Тема 9. 1. Взаємодія зарядів. Закон Кулона

Електричний заряд ( ) - це фізична величина, яка характеризує влас¬тивість заряджених тіл, котра проявляється в їхній взаємодії один з одним, причому однойменно заряджені тіла відштовхуються, а різнойменно заря¬<джені тіла притягуються.

Заряд будь-якого тіла утворюється сукупністю елементарних зарядів <і може бути представлений як ціле кратне елементарного заряду:

 

де - ціле число; - елементарний заряд, який дорівнює заряду електрона (Кулон)

Електричні заряди взаємодіють між собою з силою, яка визначається <законом Кулона

 , (9.1)

де - діелектрична проникливість середовища, яка показує, у скільки разів сила взаємодії зарядів в середовищі менша, ніж у вакуумі; - коефіцієнт, який залежить від вибору системи одиниць; - віддаль між зарядами.

В системі СІ коефіцієнт приймає значення:

 

де ; - електрична постійна.

У векторній формі закон Кулона записується у формі:

 (9.2)

В такому записі закону Кулона, заряд створює електричне поле, яке діє на заряд з силою , - вектор, проведений від заряду до заряду .

Якщо заряди і однойменні, тоді і , якщо за¬ряди різнойменні, тоді і

 

 - сила дії електричного поля, створюваного зарядом, на заряд .

 

У відповідності з третім законом Ньютона

 

 (9.3)

де

Закон Кулона справедливий для двох випадків:

а) для точкових зарядів;

      

б) для сферичних зарядів при цьому - віддаль між центрами сфер.

Якщо заряджені тіла не точкові і не сферичні, тоді кожне тіло розби¬вають на маленькі одинакові частинки, які можна вважати точковими заряда¬ми і визначають сили взаємодії між усіма парами таких точок, а потім ці сили складають. У випадку, якщо електричне поле створюється зарядами, ре¬зультуюча сила Кулона , яка діє на внесений електричний заряд , визна¬чається як геометрична сума сил, діючих на нього зі сторони кожного заряду, який створює електричне поле.

Тема 9. 2. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції

Взаємодія між зарядами здійснюється через електричне поле. Вихо¬дячи з величини сили, яка діє на даний заряд, можна, очевидно, оцінити "ін¬тенсивність" поля. Вивчають електричне поле з допомогою додатного точко¬вого заряду , який називається пробним зарядом. Якщо вносити в дану точ¬ку поля різні пробні заряди, то на них будуть діяти різні сили, але відношення сили до величини пробного заряду запишається величиною постійною для даної точки поля і прийнято цю силову характеристику поля в даній точці, називати напруженістю:

 (9.4)

Напрям вектора співпадає з напрямом сили, яка діє на додатній заряд. В системі СІ :

 

З (9.4) виходить, що при , , тобто напруженість чисельно дорівнює силі, яка діє на одиничний додатній точковий пробний заряд, поміщений в дану точку поля.

Напруженість поля точкового заряду можна знайти, якщо підставити значення сили Кулона, що діє на пробний заряд зі сторони заряду :

 (9.5)

в формулу (9.4) підставляємо значення

 (9.6)

Напрям вектора співпадає з радіальною прямою, яка проходить через заряд і дану точку поля, і він виходить від заряду, якщо останній додатній та напра¬влений в заряд, якщо він від'ємний.

Для електричного поля справедливий принцип суперпозиції (прин¬цип накладання полів), відповідно до якого вектор напруженості поля, дорів¬нює геометричній сумі напруженостей полів, які створюються в даній точці кожним зарядом зокрема, тобто:

 (9.7)

Наприклад, для системи двох точкових зарядів і сумарна напруженість в точці А дорівнює:

 (9.8)

 

Електричне поле графічно описується силовими лініями, які прово¬дять так, що дотичні до ліній в кожній точці співпадають з векторами на¬пруженості поля в цій точці, причому у відповідності з (9.6) силові лінії на¬прямлені від додатного заряду до від'ємного. Густина силових ліній харак¬теризує величину напруженості поля, через те, що число силових ліній, які проходять через одиничну площину, розміщену перпендикулярно до ліній, дорівнює по абсолютній величині значенню .

Поле, яке створюється нерухомими електричними зарядами, називає¬ться електричним. Якщо напруженість у всіх точках поля однакова за вели¬чиною і напрямком, таке поле називається однорідним (рис. 9.1).

