного променя (подвійне променезаломлення відсутнє). Цей випадок реалізується лише тоді коли кут падіння α = 0о , тобто коли промінь поширюється вздовж оптичної вісі. Коли кут між вектором Е та оптичною вісю дорівнює нулю, то швидкість поширення незвичайного променя найбільше відрізняється від швидкості звичайного променя. Для цього променя також вводять поняття показника заломлення, який визначається співвідношенням

 (12.8.6)

Якщо вектор Е складає будь-який кут з оптичною віссю відмінний від нуля та 90о то таку хвилю можна розглядати як складену із двох компонент, в одній із яких, площина в якій коливається вектор напруженості електричного поля збігається з оптичною вісю, а другій ця площина перпендикулярна до оптичної вісі. Тобто одна компонента буде відноситись до звичайного променя, а друга до незвичайного променя і поширюватись в кристалі будуть із швидкостями

 і (12.8.7)

Де с – швидкість світла в вакуумі.

В разі падіння на кристал природнього світла інтенсивність звичайного та незвичайного променів будуть однакові. Якщо падаючий промінь буде плоскополяпизованим, то інтенсивність звичайного та незвичайного променів при зміні орієнтації кристала будуть змінюватись від нуля до максимальної величини, тобто звичайний промінь буде переходити у незвичайний та навпаки.

Для деяких кристалів швидкість поширення коливань, паралельних оптичній вісі менша, ніж швидкість поширеня коливань перпендикулярних до оптичної вісі ( < ).

 

Такі кристали називаються позитивними кристалами, для яких ( > ) називається негативними. На рис. 12.8.5 показані звичайні та незвичайні хвилі для позитивного (12.8.5 а) та негативного (12.8.5) б) кристалів.

Напрямок MN в кристалі є оптична вісь. В двухосних кристалах звичайна хвиля стає також незвичайною, так що в кристалі існує два незвичайних промені. Для простоти будемо розглядати лише одноосні кристали.

Нехай на одноосний негативний кристал падає пучок природнього світла нормально до поверхні кристалу. Розміщення оптичної вісі можливі такі:

1. Оптична вісь перпендикулярна до поверхні на яку падає нормально пучок природнього світла. В цьому випадку подвійне променезаломлення відсутнє, обидві компоненти світла (ТЕ – поляризації та ТМ – поляризації) поширюється з однаковою швидкістю.

2.

Оптична вісь нахилена під будь-яким гострим кутом (рис. 12.8.6). В цьому випадку утворюється дві хвилі. Одна хвиля має сферичну хвильову поверхню, друга еліпсоїдну. Щоб знайти напрямки поширення променів потрібно знайти точки дотику фронтів хвиль з хвильовими поверхнями та сполучити їх з відповідними джерелами випромінювання (рис 12.8.6). Точки М є точки падаючого фронта хвилі, тобто вторинними джерелами Гюйгенса. MN – оптичні вісі, вздовж яких швидкість поширення сферичної та еліпсоїдної хвиль (звичайного та незвичайного променя) однакова. У всіх інших випадках швидкість поширення різна. Як видно з рисунка звичайний промінь (0) не заломлюється, а незвичайний (е) заломлюється навіть тоді коли кут подіння  = 0.

 

3. Оптична вісь паралельна поверхні кристалу на яку перпендикулярно падає природне світло. В цьому випадку вісь лежить на поверхні кристалу і швидкість звичайного та незвичайного променів однакова і хвильові поверхні будуть мати вигляд (рис. 12.8.7). В цьому випадку, як видно із побудови незвичайний промінь також не заломлюється і співпадає за напрямком з звичайним променем. Але швидкості звичайного та незвичайного променів різна, тому проходячи товщину кристалу хвилі набувають оптичної різниці ходу, яка рівна

  d(n - ne) (12.8.8)

Поляризаційні призми. Закон Малюса

Отже із природнього світла отримати плоско поляризоване світло можна таким шляхом. По-перше, за допомогою відбивання світла від поверхні діелектрика при умові коли кут падіння  дорівнює куту Брюстера. По-друге, за допомогою подвійного променезаломлення, відділивши будь-яким чином звичайний промінь від незвичайного. Відділити звичайний промінь від незвичайного, можна і природнім шляхом. Як виявляється багато кристалів з подвійним променезаломленням мають різні коефіцієнти поглинання для звичайного та незичайного променів. Це явище називається дихроїзмом. Наприклад, кристал турмаліну вже при товщині 1 мм практично поглинає весь звичайний промінь. Проте використання цього явища на практиці не зовсім зручне, так як такі кристали вибірково поглинають і певні довжини хвиль з променів які вони пропускають (наприклад пропущений незвичайний промінь турмаліна має зелене забарвлення в білому світлі).

Виконання закону Брюстера для практичного отримання плоско паралельного світла також невигідно тому, що коефіцієнт відбивання діелектричних поверхонь дуже малий (1-2%).

Тому для таких практичних задач виготовляють спеціальні призми із прозорих кристалів, яким притаманні явища подвійного променезаломлення. Як правило це кристали ісландського штату (CaCO3)

Розглянемо лише декiлька iз таких призм.

Призма Валлостона

 

Призма складаєтся iз двох прямокутних призм вирiзаних iз iсланського шпату i склеїних по гiпотенузах (рис.12.8.8).

В призмi ABC оптична вiсь направлена вздовж грані ВС, а в призмi АСD вздовж ребра AD (на рисунку це показано крапками та лiнiями вiдповiдно).

Природний промiнь падає нормально на грань AB. Променi звичайний i незвичайний не заломлюються i доходять до гiпотенузи AC з вiдповiдними швидкостями o i e.

В другiй призмi (ABC) вони також iдуть перпендикулярно до оптичної осi, але оскiльки у призмах вони ортогональнi, то променi звичайнi у першiй призмi стають незвичайними у другiй i навпаки. В цих променях при входженнi iз одної призми в другу вiдноснi показники стають в одного меньше 1, а в другого бiльше 1 ( <1 i >1), тому змiщуються в рiзнi частини призми i розходятся. Призма незручна тим, що промiнь виходить iз оптичної осi системи.

Призма Нiколя.

Вона складається iз двох прямокутних призм iсландського шпату (рис. 12.8.9).

 

Оптичнi вici в обидвах призмах паралельнi i направленi вздовж граней AD i ВC(це вiдмiчено на рисунку крапками). По гiпотенузi DB призми склеїні канадським бальзамом або глiцерiном. Показник заломлення канадського бальзаму n=1.550, а

показники заломлення звичайного o=1.658, і незвичайного e=1.486, тобто показник заломлення звичайного променя бiльший нiж канадського бальзаму i при кутi падiння бiльшому за критичний кут повного внутрiшнього вiдбивання звичайний промiнь не входе в другу призму (DBC) , а незвичайний входить.

Iснує також i ряд iнших призм принцип роботи яких також грунтується на явищi подвiйного променезаломлення .

В останнiй час широко застосовуються поляризуючi плiвки, якi дiстали назву поляроїдiв. Вони представляють собою плiвку целулоїда (або другого прозорого матерiалу) на яку нанесенi тонким шаром зоорiєнтованi кристалики сiрчанокислого йодхiнину, який називається герапатитом. Геранатит володiє властивостями дихроїзму. Хоча вiн також проявляє селективне поглинання проходячого променя, але той факт, що поляроїд можна отримати практично будь-яких розмiрiв оправдує його використання в тих випадках,коли непотрiбно отримати високу степiнь поляризацiї .

Розглянемо дiю поляризацiйних призм.