 

 Рис. 9.1

Прикладом однорідного поля може бути поле між обкладками плос¬кого конденсатора в області, достатньо віддаленій від його країв.

Тема 9. 3. Потік вектора напруженості. Теорема Гауса

Електричне поле можна задати, вказавши для кожної точки величину і напрям вектора .

Оскільки густина ліній вибирається, як рівна числовому значенню , кількість ліній, які пронизують площу перпендикулярну до вектора , буде чисельно дорівнювати (рис. 9.2)

 

Рис. 9.2

Якщо площа орієнтована так, що нормаль до неї утворює з вектором кут , тоді кількість ліній, які пронизують цю площу, буде чисельно рівна:

 (9.9)

де - складова вектора по напряму нормалі до цієї площі. Звідки, для кількості ліній , які пронизують довільну поверхню, одержуємо наступний вираз:

 , (9.10)

де N - носить назву потоку вектора через поверхню . Потік є алгебраїч¬ною величиною, причому знак його залежить від вибору напрямку нормалі до елементарних площин, на які розбивається поверхня при знаходженні .

Обчислимо потік вектора напруженості через сферичну поверхню , яка охоплює точковий заряд (рис. 9.3).

 

 Рис. 9.3

Густина ліній за умовою чисельно дорівнює

 . (9.11)

 - площа поверхні сфери, тоді

 (9.12)

Тобто число ліній, які перетинають сферичну поверхню, що охоплює заряд, на будь-якій віддалі від заряду, буде постійним.

Легко довести, що яка б не була форма замкнутої поверхні охоплюючої точковий заряд , потік вектора через дану поверхню дорівнює .

Нехай всередині деякої замкнутої поверхні знаходиться декілька точкових зарядів довільних знаків і і т.д. Потік вектора за означенням дорівнює:

 . (9.13)

(кільце вказує на те, що інтегрування проводиться на замкнутій поверхні).

Виходячи з принципу суперпозиції полів

 . (9.14)

Підставимо ( 9.14) у вираз для потоку, одержимо:

 

де - нормальна складова напруженості поля, яка створюється -м зарядом зокрема. Але, як було показано вище,

 

Звідки,

 . (9.15)

Доведене нами твердження носить назву теореми Остроградського-Гауса: потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверх¬ню дорівнює алгебраїчній сумі охоплюваних цією поверхнею зарядів, ділених на . Зокрема, якщо всередині поверхні заряди відсутні, потік дорівнює нулю. В цьому випадку кожна лінія напруженості поля (яка створюється за-рядами, розміщеними поза поверхнею) перетинає поверхню парне число раз, виходячи назовні стільки ж раз, скільки і входить в середину (рис. 9.4).

 

Рис. 9.4

В під¬сумку, вклад, який вноситься в потік кожною з ліній буде рівний нулю. Теорема Гауса дозволяє вичислити напруженість електричних полів, які створю¬ються довільними зарядженими тілами, наступним методом:

а) проводять геометрично правильну замкнуту поверхню через точку, в якій необхідно знайти напруженість поля ;

б) застосовуючи теорему Гауса (9.15), одержують рівняння для зна¬ходження .

Розглянемо застосування цього методу для деяких заряджених тіл.<

Тема 9. 4. Застосування теореми Гауса

9.4.1. Поле безмежної однорідно зарядженої площини

Розглянемо поле, яке створене безмежною площиною, зарядженою з постійною поверхневою густиною ; для визначеності будемо вважати заряд дода¬тнім (рис. 9.5). З міркувань симетрії випливає, що напруженість в будь-якій точці поля має напрям, перпендикулярний площині.

 

Рис. 9.5

Охопимо на площині заряд, який дорівнює , циліндричною поверхнею так, щоб точка А, в якій ми визначаємо напруженість, була на цій поверхні.

Застосуємо теорему Гауса:

 (9.16)

Так як у випадку безмежної площини поле однорідне і перпендику¬лярне площині . Лінії напруженості перетинають тільки 2 основи циліндричної поверхні, тому

 . (9.17)

Враховуючи формулу (9.17), одержимо:

 (9.18)

Тоді напруженість електричного поля створеного безмежною зарядженою площиною, дорівнює:

 . (9.19)

9.4.2. Поле двох різнойменно заряджених площин

Поле двох паралельних безмежних площин, заряджених різнойменно з однаковою по величині постійною поверхневою густиною , можна знайти як суперпозицію полів, створюваних кожною з площин окремо.