Нехай на першу призму падає природне свiтло (за призму візьмемо призму Нiколя). Тодi в призмi утвориться звичайний i незвичайний промені однакової iнтенсивностi.Звичайний промiнь виводиться iз оптичної системи, тому на виходi iнтенсивнiсть свiтла І1 складає половину iнтенсивностi Io падаючого свiтла. Пiсля першої призми свiтло таким чином стає плоско-поляризованим , що на рисунку 12.8.10 позначино стрiлками (це означає що вектор Е коливається лише в однiй площинi). Iнтенсивнiсть його рiвна

 I=Io/2 (12.8.9)

 

В тому випадку, коли немає звичайного фотоелектричного поглинання, або ми ним нехтуємо, Оскiльки перша призма перетворює природне свiтло в плоскополяризоване то вона називається поляризатором.

Якщо на шляху плоско-поляризованного променя поставити ще одну таку призму то iнтенсивнiсть світла вже буде залежити вiд орiєнтацiї призми. Оптична вicь в другiй призмi орiєнтована так само як i в першiй, тодi якщо друга призма зоорiєнтована так-як i перша, падаюча на неї плоско-поляризована хвиля є незвичайною i проходить всю призму не змінюючи свою інтенсивність.

Якщо другу призму повернути навколо вiсi, яка спiвпадає з напрямком поширення, то плоско поляризований промiнь для неї стає звичайним (площина коливання вектора E перпендикулярна оптичнiй осi) i вiн поширюється з швидкiстю e i терпить на шарi канадського бальзаму повне вiдбивання, таким чином, на виходi другої призми iнтенсивнiсть свiтла дорiвнює 0. Друга призма цим фактом якби аналiзує чи є падаюче свiтло плоскополяризованим, тому її називають аналiзатором. В тому випадку коли вектор Е пада ючої хвилi на аналiзаторі складає будь-який кут  (рис 12.8.11) то його можна розкласти на двi складовi:

 (12.8.10)

 (12.8.11)

Тобто в аналiзаторi виникають двi хвилi звичайна та незвичайна, незвичайна компонента буде проходити аналiзатор, а звичайна повнiстю вiдiб’ється на шарi канадського бальзаму.

Оскiльки iнтенсивнiсть пропорцiйна амплiтудi хвилi в квадратi, то iнтенсивнiсть I2 на виходi аналiзатора А, буде:

I2=I1 cos2 ; (12.8.12)

Формула (12.8.12) називається законом Малюса , вона не враховує втрату свiтла на поглинання та розсiювання світла.

Таким чином, обертаючи аналiзатор навколо вісi, яка спiвпадає з напрямком поширення падаючого пучка (рис.12.8.10), iнтенсивнiсть свiтла два рази досягне максимуму i два рази досягає нульового значення, максимум при кутах =00 та =1800 , нульовi значення при 900 та 2700 . В промiжкових значеннях кута iнтенсивнiсть буде змiнюватись як функцiя cos2. (рис. 12.8.12) На рис. 12.8.12 представленна вектор-дiаграмма залежностi I2 вiд

Рис. 12.8.12

a. Велечина I2 вiдкладена як довжина на вiдрiзку по променi

 

в заданому напрямку a.

В тому випадку коли свiтло, яке падае на аналiзатор є частково-поляризованим векторна дiаграма буде мати майже такий самий вигляд лише при кутах 90 та 270 градусів інтенсивність не буде рівна нулю.

Як правило втрати iнтенсивностi свiтла є i в поляризаторi i в аналiзаторi за рахунок фотонного поглинання та розсiювання. Щоб врахувати цi втрати введемо лiнiйний коофiцiєнт поглинання який є вiдношенням велечини iнтенсивностi пройденного свiтла до iнтенсивностi падаючого , тодi

 (12.8.13)

тобто втрати iнтенсивностi є добутком коофiцiєнта поглинання m на iнтенсивнiсть падаючого свiтла. Тодi втрати на поляризаторi складають m(Io/2), а на аналiзаторi mI1cos2a , тоді

I1= -m =(1-m) (12.8.14)

I2=I1 cos2a- mI1cos2a=(1-m) I1 cos2a (12.8.15)

Iнтенсивнiсть свiтла пройденного через аналiзатор i поляризатор,буде:

I2=(1-m)2 cos2a (12.8.16)

Iнтерференцiя поляризованого свiтла. Кругова та елiптична поляризацiя свiтла

Променi, звичайний та незвичайний, якi виникають при подвiйному променезаломленнi з природного свiтла не когерентнi. Якщо природний промiнь розкласти на два променi, поляризовані у двох взаємно перпендикулярних площинах, а потiм за допомогою рiзних поляризацiйних пристроїв привести коливання в них до однiєї площини то вони не iнтеферують. Це пояснюється тим, що в природному свiтлi коливання, якi проходять в рiзних площинах, випромінюються атомами або молекулами, не узгоджені між собою, тобто не мають постїйної рiзницi фаз, i як наслiдок, не когерентнi.

Променi, звичайний та незвичайний, якi виникають з одного й того ж поляризованого променя, є когерентнi. Якщо коливання в двох таких променях привести за допомогою поляризацiйного пристрою до однiєї площини то променi будуть iнтеферувати. Якщо ж коливання в двох плоско-поляризованих променях проходять в двох взаємно перпендикулярних напрямках, то вони складаються, як два взвємно перпендикулярних коливання i в загальному випадку дають результуююче коливання елiптичного характеру тобто кiнець вектора результуючего поля Е (i Н) описує еллiпс. Така хвиля називається єллiптично поляризована або в окремому випадку циркулярно поляризована.

 

Розглянемо бiльш детально виникнення еллiптично поляризованого свiтла. Для цього використаемо умтановку (рис. 12.8.3) i розмiстимо мiж поляризаторм i аналiзатором кристалiчну пластину з матерiалу якому притаманне подвiйне променезаломлення. Оптична вiсь MN в пластинi паралельна поверхнi пластини.

Нехай площина поляризацiї, падаючого на кристалiчну пластину плоскополяризованого свiтла, складає кут 0<a<90 тодi в кристалiчнiй пластинi виникає два променi звичайний i незвичайний, якi рухаються в одному напрямку з рiзними швидкостями. (Коли кут 00 , виникає лише незвичайний промiнь , а коли a=900 виникає лише звичайний промiнь ). Якщо кристалiчна пластина має довжину d, то звичайна i незвичайна хвиля мають рiзницю хода яка визначається формулою (12.8.8), а рiзниця фаз мiж променями буде рiвною

 (12.8.17)

 Таким чином, рiзниця фаз мiж звичайним та незвичайним променями тим бiльше, чим бiльше рiзниця мiж показниками заломлення n0-ne та чим бiльша товщина кристалу. Якщо товщину кристалу пiдiбрати так, щоб Dj=kp, де k-цiле число, то обидва променi які виходять iз пластини складаючись дають плоскополяризоване свiтло. При k парному його площина поляризацiї спiвпадає з площиною поляризацiї променя, падаючого на пластину; при k непарному площина поляризацiї променя, який виходить iз пластини буде складати кут 900 з площиною поляризацiї падаючого на кристалiчну пластинку променя. При всiх iнших рiзницях фаз коливання в променi, який виходить iз пластини будуть єллiптичними i коли Dj=(2k+1) p/2 осі елiпса будуть спiвпадати з напрямками коливань в звичайному та незвичайному променях. Амплiтуди коливань в звичайному та незвичайному визначаються кутом a мiж площиною поляризацiї падаючого на пластину променя з площиною головного перерiзу пластинки (рис. 12.8.14 ). Їх амплiтуди будуть рiвнi коли кут a=450 в цьому випадку елiпс перетворюється в коло i промень який виходить iз пластини буде мати циркулярну поляризацiю.