Легко побачити (рис. 9.6), що в області, між площинами складувані поля мають однаковий напрям, так що результуюча напруженість дорівнює:

 (9.20)

Поза об'ємом, обмеженого площинами, складувані поля мають протилежні напрями, так що результуюча напруженість дорівнює нулю.

 

Рис. 9.6

9.4.3. Поле безмежного зарядженого циліндра

Розглянемо поле, яке створене безмежною циліндричною поверхнею радіусом , зарядженою з постійною поверхневою густиною . З міркувань симетрії випливає, що напруженість поля в будь-якій точці повинна бути на¬правлена вздовж радіальної прямої, перпендикулярної до осі циліндра, а ве¬личина напруженості може залежати лише від віддалі до осі циліндра. Охо¬пимо заряджену поверхню з зарядом , де - лінійна густина заряду, коаксіальної циліндричної замкнутої поверхні радіусом і висотою (рис. 9.7).

 

Рис. 9.7

Для основи цього циліндра , для бокової поверхні (заряд вважа¬ємо додатнім). Відповідно, потік вектора через цю замкнуту поверхню буде рівний

 

Якщо , всередину поверхні входить за¬ряд ; де - лінійна густина заряду. Застосовуючи теорему Гауса, одержимо:

 (9.21)

Звідки:

 (9.22)

Якщо , то розглядувана замкнута поверхня не має всередині зарядів, вна¬слідок чого .

Враховуючи, що , для напруженості в безпосередній віддалі від поверхні ( ) у відповідності з (9.22) одержимо:

 (9.23)

Тема 9. 5. Робота сил електричного поля. Потенціал

В електричному полі робота по переміщенню заряду не залежить від вигляду траєкторії і визначається тільки початковим і кінцевим положенням заряду. Розглянемо роботу по переміщенню заряду в полі точкового заряду з точки 1 в точку 2, під дією сили Кулона по довільній траєкторії (рис. 9.8).

 

Рис. 9.8

З рис. 9.8 видно, що , де - сила Кулона

 , тоді (9.24)

Враховуючи, що робота сил поля завжди дорівнює зменшенню по¬тенціальної енергії

 (9.25)

і порівнюючи (9.24) і (9.25), одержимо вираз для потенціальної енергії заряду в полі заряду з точністю до довільної постійної:

 (9.26)

Загальноприйнято вибирати початок відліку потенціальної енергії за¬ряду на безмежності, тоді в (9.26) при , ; одержимо і підсумково

 . (9.27)

Енергетичною характеристикою електростатичного поля в даній точ¬ці є потенціал .

Потенціалам даної точки поля називається фізична величина, яка дорівнює відношенню потенціальної енергії, яку має заряд в даній точці поля, до величини цього заряду.

 (9.28)

Підставляючи (9.27) і (9.28), одержимо вираз для потенціалу поля то¬чкового заряду на віддалі від нього:

 (9.29)

Знак потенціалу залежить від знаку заряду, який створює поле. Згідно принципу суперпозиції, потенціал поля, створюваного системою зарядів, до¬рівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів, створюваних в даній точці кож¬ним зарядом окремо.

 (9.30)

Враховуючи, що згідно (9.28) , одержимо з (9.25) вираз для ро¬боти по переміщенню заряду з точки з потенціалом в точку з потенціа¬лом під дією сили поля:

 (9.31)

З (9.31) випливає, що в електричному полі робота по переміщенню заряду по замкнутій траєкторії дорівнює нулю. Цю роботу можна представи¬ти у вигляді:

 (9.32)

Звідси:

 (9.33)

Величина називається циркуляцією вектора напруженості елект¬ричного поля.

Тема 9. 6. Зв'язок потенціалу з напруженістю електричного поля

Встановимо зв'язок між і . Для цього розглянемо роботу по переміщенню заряду вздовж деякої осі ОХ, розміщеної під кутом до (рис. 9.9).

 

Рис. 9.9

З однієї сторони

 , (9.34)

де .

З другої сторони, згідно (9.31)

 . (9.35)

Прирівнюючи (9.34) і (9.35) одержимо:

 , звідки . (9.36)

Аналогічно можна довести, що

 ; (9.37)

Але , тоді

 

 (9.38)

Зв'язок між напруженістю і потенціалом.

В частинному випадку однорідного поля (рис. 9.10), коли вісь X вибрана вздовж , з (9.36) випливає:

 (9.39)

Так як ;

 ; .