Найменьша площина пластини яка здатна перевести плоскополяризоване в циркулярнополяризоване або елiптичнополяризоване визначаеться умовою

 (n0-ne) (12.8.18)

звiдки

d = (12.8.19)

Така пластинка дає рiзницю ходу мiж звичайним i незвичайним променем рiвну l/4 тому її називають пластиною в четверть довжини хвилi. Розглянемо що буде на виходi аналiзатора при наявностi кристалiчної пластини мiж поляризатором та аналiзатором. Якщо кристалiчна пластина створює рiзницю фаз Dj=2p,4p,6p…то площина поляризацiї вихiдного променя в порiвняннi з вхiдним променем не змiнюється i все залежить вiд аналiзатора якщо площина головного перерiзу аналiзатора спiвпадає з площиною головного перерiзу поляризатора то промiнь буде проходити аналiзатор якщо ж вони взаємно перпендикулярнi (схрещене положення) то промiнь через аналiзатор не пройде. Коли рiзниця фаз Dj=p,3p,5p… то площина поляризацiї вихiдного променя складає кут 900 з площиною поляризацiї вхiдного променя. Тодi навпаки, коли площини головних перерiзiв поляризатора та аналiзатора спiвпадають iнтенсивнiсть вихiдного свiтла дорiвнює 0, а коли вони перпендикулярнi то аналiзатор повнiстю пропускає свiтло.

В iнших випадках ситуацiя така. Коли свiтло виходячи iз кристалiчної пластинки має циркулярну поляризацiю то орiєнтацiя аналiзатора не впливає на iнтенсивнiсть падаючого на нього свiтла . В такому випадку неможливо розрiзнити циркулярно поляризоване свiтло вiд природнього. Якщо на аналiзатор падає природне свiтло то обертаючи його навколо осi що спiвпадає з променем iнтннсивнiсть вихiдного свiтла не змiнюється. Так само не змiнюється iнтенсивнiсть свiтла при обертаннi аналiзатора, якщо на нього падає циркулярно поляризоване свiтло. Коли пластинка створює еллiптично поляризоване свiтло то iнтенсивнiсть свiтла яке виходить з аналiзатора залежить вiд його орiєнтацiї. Коли його площина головного перерiзу спiвпадає з великою вiссю елiпса iнтенсивнiсть вихiдного променя з аналiзатора буде максимальною, а коли з малою вiссю –мiнiмальною. Обертаючи аналiзатор навколо вiсi, яка спiвпадає з променем iнтенсивнiсть вихiдного свiтла змiнюється на протязi одного оберту по два рази вiд максимума до мiнiмума, аналогiчно як i для частково плоско поляризованого свiтла. В цьому випадку стає неможливим вiдрiзнити елiптично поляризоване свiтло вiд частково плоско поляризованого свiтла.

Таким чином виникає двi проблеми . Перша як практично вiдрiзнити циркулярно поляризоване свiтло вiд природнього, друга- як практично вiдрiзнити частково плоско поляризоване свiтло вiд елiптично поляризованого свiтла. Для вирiшення цих проблем можна скористатись пластинкою в чверть хвилi яка може перевести циркулярно поляризоване свiтло в плоско поляризоване але не змiнює припродне свiтло. Таким чином, розмiстивши пластинку в четверть довжини хвилi на шляху променя а позаду аналiзатор будемо бачити наступне. Якщо промiнь проиродний то пластинка в четверть довжини хвилi його стан поляризацiї не змiнює i обертаючи аналiзатор навколо вiсi яка збiгається з променем iнтенсивнiсть вихiдного променя залишається незмiнною.

В тому випадку коли свiтло є циркулярно поляризоване розмiстивши на його шляху пластинку в четверть хвилi отримаємо плоско поляризоване свiтло. Тепер обертаючи аналiзатор бачимо перiодичну змiну iнтесивностi за законом Малюса.

Аналогiчним способом можна вiдрiзнити частково поляризоване свiтло вiд елiптично поляризованного. Розмiстивши пластину в чверть довжини хвилi на шляху променя та позаду неї аналiзатор будемо спостерiгати наступне. Коли свiтло є частково плоско поляризоване розмiщення пластинки в чверть хвилi не змiнює iнтенсвностi вихiдного свiтла . Якщо свiтло є елiптично поляризоване то за допомогою пластинки воно перетвориться в плоскополяризоване i обертання аналiзатора приводить до перiодичноi змiни iнтенсивностi свiтла. Пластинку товщiною в виготовити надзвичайно важко тому цю задачу вирiшують за допомогою так званих компенсаторiв один з яких, компенсатор Солейля, показаний на рисунку 12.8.15.

 Вiн складається з двох кварцевих клиновидних пластин оптичнi вiсi в яких є паралельними та кварцевої плоско-паралельної пластини оптична вiсь в якiй перпендикулярна до оптичної вiсi в клинах. (на рис. 12.8.15 положення оптичної вiсi в клиновидних пластинах зображено прямими лiнiями а в плоско паралельнiй пластинці крапками). Верхнiй клин може перемiщуватись за допомогою мiкрометричного гвинта Г паралельно самому собi. При такому перемiщеннi сумарна товщина клинiв (яка є однаковою) змiнюється i може бути рiвною або вiдмiнною вiд товщини нижньої пластинки. В першому випадку компенсатор не вносить нi якої рiзницi фаз мiж звичайним та незвичайним променем а в другому –вносить рiзницю фаз , яку можна монотонно змiнювати до потрiбної велечини.

Штучна анізотропія..

Подвійне променезаломлення спричинене механічними деформаціями

 На початку 19-го століття було відкрито явище подвійного променезаломлення в прозорих ізотропних тілах під впливом механічної деформації. Оптичну анізотропію, яка спричинена деформаціями, можна виявити, якщо розмістити тіло (T) між схрещеними поляризаційними призмами (ніколями) (рис.12.8.16).

При односторонньому стискуванні або розтягуванні тіла вздовж напрямку в ньому виникає оптична анізотропія, яка еквівалентна анізотропії одноосного кристала з оптичною віссю паралельною вхідній площині. Звичайний та незвичайний промені поширюються в напрямку перпендикулярному до напряму дії сили, не розходяться, але поширюються з різними швидкостями = . Різниця коефіцієнтів no і ne служить мірою анізотропії. Дослід показує, що різниця no і ne пропорційна механічній напрузі s, яка прикладена до цього тіла:

no — ne = k1s , (12.8.20)

де k1 – константа, яка визначається властивостями тіла.

Різниця фаз, яку набувають звичайний та незвичайний промені, проходячи товщину l, дорівнює:

 (12.8.21)

де

 (12.8.22)

є новою константою. В залежності від роду речовини константа С може бути позитивна або негативна.

Завдяки залежності різниці фаз від довжини хвилі l тіло забарвлюється в певний колір, коли на нього падає біле світло. Це явище пояснюється тим, що для хвиль з різними довжинами l різниця фаз між звичайними та незвичайними проміннями (для цих хвиль) різна. Отже і результат складання двох взаємно перпендикулярних коливань на виході із тіла різний, по різному їх і пропускає аналізатор. Деякі із хвиль ослаблюються більше, деякі менше. Це рівносильно тому, що з білого світла якби “вирізаються” деякі кольори, тому тіло забарвлюється в колір, який буде доповнювати цей “вирізаний” колір до білого. Тому часто таке забарвлення називають доповнюючим.

Подвійне променезаломлення зникає коли напруга знімається і в тілі зникають деформації. Якщо ж при знятті напруги деформації залишаються то і подвійне променезаломлення залишається, величина якого змінюється в результаті зміни деформації. Тому подвійне променезаломлення в прозорих моделях може використовуватись для вивчення деформацій. Так як величина оптичної анізотропії пропорційна напрузі s, то по виду смуг однакового кольору (ізохром) можна судити про величину натягу. Такий метод вивчення деформацій називається методом фотопружності.

Явище Керра.

Другим прикладом штучної анізотропії є анізотропія, яка виникає в тілах під впливом електричного поля. Цей вид анізотропії був відкритий у 1875 році Керром і носить назву явища Керра. Вперше подвійне променезаломлення в електричному полі було виявлено в твердих діелектриках, коли їх розміщували між пластинками зарядженого конденсатора.

Залишався сумнів, чи не створює електричне поле за рахунок електрострикції такі ж механічні деформації як і напруги. Виникнення подвійного променезаломлення під дією електричного поля було остаточно встановлено після того, як Керр виявив ефект в рідинах, в яких статичне стискування (або розтягування) не викликає оптичної анізотропії. Значно пізніше (1930 рік) подвійне променезаломлення під впливом електричного поля було виявлено і в газах.

Явище Керра в рідинах можна спостерігати, якщо помістити кювету, в яку введені пластини плоского конденсатора (комірка “Керра”) між схрещені ніколі (рис.12.8.17).

 Рідина набуває властивостей одноосного кристалу з віссю, направленого вздовж електричного поля.

Досвід показує, що різниця між коефіцієнтами no і ne пропорційна квадрату напруженості електричного поля Е, тобто:

 = k2E2 , (12.8.23)

де k2 - коефіцієнт пропорційності.

Тому різниця фаз, яка набігає в комірці Керра між звичайним та незвичайним променями є:

 (12.8.24)

де В – нова константа, яка носить назву константа Керра

 (12.8.25)

Константа Керра може бути як додатною так і від’ємною.

Явище Керра пояснюється орієнтуючою дією зовнішнього електричного поля на анізотропні молекули рідини. Орієнтуюча дія поля може бути обумовлена або наявністю в молекул постійного електричного моменту (дипольні молекули) або моментом, набутим в зовнішньому полі. Час, протягом якого, молекули встигають зорієнтуватися в зовнішньому електричному полі, не перевищує 10-9 с. За такий же проміжок часу молекули встигають дезорієнтуватися після зняття електричного поля, в результаті чого подвійне променезаломлення зникає.

Мале значення проміжку часу, протягом якого встановлюється (зникає) подвійне променезаломлення в електричному полі, дозволяє використовувати комірку Карра як безінерційний затвор, що знаходить різне практичне застосування. Подаючи, наприклад, на пластини конденсатора комірки Керра зміну напругу U, можна модулювати інтенсивність світла, яке проходить через аналізатор з тією ж частотою. Цей принцип був використаний Тагером для синхронного запису звуку на кіноплівку в першому звуковому кіно. Комірка Керра сумісно з схрещеними поляризатором та аналізатором застосовуються в швидкісній фотографії швидко протікаючих процесів в якості швидкодіючого світлового затвора. Для цього на конденсатор комірки Керра подають прямокутні імпульси напруги з частотою

 (12.8.26)

протяжність t0 кожного імпульсу дорівнює часу експозиції, який може досягати 10 nс

Ефект Котонна – Мутана.

Ефект Коттона– Мутона відкритий в 1910 р. і заключається в тому, що в магнітних полях деякі речовини набувають властивостей подвійного променезаломлення Тіло веде себе подібно одноосному кристалу, оптична вісь якого паралельна магнітному полю B.

Явище пояснюється тим, що, якщо молекули середовища анізотропні і мають постійні магнітні моменти, то вони можуть орієнтуватися постійним магнітним полем. В достатньо сильних магнітних полях виникає анізотропія та зв’язане з нею подвійне променезаломлення.

Подвійне променезаломлення можна виявити та виміряти так само, як це робиться при вивченні явища Керра. І закони обох явищ цілком аналогічні. Різниця між показниками no і ne також пропорційна квадрату індукції магнітного поля, тобто:

 (12.8.27)

а відповідна різниця фаз:

 (12.8.28)

де К – константа, яка залежить від властивостей середовища та довжини хвилі; l – товщина тіла.

Лінійний електричний ефект Покельса

Зміна подвійного променезаломлення речовини під дією електричного поля називається лінійним електрооптичним ефектом Покельса.

В цьому ефекті зміна показників заломлення no і ne пропорційна першій степені напруженості E зовнішнього поля, на відміну від ефекту Керра, де вона пропорційна квадрату напруженості електричного поля.

Ефект Покельса може спостерігатись тільки в кристалах, які не мають центра симетрії. Справа в тому, що змінна Dn лінійно залежить від E. Тому при зміні напрямку E знак зміни Dn також повинен змінюватися на протилежний, що в кристалах з центром симетрії неможливо тому, що фізичні властивості протилежних напрямків в них абсолютно однакові.

Ефект Покельса пояснюється наявністю ангармонічності в коливаннях електронів. Під дією напруженості зовнішнього електричного поля E в осциляторі, які коливаються по гармонічному закону зміщується лише положення рівноваги, навколо якого відбуваються вільні коливання. При цьому власна частота коливання залишається незміною.

При наявності ангармонічності в коливаннях осциляторів постійне зовнішнє поле E не тільки зміщує положення рівноваги, але і змінює власну частоту осцилятора, що приводить до зміни показника заломлення. При фіксованому напрямку зовнішнього поля E величина Dn залежить від напрямку поширення світла і відповідно змінюється величина подвійного променезаломлення в кристалі. Кристали без центра симетрії завжди проявляють явище подвійного променезаломлення.

Тема 12.9 Оптично активні середовища. Цукрометрія. Ефект Фарадея

В напрямку оптичної вісі світло поширюється в кристалі так само як і в однорідному середовищі, не даючи подвійного променезаломлення. Тим не менше було виявлено (Араго, 1811р.), що в кристалах кварцу поширення світла вздовж оптичної вісі все ж відрізняється від його поширення в ізотропному середовищі. Виявилося, що плоскополяризоване світло, поширюючись в кристалі кварцу вздовж оптичної вісі, повертає площину поляризації. Дещо пізніше це явище було виявлено в ряді других кристалів та в деяких рідинах і отримало назву явища обертання площини поляризації. Речовини, які повертають площину поляризації, називаються оптично активними речовинами.

Якщо розмістити пластину кварцу, вирізану перпендикулярно до оптичної вісі, між двома схрещеними ніколями, то поле просвітлюється. Поворотом аналізатора на деякий кут світло знову можна погасити. Це вказує на те, що світло залишилось плоскополяризованим, але площина його поляризації повернулась на деякий кут. Повністю погасити світло за допомогою аналізатора можна лише в випадку, коли світло є монохроматичним. Якщо ж світло є білим, то при розміщенні кварцової пластинки між схрещеними ніколями отримуємо забарвлення поля; при повороті аналізатора (поляризатора) забарвлення змінюється. Це вказує на залежність обертальної здатності від довжини хвилі (дисперсія обертальної здатності). Якщо дивитись на зустріч променю, то площина поляризації може повертатися за годинниковою стрілкою (направо), або проти годинникової стрілки (наліво). Речовини, які обертають направо, носять назву правообертаючих, а обертаючі наліво – лівообертаючих. Серед кристалів кварцу є правообертаючі і лівообертаючі. Право – і лівообертаючі кристали кварцу відрізняються по своїй зовнішній кристалічній формі – один з яких є дзеркальним відображенням іншого. Такі дві форми в кристалографії носять назву енантіоморфних.

Обертання площини поляризації в кварці достатньо замітна: кварцова пластинка товщиною в 1 мм повертає площину поляризації жовтих променів ( = 589 нм) на 21,7, а фіолетових ( = 404,7 нм) - на 48,9; в ультрафіолетовій області спектру обертання площини поляризації ще більше: та ж пластинка кварцу повертає площину поляризації променів з довжиною хвилі 214,7 нм на 236.

Кут обертання, як встановив експериментальним шляхом Біо, площини поляризації пропорційні товщині пластинки:

 (12.9.1)

Коефіцієнт  називається постійною обертання площини поляризації. Вона залежить від довжини хвилі, природи речовини та температури.