Рис. 9.10

Тема 9. 7. Полярні і неполярні діелектрики. Поляризація діелектриків

В ідеальних діелектриках не має вільних зарядів, спроміжних під ді¬єю зовнішнього електричного поля переміщатись по всьому об'єму. Всі елек¬тричні заряди діелектрика зв'язані з атомами і молекулами речовин. Під дією поля ці заряди, які одержали назву зв'язаних зарядів, можуть зміщуватись тільки в границях мікроскопічних об'ємів. Процес зміщення зв'язаних зарядів під дією зовнішнього електричного поля називається поляризацією діелект¬рика.

Для віддалей, більших, в порівнянні з розмірами молекули, дія елект¬ронів еквівалента дії їх сумарного заряду, який поміщений в деяку точку всередині молекули. Ця точка називається центром ваги від'ємних зарядів. Аналогічно дія ядер еквівалентна дії їх сумарного заряду, який поміщений в центр ваги додатних зарядів.

Тоді положення центрів ваги додатних і від'ємних зарядів визначить¬ся формулами:

 ; (9.40)

 , (9.41)

де і - радіуси векторів усереднених по часі положень відповідно -го додатного і від'ємного зарядів, - сумарний позитивний заряд молекули і відповідно електронів.

При відсутності зовнішнього поля центри вага позитивних і від'ємних зарядів можуть або співпадати, або бути зміщені один відносно одного. В останньому випадку молекула аналогічна електричному диполю і називається полярною. Полярна молекула має власний електричний момент, який має вигляд:

 ,

де - алгебраїчна величина; підсумок проводиться по всіх позитивних і від'ємних зарядах молекули.

Молекула, в якій центри тяжіння зарядів різних знаків суміщені і не має електричного моменту, називається неполярною молекулою.

Під дією зовнішнього електричного поля заряди в неполярній мо¬лекулі, зміщуються один відносно одного: позитивні в напрямку поля, від'ємні проти поля. В результаті молекула одержує електричний момент, який можна записати:

 (9.42)

де - величина, яка називається поляризованістю, - електрична постійна.

При відсутності зовнішнього електричного поля дипольні моменти молекул або рівні нулю (неполярні молекули), або розподілені по напрямках в просторі хаотичним чином (полярні молекули). В обох випадках результую¬чий електричний момент дорівнює нулю.

Для характеристики степені поляризації беруть електричний момент одиниці об'єму, який називається вектором поляризації:

 (9.43)

де - сума моментів всього об'єму молекул.

В діелектриках будь-якого типу вектор поляризації зв'язаний з на¬пруженістю поля в цій точці співвідношенням:

 (9.44)

де залежна від Е величина, яка називається сприйнятливістю.

Для неполярних діелектриків , де - число молекул в одиниці об'єму.

У випадку діелектриків, які побудовані на полярних молекулах ( , органічні кислоти і т.п.), орієнтуючій дії поля противиться тепловий рух молекул, який намагається розкидати їх дипольні моменти по всіх напрямках. При постійній напруженості поля вектор поляризації поляр¬них діелектриків зменшується з підвищенням температури, тобто діелектрич-на сприйнятливість обернено пропорційна абсолютній температурі. При на¬кладанні зовнішнього поля на кожний диполь діє пара сил, яка орієнтує його в напрямку поля. Така поляризація називається орієнтаційною.

В електричному полі в неполярних діелектриках (N2, Н2, СО2, вугле¬водні і інші) центри додатних і від'ємних зарядів зсуваються відносно поля. Такий тип поляризації називається електронною поляризацією або поляриза¬цією зміщення. Діелектрична сприйнятливість неполярних діелектриків не залежить від температури.

Інший характер носить поляризація іонних кристалів. Ці кристали представляють собою просторові ґратки з правильним чергуванням іонів різ¬них знаків (NaС1, КС1). Якщо такий кристал помістити в електричне поле, то іонні ґратки зсунуться в різні сторони, внаслідок чого на протилежних гранях кристалу будуть переважати іони одного знаку: кристал буде поляризований. Такий тип поляризації називається іонною поляризацією.

Електричне поле в діелектриках створюється в результаті накладання двох полів: поля , створюваного вільними зарядами і поля зв'язаних зарядів. Згідно принципу суперпозиції полів:

 (9.45)

Для опису поля в діелектрику користуються електричним зміщенням (електричною індукцією), яка визначається таким співвідношенням:

 (9.46)

Використовуючи вираз (9.44) для , одержимо

 , (9.47)

тобто

 (9.48)

де - безрозмірна величина, яка називається відносною діелектричною про¬никливістю:

 (9.49)

Лінії діелектричного зміщення не закінчуються і не починаються на границі розподілу двох діелектриків, а проходять через неї, не терплячи розриву. При переході в діелектрик з меншою лінії зміщення розміщуються рідше, при переході з більшою густішають. Теорема Гауса для вектора Д формулюється наступним чином: потік вектора електричного зміщення через замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі охоплюваних цією поверхнею вільних зарядів.

 (9.50)

Тема 9. 8. Сегнетоелектрики

В природі є речовини з великим значенням діелектричної проникли¬вості. Спочатку таку властивість було виявлено в кристалах сегнетової солі ( ) і тому всі діелектрики такого виду одержали назву сегнетоелектриків.

Діелектрична проникливість сегнетоелектриків виявилась залежною від напруженості поля. Сегнетоелектрики мають залишкову електричну поля¬ризацію після усунення зовнішнього електричного поля.

Залежність Д від не є лінійною, а значення вектора поляризації р (а значить і Д) відрізняють від напруженості поля , в результаті чого і Д визначаються не тільки величиною в даний момент, але й попередніми значеннями , тобто залежать від передісторії діелектрика. Це явище називає-ться гістерезисом ( від грецького "гістерезис" – запізнювання). При циклічних змінах поля залежність від слідує за кривою (рис. 9.11), яка називається пе¬тлею гістерезису. При початковому включенні поля поляризація росте зі збільшенням у відповідності з віткою 1 . Зменшення проходить по вітці 2. При переході в нуль речовина зберігає значення поляризації , яка назива-ється остаточною поляризацією. Тільки під дією протилежно направленого поля напруженість поляризація стає рівною нулеві. Це значення напруже¬ності поля називається коерцитивною силою. При подальшій зміні одержу¬ємо вітку 3 петлі гістерезису.

Сегнетоелектричні властивості сильно залежать від температури. При температурах, які перевищують певне значення (різне для різних речо¬вин) сегнетоелектричні властивості зникають і сегнетоелектрик перетворює¬ться в звичайний діелектрик. Ця температура називається точкою Кюрі. В деяких випадках, наприклад, для сегнетової солі, існують дві точки Кюрі (+22,5 і -15°С); поза цим інтервалом температур діелектричні властивості солі подібні до властивостей звичайних діелектриків. На сьогодні відомо ба¬гато сегнетоелектриків і один із них титанат барію ( ) точка Кюрі якого дорівнює 80°С, а діелектрична проникливість досягає 6000 од. і зберігається в широкому інтервалі температур.

 

Рис. 9.11

Сегнетоелектриками можуть бути тільки кристалічні речовини і їх властивості пояснюються тим, що внаслідок сильної взаємодії частинок, об'єм кристалу сегнетоелектрика ділиться на окремі області - домени, які є областями спонтанної (самодовільної) поляризації. В звичайному стані сегне¬тоелектрик представляє собою мозаїку доменів, причому в границях кожного домена є свій напрямок спонтанної поляризації, так що в цілому електричний момент кристалу дорівнює нулеві. Під дією зовнішнього електричного поля в доменах відбувається зміна напрямку поляризації, внаслідок чого сегнетоеле-ктрик набуває електричного моменту в напрямку силових ліній. Сумарне вну¬трішнє поле доменів, яке виникає всередині діелектрика буде підтримувати їх деяку орієнтацію і після припинення дії зовнішнього поля.

Тема 9. 9. Прямий і обернений п'єзоелектричний ефекти

Просторово правильним розподілом частинок в кристалічній решітці речовин пояснюється особливе явище, яке називається п'єзоелектричним ефектом. Цей ефект заключається в тому, що на гранях деяких кристалів ви¬никають електричні заряди при їх механічних деформаціях (стиск, розтяг). П'єзоелектричний ефект проявляється в кварці, турмаліні, сегнетовій солі, титанаті барію та в інших кристалах.

Величина поляризації пропорційна деформації. При зміні знаку де¬формації знак поляризації змінюється на зворотній. Такий ефект називається прямим п’єзоелектричним ефектом.