Для кварцу при температурі 20С і жовтого світла натрію ( = 589,3 нм)  =  21,728 град/мм, для NaClO3  = + 3,170 град/мм, для деяких рідких кристалів  досягає значення 40000 град/мм.

Оптичну активність рідин прийнято характеризувати питомим обертанням :

 (12.9.2)

де  - густина рідини. В розчинах активної речовини в неактивному розчиннику  є густина активної речовин, тобто маса його в одиниці об’єму розчину, або концентрація ( = с). Тоді:

 (12.9.3)

Всі речовини, активні в аморфному стані (розплавлені, або у вигляді розчину), є активними і у вигляді кристалу (коефіцієнт  при цьому може бути різним). Навпаки, ряд речовин, неактивних в аморфному стані, обертають площину поляризації в кристалічному стані. Так, наприклад, кварц перестає обертати площу поляризації в аморфному стані (плавлений кварц). Звідси слідує, що здатність обертати площину поляризації визначається, як будовою самої молекули, так і розміщенням молекул в кристалічній гратці.

 Френель показав, що обертання площини поляризації може бути пояснено, якщо допустити, що промені, поляризовані по колу з правим та лівим напрямком обертання, поширюються в кристалі з різною швидкістю. Будь яке гармонічне коливання можна розкласти на два колових рухи точки, які проходять з тією ж частотою, але в протилежних напрямках (рис.12.9.1).

Рис. 12.9.1

Нехай напрямок ОО' є напрямком коливання вектора Е в падаючій на кристал плоскополяризований хвилі. Вектор амплітуди коливань Е розкладемо на два вектора Е' і Е², із яких перший обертається направо, а другий наліво. Якщо швидкості їх обертання однакові, то результуючий вектор Е буде коливатись вздовж напрямку ОО'. Коли швидкості їх обертання різні, то після того, як світло пройде товщину кристалу l, кругове коливання Е' відстане по фазі на кут:

 (12.9.4)

а коливання Е² на кут:

 , (12.9.5)

де l' і l² – довжини хвиль в кристалі, які відповідають двом видам коливань. Загальна різниця фаз, яка набігає на товщині кристалу l буде рівна:

 (12.9.6)

Нехай l таке, що вектор Е² займає своє початкове місце, тоді вектор Е' займає нове положення вектора Е'1 зсунутий на кут Dj3 (мал.12.9.1), і результуючий вектор Е1 буде зміщений на кут:

 (12.9.7)

Введемо коефіцієнт заломлення n' і n² для променів, поляризованих по колу направо і наліво, тоді:

 і (12.9.8)

де l0 – довжина світла в вакуумі. Тоді:

 (12.9.10)

Таким чином кут повороту площини поляризації Dj визначається різницею коефіцієнтів заломлення n' і n² променів право – ліво¬поляризованих по колу.

Френель експериментально перевірив гіпотезу, пропустивши світло через складну призму, яка склеєна із трьох кусків кварцу (рис. 12.9.2).

 

Рис. 12.9.2

Призми 1 і 3 виготовлені із правообертаючого, а призма 2 – із лівообертаючого кварцу. Всі три призми вирізані так, що оптичні вісі паралельні їх основам. При нормальному падінні на систему тіл плоскополяризованого променя АВ, цей промінь увійде в першу призму без заломлення. На границі між першою та другою призмою він роздвоїться (відносний показник заломлення у них різний), на границі між другою та третьою призмою промені ще більше розійдуться. В результаті із призми вийдуть два променя І і ІІ, при чому обидва будуть поляризовані по колу: один з правим, а другий з лівим напрямком обертання.

Таким чином, Френель експериментально довів, що при вступі в оптично активне середовище з променем світла проходить подвійне колове променезаломлення: промені, поляризовані по правому та лівому колу, поширюються в середині оптично активного середовища з різними фазовими швидкостями. Якщо падаюче світло було поляризовано лінійно, то при виході із такого середовища ці хвилі складаються знову в лінійно поляризовану хвилю, але вже з повернутою на кут Dj площиною поляризації.

Поляризовані по колу в протилежних напрямках хвилі можуть відрізнятися не тільки швидкостями поширення, але і коефіцієнтами поглинання. Тоді із кристала вони виходять з різними амплітудами і в результаті складання цих двох хвиль на виході утворюється еліптично поляризоване світло. Це явище називається коловим дехроїзмом і детально вивчене Коттоном на солях винної кислоти.

Явище обертання площини поляризації знаходе практичне застосування при вимірювані концентрації цукру в розчинах. Визначивши значення постійної b при даних умовах, можна за формулою (12.9.3) знайти концентрацію розчину. Такі вимірювання проводяться в цукровій промисловості за допомогою спеціальних приладів, які називаються поляриметрами або цукрометрами, схема найпростішого із них показана на мал. 12.9.3.

 

Рис. 12.9.3

Між двома ніколями розміщена кювета, яка закрита з обидвох кінців прозорими вікнами. При відсутності розчину ніколі встановлюються “на темноту”, тобто так, щоб їх головні перерізи були взаємно перпендикулярними. При заповнені кювети розчином поле просвітлюється. Для того, щоб знову поле зробити темним, аналізатор А необхідно повернути на деякий кут Dj. Вимірюючи цей кут та скориставшись формулою (12.9.3), знаходять концентрацію цукру.

Однак встановлення аналізатора “на темноту” складає практичні труднощі. Це зв’язано з тим, що людське око погано визначає абсолютне значення освітленості. Але наше око дуже точно може порівняти величини освітленості, тому аналізатор, виставляють “на напівтемноту” за допомогою, так званого, напівтіньового аналізатора.

 

Рис. 12.9.4

Напівтіньовий аналізатор виготовлений із призми Ніколя, яка розрізається по двох площинах, які симетричні до площини головного перерізу ОО' (рис. 12.9.4а), а потім знову склеюються. Кожна із половинок представляє собою самостійний аналізатор, при чому головні перерізи їх утворюють між собою кут b. Якщо площина поляризації PP' падаючого світла перпендикулярна до площини, по якій склеєні обидві половинки (рис. 12.9.4 б), то обидві половинки представляються однаково яскравими. При будь-якому другому положенні площини поляризації одна із половинок буде яскравішою за іншу (за виключенням положення СС', де обидві половинки однакові і максимально яскраві і тому не зручні для порівняння). Так як око людини здатно з величезною точністю встановлювати однаковість яскравості двох сусідніх полів, то цим методом можна з великою точністю фіксувати положення площини поляризації PP'.

Магнітне обертання площини поляризації

Ефект Фарадея.

Речовини, які в природному стані не обертають площини поляризації, тобто не є оптично активними, набувають такої властивості в зовнішньому магнітному полі.

Явище обертання площини поляризації в магнітному полі відкрито 1846 році М.Фарадеєм і названо ефектом Фарадея. Сам Фарадей вважав, що він відкрив дію магнітного поля на світло, хоча в дійсності магнітне поле впливає на речовину, розміщену в полі, що приводить до зміни характеру поширення світла в речовині.

Магнітне обертання площини поляризації проходить при поширенні світла в прозорій речовині вздовж лінії магнітного поля. Тому найбільш зручно спостерігати це явище, якщо просвердлити вузькі канали в магнітопроводі електромагніту (рис.12.9.5).

 

Рис. 12.9.5

В відсутності магнітного поля (для чого струм в електромагніті вимикається) при схрещених ніколях світло не проходить через всю систему. При ввімкнені струму в колі електромагніта між полюсами виникає магнітне поле, площина поляризації світла при проходженні тіла Т повертається, і світло проходить через аналізатор А.

Кут повороту Dj площини поляризації пропорційний довжині шляху l світла в речовині та напруженості магнітного поля:

 (12.9.11)

де k4 – коефіцієнт пропорційності.

Здатність обертати площину поляризації проявляють як тверді прозорі тіла, так і рідини та гази.

Якщо тіло проявляє природну оптичну активність, то при внесені їх в магнітне поле їх природна здатність обертати площину поляризації складається із здатністю обертати під впливом магнітного поля.

Різні тіла обертають площин поляризації в різних напрямках. Правообертаючими (або позитивними) називають речовини, які повертають площину поляризації вправо для спостерігача, який дивиться вздовж силових ліній магнітного поля. Для позитивних речовин коефіцієнт k4 вважається додатнім. Речовини, які повертають площину поляризації вліво для того ж спостерігача, називаються лівообертаючими (або негативними). Негативні речовини завжди вміщують в своєму складі паромагнітні атоми.

Напрямок обертання для даної речовини визначається лише напрямком магнітного поля ї не залежить від напрямку поширення світла. Цим магнітне обертання відрізняється від природного, для якого напрямок обертання залежить від того, чи спостерігається воно вздовж напрямку поширення світла чи проти. Для природних оптичноактивних середовищ, промінь світла, який пройшов через тіло двічі: один раз в одному напрямку, а другий в напрямку, йому протилежному, не повертає площини поляризації. Для магнітного обертання кут повороту зростає при проходженні світлом тіла вперед та назад Це дозволяє збільшити кут повороту при магнітному обертанні, примусивши світло багаторазово проходити всередині тіла.

Величина магнітного обертання залежить від довжини хвилі, так, що коефіцієнт k4 для даної довжини має різне значення для різних довжин хвиль (дисперсія магнітного обертання площини поляризації).

Кут повороту площини поляризації феромагнетиками в магнітному полі пропорційний намагніченості і не описується формулою (12.9.11).

Явище магнітного обертання площини поляризації пояснюється виникненням прецесії електронних орбіт під дією магнітного поля з ларморівською частотою wL. В результаті такої прецесії тіло набуває різного значення показників заломлення для променів, поляризованих по колу в різних напрямках, стає різною, що і веде до повороту площини поляризації.

Інерційність явища Фарадея також (як і явища Керра) є дуже малою і складає ~ 10-9с.

Тема 12.11 Фотоелектричний ефект. Види фотоефекту. Зовнішній фотоефект і його закони. Фотони. Рівняння Ейнштейна для зовнішнього фотоефекту. Багатофотонний фотоефект.

Явище фотоелектричного ефекту (або скорочено просто фотоефект) полягає в тому, що із поверхні твердих тіл під дією світла вириваються електрони.

Виривання електронів з поверхні тіл світлом часто називають зовнішнім фотоефектом, на відміну від внутрішнього фотоефекту, при якому вирвані електрони із атомів залишаються в середині тіла і змінюють його електропровідність та інші фізичні властивості.

Детально явище зовнішнього фотоефекту було вивчено російським фізиком Столєтовим, який і встановив основні закони фотоефекту. Дослідження зовнішнього фотоефекту проводилось на установці, яка схематично показала на рис. 12.11.1.

 У вакуумованому об`ємі С розміщувалось досліджувана пластинка К, яка могла освітлюватись монохроматичним світлом через віконце В. Пластинка К називається фотокатодом, в противагу їй пластинка А називається анодом. Між анодом і фотокатодом створюється різниця потенціалів, яке може змінюватись за допомогою потенціометра П.

Електричний струм, який виникав в колі вимірювався гальванометром G.

Якщо пластинка К не освітлюється то електричний струм в колі відсутній так як між анодом і фотокатодом немає вільних носіїв електричних зарядів і опір дільниці АК практично безмежний. Але якщо фотокатод освітити певним світлом яке вириває електрони із фотокатода, то гальванометр фіксує наявність електричного струму. Електричний струм з’являється навіть тоді коли різниця потенціалів дорівнює нулю. Це свідчить про те, що вирвані світлом електрони (надалі фотоелектрони) мають кінетичну енергію і деякі з них досягають анода, замикаючи тим самим коло. З другої сторони світло в нашому колі виступає як ЕРС яку прийнято називати фото електрорушійною силою (фото ЕРС). По аналогії із гальванічним елементами, пристрій в якому світло генерує електричні заряди називають фотоелементом.

Кінетичну енергію фотоелектронів можна визначити приклавши від’ємний потенціал до анода такої величини, щоб струм в колі став різним нулю, це означає що

 , (12.11.1)

Де – так званий затримуючий потенціал. Величина електричного струму при зміні затримуючого потенціалу від нуля до максимальної величини проходить плавно, це означає, що фотоелектрони мають різні кінетичні енергії (різні швидкості) і тоді коли струм дорівнює нулю затримуються самі високоенергетичні фотоелектрони.

Якщо до анода прикласти позитивний потенціал, то з його зростанням електричний струм (фотострум) також зростає, але при певному значенні потенціалу досягає насичення. Це означає що фотоелектронів є обмежене число і всі вони при цьому значенні потенціалу досягають анода за одиницю часу. Із значення струму насичення можна визначити N - число фотоелектронів

 , (12.11.2)

де е – заряд електрона.

 Таким чином вольт – амперна характеристика (рис. 12.11.2) дозволяє по величині струму насичення визначити число фотоелектронів, а по величині затримуючого потенціалу їх максимальну кінетичну енергію.

Ретельне дослідження фотоефекту дало можливість сформулювати основні закони фотоефекту. Їх, як правило, налічують три:

1. Величина фотоструму насичення (число фотоелектронів вирваних за одиницю часу) пропорційна інтенсивності світла.

2. Максимальна початкова швидкість (максимальна кінетична енергія фотоелектронів) пропорційна частоті світла і не залежить від його інтенсивності

 

Рис.12.11.2

3. Для кожної речовини існує така гранична частота (довжина хвилі) нижче якої фотоефект зникає. Така частота , або довжина хвилі отримали назву червоної границі фотоефекту.

Отже фотоефект існує при освітлені тіла світлом частотою . При освітленні тіла світлом або теж саме, що фотоефект не проявляється.

Спроби фізиків інтерпретувати встановлені основні закони фотоефекту на основі уявлення про світло, як електромагнітні хвилі зустріли принципові труднощі.

Існування самого явища фотоефекту хвильова оптика не заперечує. Оскільки світло є електромагнітною хвилею в якій взаємно перпендикулярних площинах змінюється за гармонічним законом напруженості електричного та напруженість магнітних полів, то з боку електричного поля на електрон в речовині діє періодична сила

 (12.11.3)

завдяки якій електрон і може бути вирваний із речовини назовні.

Однак кількісні характеристики фотоефекту електромагнітна теорія (хвильова теорія світла) пояснити не може.

Максимальна енергія, яка може бути передана електрону у вигляді кінетичної енергії Ек електромагнітним полем визначається співвідношенням

 (12.11.4)

тобто кінетична енергія електрона пропорційна квадрату амплітуди електромагнітної хвилі. Як відомо із теорії коливань, енергія хвилі пропорційна амплітуді в квадраті, а енергія світової хвилі визначає її інтенсивність.

Таким чином, кінетична енергія фотоелектронів згідно хвильової теорії повинна бути пропорційна інтенсивності світла, що не співпадає із експериментально встановленим другим законом фотоефекту. Точно так же зникнення фотоефекту слід було б чекати при зменшенні інтенсивності світла, але ніяк не частоти, що також протирічить третьому закону фотоефекта.

В 1905 році А.Ейнштейн пройшов до висновку, що при поширенні світла від точкового джерела, енергія світла не розподіляється неперервно по нeперервно збільшуючому просторі, але складається із конечного числа локалізованих в просторі порцій (квантів) енергії. Ці кванти рухаючись не діляться на частини, вони можуть поглинатись та випромінюватись як одне ціле і їх енергія дорівнює h .

Розглянемо з такої точки зору явище фотоефекту. Відомо, що для виходу за межі тіла електрон повинен виконати роботу виходу Авих.

 (12.11.6)

Ясно, що коли кінетична енергія фотоелектрона дорівнює нулю, то

 (12.11.7)

або

 (12.11.8)

Тоді рівняння 12.11.5 може мати вигляд

 (12.11.9)

або

 (12.11.10)

Таким чином, аналіз основних законів фотоефекту показує, що це явище проходить так, ніби світло представляє собою потік квантів (фотонів) з енергією .

Тема 13.11 Комбінаційне розсіювання світла.

У 1928 р. академіки Г. С. Ландсберг (1890 1957) і Л. І. Мандельштам і одночасно індійські фізики Ч. Раман (1888 1970) і К. Крішнан (1911) відкрили явище комбінаційного розсіювання світла. Якщо на речовину (газ, рідина, прозорий кристал) падає монохроматичне світло, то в спектрі розсіяного світла крім незміщеної спектральної лінії виявляються нові лінії, частоти яких являють собою суми або різниці частоти V падаючого світла і частот Vi власних коливань (або обертання) молекул розсіюючого середовища.

Лінії в спектрі комбінаційного розсіювання з частотами n-ni меншими частоти n падаючого світла, називаються стоксовими супутниками, лінії з частотами n+vi, n - антистоксовими супутниками. Аналіз спектрів комбінаційного розсіювання приводить до наступних висновків: 1) лінії супутників розташовуються симетрично по обидві сторони від незміщеної лінії; 2) частоти ni не залежать від частоти падаючого на речовину світла, а визначаються тільки розсіюючою речовиною, тобто характеризують його склад і структуру; 3) число супутників визначається розсіюючою речовиною; 4) інтенсивність антистоксових супутників менша інтенсивності стоксових і з підвищенням температури розсіюючої речовини збільшується, в той час як інтенсивність стоксових супутників практично від температури не залежить.

Пояснення закономірностей комбінаційного розсіювання світла дає квантова теорія. Згідно з цією теорією, розсіяння світла є процес, в якому один фотон поглинається і один фотон випускається молекулою. Якщо енергії фотонів однакові, то в розсіяному світлі спостерігається незміщена лінія. Однак можливі процеси розсіювання, при яких енергії поглиненого і випущеного фотонів різні. Відмінність енергії фотонів пов'язана з переходом молекули з нормального стану в збуджений (випущений фотон буде мати меншу частоту - виникає стоксів супутник) або із збудженого стану в нормальний (випущений фотон буде мати більшу частоту - виникає антистоксів супутник).

Розсіяння світла супроводиться переходами молекули між різними коливальними або обертальними рівнями, внаслідок чого і виникає ряд симетрично розташованих супутників. Число супутників, таким чином, визначається енергетичним спектром молекул, тобто залежить тільки від природи розсіюючої речовини. Оскільки число збуджених молекул набагато менше, ніж число незбуджених, то інтенсивність антистоксових супутників менше, ніж стоксових. З підвищенням температури число збуджених молекул росте, внаслідок чого зростає і інтенсивність антистоксових супутників.

Тема 12.12. Маса і імпульс фотона. Тиск світла. Досліди Лебедєва. Квантове та хвильове пояснення тиску світла.

Тиск світла було вперше виявлено Лебедєвим в 1901 р. Дуже ретельні вимірювання Лебедєва показали, що світло, яке падає на тіло, спричинює тиск, який залежить з однієї сторони, від інтенсивності світла, а з другої сторони від відбиваючої здатності поверхні цього тіла.

Якщо позначити через коефіцієнт відбивання, а через I – інтенсивність світла, то тиск Р виражається співвідношенням

 , (12.12.1)

де С – швидкість світла.

Тиск світла може бути пояснений як з точки зору хвильових уявлень про природу світла, так і з точки зору Квантових властивостей світла.

Розглянемо тиск світла із квантової природи світла. Оскільки кванти світла мають імпульс, то в момент зіткнення з будь-яким тілом фотони передають йому імпульс. Імпульс, переданий тілу за одиницю часу дорівнює діючій силі на тіло, а відношення сили до площі поверхні тіла є спричинений на тіло тиск. Отже, причиною світлового тиску, за квантовими уявленнями, є наявність у фотонів імпульсу.

Вирахуємо величину світлового тиску. Нехай на тіло з поверхнею S в одиницю часу надає квантів з енергією . Потік світлової енергії W дорівнює

 (12.12.2)

Якщо із всіх N квантів - відбивається то (1- ) N – поглинається цією поверхнею. Кожний фотон, який поглинувся, передає тілу імпульс , а кожний відбитий, оскільки при відбиванні імпульс кванта змінюється з на - , передає тілу імпульс .

Всі кванти, які подають на поверхню тіла, надають йому за одиницю часу імпульс, рівний

 (12.12.3)

який спричиняє тиск на поверхню S

 (12.12.4)

де I – інтенсивність світла, тобто енергія в одиницю об’єму світлового потоку.

Фотони. Маса і імпульс фотонів.

В попередніх параграфах вже говорилося про енергію та імпульс кванта світла фотона. Зупинимося на цьому питанні більш детально. Фотону як частинці притаманні всі властивості частинок.

Формула для маси фотона може бути отримана із рівності

 (12.12.5)

звідки

 (12.12.6)

маса фотона суттєво відмінна від маси інших частинок. Фотон не має маси спокою . Дійсно якщо допустити що то згідно релятивістської залежності маси від швидкості маємо

 (12.12.7)

В виразі 12.12.7 є абсурд. Тому щоб цей вираз мав фізичний зміст необхідно покласти . В свою чергу це означає, що фотони завжди в будь якому середовищі рухаються із швидкістю . Цей висновок не протирічить тому, що фазова і групова швидкість світла в речовині відмінні від С. Поширення світла в середовищі супроводжується процесами поглинання та наступного випромінювання фотона, але між актами взаємодії фотона із речовиною його швидкості дорівнює С.

Імпульс фотона і його енергія зв’язані згідно теорії відносності виразом

 (так як ) (12.12.8)

звідки

 (12.12.9)

Якщо ввести хвильове число , то вираз 12.12.9 можна переписати в такій формі

 (12.12.10)

де

Таким чином, фотон як і будь – яка інша частинка, має енергію, масу та імпульс. Всі ці характеристики, на відміну від таких характеристик в макроскопічних тілах, зв’язані з його хвильового характеристикою – частотою і довжиною хвилі .

Світло представляє собою складну форму матерії, таку в якій поєднуються протилежні форми руху матерії – корпускулярний та хвильовий рух.

Таке дивне поєднання властивостей хвильового та корпусного рухів виявляється притаманним не тільки такій формі матерії, як світло. Як ми побачимо дальше така єдність хвильового і корпускулярного рухів притаманна і другим формам матерії електронам, протонам і другим так званим елементарним часткам.

Очевидно, таке поєднання хвильового і корпускулярного рухів має самий загальний характер і властивий всім формам матерії.

Тема 12.13. Ефект Комптона і його теорія

Найбільш виразно квантові властивості світла проявилися в так званому ефекті Комнтона виявленому в 1923 році американським фізиком А.Комптоном.

Спостерігаючи розсіювання рентгенівських хвиль різними середовищами Комптон виявив, що розсіяння випромінювання має дещо іншу довжину хвилі ніж падаюче рентгенівське випромінювання з довжиною хвилі . Розсіяння рентгенівське випромінювання має більшу довжину хвилі ніж і тим більшу чим більший кут розсіювання (рис. 12.13.1).

 

Різниця між довжинами хвиль падаючого випромінювання та довжинами хвиль розсіяного випромінювання визначається співвідношенням

 (12.13.1)

де - так звана постійна Комптона, або комнтонівська довжина, яка пізніше стала однією із фундаментних постійних.

Рентгенівське випромінювання, як ми побачимо пізніше, також є електромагнітним випромінюванням, але дуже короткої довжини хвилі, яка в декілька тисяч раз менша ніж довжина хвилі видимого випромінювання.

З класичної (хвильової) теорії електромагнітного випромінювання виникнення в розсіяному пучку інших довжин хвиль неможливе. Згідно цієї теорії падаюче електромагнітне випромінювання довжиною хвилі (частотою ) приводить до вимушеного коливання електрона з тією ж частотою і він стає джерелом розсіяної хвилі з тієї довжиною хвилі . Іншого механізму розсіювання хвильова теорія немає.

Явище Комнтона можна зрозуміти лише на основі квантових уявлень що природу світла, тобто, що світло представляє собою потік фотонів (частинок) які мають енергію та імпульс як і будь яка інша частина.

 Якщо розглядати взаємодію фотона з електроном як замкнуту систему, то для цієї взаємодії виконується закон збереження енергії та закон збереження імпульсу. (Рис. 12.13.2)

 

(12.13.2)

Нехай для простоти для зіткнення електрон знаходився в стані спокою.(що близько до істини бо швидкість руху електрона до зіткнення складає декілька процентів від швидкості після зіткнення). Швидкість електрона після зіткнення сягає швидкості світла, тому будемо використовувати релятивістська співвідношення для енергії та імпульсу.

В такому наближенні рівняння (12.13.2) будуть мати вигляд

 (12.13.3)

Або в скалярному вигляді (із врахуванням того, що Е= , ) будемо мати

 (12.13.4)

Друге рівняння в 12.13.3 переведене в скалярну форму використовуючи теорему косинусів.

Або через довжину хвиль фотонів (врахуємо, що ).

 (12.13.5)

Піднімемо праву і ліву частину першого рівняння до квадрата, а друге рівняння доможемо з ліва та справа на , маємо

 (12.13.6)

віднімемо друге рівняння від першого і врахуємо, що

 (12.13.7)

отримаєм

 (12.13.8)

звідки

 (12.13.9)

 (12.13.10)

і остаточно

 (12.13.11)

Теоретично отримане значення зміни довжини хвилі при розсіюванні в 12.13.1 співпадає із експериментальним значенням отриманим Комптоном. Причому

 

Отже пояснення явища Комптона остаточно підтвердило те, що світло є потоком частинок з певним імпульсом та енергією .

Зміна довжини хвилі при розсіюванні була виявлена і в видимій області спектру, але величина зміни довжини хвилі в цій області в тисячі раз менша ніж в рентгенівській області і тому не була замічена раніше.

Тема 12.14. Діалектична єдність корпускулярних і хвильових властивостей електромагнітного випромінювання

Багато явищ в оптиці можуть бути пояснені лише з точки зору електромагнітної природи світла. Це такі явища як інтерференція, дифракція, поляризація світла та ін. Однак багато і явищ, які можуть знайти своє пояснення лише із корпускулярної природи світла (ефект Комптона, фотоефект та ін.). В зв’язку із цим виникає питання: що ж таке світло? Як писав У. Брегг “Невже ми повинні вважати, що світло складається із корпускул в понеділок, вівторок і середу, коли ми проводимо досліди з фотоефектом і ефектом Комптона, і уявити собі як хвилі в четвер, п’ятницю і суботу, коли ми працюємо з явищами дифракції і інтерференції?”.

Це питання, поставлене в такій формі Бреггом, можна сформулювати і таким чином: що таке світло – неперервні електомагнітні хвилі, які випромінює джерело, чи потік дискретних фотонів, які хаотично випромінюються джерелом?

Необхідність приписувати світлу, з однієї сорони, квантові властивості, а з другої сторони, хвильові – може складати враження про недосконалість наших знань про природу світла. Адже хвильові властивості як би включають корпускулярні, і навпаки. Однак зусилля фізиків привело до створення нової науки, квантової механіки, в якій ці властивості “мирно” вживаються. Властивості неперервності характерні для електромагнітного поля світлової хвилі, не виключають властивості дискретності, характерних для світлових фотонів. Світлу (та й як вияснилось пізніше не тільки світлу) притаманні одночасно властивості неперервних електромагнітних хвиль та властивості дискретних фотонів. Тут яскраво проявляється діалектична єдність цих протилежних властивостей і в них є цілком визначена закономірність.

Зі зменшенням довжини хвилі (зі збільшенням частоти) все більш виразно проявляються квантові властивості світла. З цим пов’язано, наприклад, існування червоної границі фотоефекту. Разом з тим хвильові властивості короткохвильового випромінювання (наприклад, рентгенівського) проявляються дуже слабо. В цьому нас переконує явище дифракції рентгенівських хвиль. Лише після того, як в якості дифракційної гратки була використана кристалічна структура твердих тіл, вдалося виявити хвильові його властивості (була виявлена дифракція рентгенівських хвиль). Ще у більшій степені це справедливо для g-випромінювання.

Навпаки, у довгохвильовій області квантові властивості проявляються слабо, тут основну роль відіграють хвильові властивості. Таким чином, якщо рухатись вздовж шкали електромагнітних хвиль від довгохвильової області в короткохвильову область, то хвильові властивості електромагнітного випромінювання будуть поступово поступатися міяцем квантовим властивостям.

Взаємозв’язок між дуалістичними корпускулярно-хвильовими властивостями світла добре проглядається при статистичному підході до пояснення поширення світла. Справді, всі квантово-оптичні явища стверджують, що світло – це потік дискретних частинок-фотонів, в яких локалізовані енергія, імпульс і маса. Взаємодія фотонів з речовиною при проходженні світла через будь-яку оптичну систему (наприклад дифракційну гратку) приводить до перерозподілу їх в просторі і виникненню дифракційної картини на екрані. Очевидно, що освітленість Е екрану в різних точках прямо пропорційна сумарній енергії фотонів, які попадають в цю точку за одиницю часу. Для монохроматичного світла

 , (12.14.1)

де n0 – число фотонів, які попадають на одиничну площадку ds екрана за одиницю часу. Величини n0 і E пропорційні ймовірності попадання фотонів в дану точку екрана. З другого боку, розв’язок цієї дифракційної задачі на основі хвильових уявлень показує, що освітленість Е пропоційна інтенсивності світла І в даній точці. Так як інтенсивність світла пропрційна амплітуді світлової хвилі (І ~ А2), то і Е ~ А2.

Співставляючи два вирази для освітленості Е, отриманих вище, можна зробити наступний висновок: квадрат амплітуди світлової хвилі в будь-якій точці простору є мірою імовірності попадання фотонів світла в цю точку.

Таким чином, корпускулярні та хвильові властивості світла не протистоять, а навпаки взаємно доповнюють одне одного. Вони виражають дві різні закономірності поширення електромагнітного випромінювання і його взаємодії із речовиною. Корпускулярні властивості обумовлені тим, що енергія, імпульс і маса випромінювання локалізовані в дискретних фотонах, хвильові – статистичними закономірностями розподілу фотонів в просторі, тобто закономірностями імовірності знаходження фотонів в різних точках простору.

Із дослідів по дифракції світла відомо, що при зміні інтенсивності світлового потоку, який падає на оптичну систему, характер дифракційної картини, яка виникає від взаємодії світла з оптичною системою, не змінюється. Тобто співвідношення між інтенсивностями різних точок екрану не залежить від інтенсивності вхідного світлового потоку. Це дозволяє стверджувати, що хвильові властивості притаманні не тільки сукупності великого числа фотонів, а також кожному окремому фотону. Хвильові властивості фотонів проявляються в тому, що для фотона не можна вказати точно, в яку саме точку екрану він попаде після проходження через оптичну систему. Можна говорити лише про імовірність попадання кожного фотона в різні точки екрану.