Кристали кварцу належать до гексональної кристалічної системи. Якщо вирізати з кристалу пластинку перпендикулярну до кристалічної осі с (рис. 9.12) і піддати її стиску відносно цієї осі, то на гранях пластинки з'являться зв'язані заряди (на рис. 9.12 кристалічна вісь с направлена на нас).

 

Рис. 9.12

Те ж саме буде, якщо пластинку піддати розтягу відносно осі ОО перпендикулярної до кристалографічного напрямку с. В останньому випадку ефект називається поперечним, а в першому - повздовжнім. При зміні знаку деформації (розтяг - стиск) на гранях пластинки з'являються зв'язані заряди другого знаку.

Крім описаного прямого п'єзоелектричного ефекту існує обернений п'єзоелектричний ефект, який полягає в зміні розмірів кристалу під дією електричного поля, тобто до його видовження або скорочення при електриза¬ції. Якщо на металічні обкладки пластинки (рис 9.12) подати змінну електри¬чну напругу, то пластинка буде позмінно розтягуватися і скорочуватися вздовж осі ОО, тобто в ній виникнуть механічні коливання. Ці коливання бу¬дуть особливо інтенсивними, коли частота змінної напруги співпаде з влас¬ною (резонансною) частотою пластинки. Такі налаштовані на резонанс п'єзоелектричні пластинки використовуються для збудження ультразвукових хвиль, для стабілізації частоти генераторів електричних коливань в радіотех¬ніці.

Потрібно відрізняти обернений п'єзоелектричний ефект від дефор¬мації розтягу, яку зазнає будь-який діелектрик, внесений в електричне поле. На одиницю поверхні діелектрика в електричному полі діє розтягуюча сила , яка пропорційна квадрату напруженості поля. Це явище розтягу діелектрика називається електрострикцією. На відміну від оберненого п'єзоелектричного ефекту, при якому спостерігається як розтяг, так і стиск діелектрика, в залеж¬ності від знаку поля, електрострикція завжди позитивна, тобто спостерігаєть¬ся розтяг.

Тема 9. 10. Електрети

Серед твердих діелектриків виділяється група, яка називається електретами. Електрети тривалий час зберігають наелектризований стан і у від¬сутності зовнішнього поля. За своїми властивостями подібні до постійних магнітів. Такі властивості мають ряд органічних речовин (бджолиний віск, парафін, нафталін, ебоніт, нейрон та інші) і неорганічних (сірка, титанати, лужноземе¬льні метали, борне скло та інші).

Стабільний електрет можна одержати, якщо нагріти діелектрик до температури близької чи рівної температурі плавлення і накласти на нього сильне електричне поле. Під дією поля пройде впорядкування молекулярних диполів, які частково збережуться після охолодження і зняття зовнішнього електричного поля. Так формуються електрети. Фотоелектрети одержують при освітлені деяких діелектриків в сильному електричному полі (селен, оки¬сел цинку).

Поверхневий заряд електрету є алгебраїчна сума поляризаційного за¬ряду, обумовленого залишковою поляризацією і заряду протилежного знаку, абсорбованого з повітря. Час збереження наелектризованого стану коливається від декількох днів до часу порядку мільйонів років.

Електрети застосовуються як джерела постійного електричного поля. Дія електретних мікрофонів, телефонів і вібродатчиків базується на індуку¬ванні змінного струму в електричному полі електрету. Фотоелектрети засто¬совуються в електрофотографії, суть якої в наступному. При освітленні фото-електретів відбувається зменшенням їх зарядів, пропорційна освітленості. Електричні заряди, які залишились після експонування утворюють окрите електрофотографічне зображення чи потенціальний рельєф. Потенціальний рельєф візуалізується за допомогою заряджених порошків або методами без¬посереднього читання потенціальних рельєфів.

Тема 9. 11. Електроємність. Конденсатори. З'єднання конденсаторів

Переданий провідникові заряд розподіляється на його поверхні так, що напруженість поля всередині провідника дорівнює нулеві. Якщо провід¬нику, який вже має заряд надати заряд тієї ж величини, то другий заряд повинен розподілитися на провіднику таким чином, як перший, інакше він створює в провіднику поле, яке не дорівнює нулеві. Збільшення в деяке число раз заряду приводить до збільшення в те ж число раз напруженості поля в кожній точці простору, який оточує провідник. Відповідно, в таке ж число раз зросте робота перенесеного по будь-якому шляху одиничного заряду з без¬межності на поверхню провідника, тобто потенціал провідника.

 (9.51)

Коефіцієнт пропорційності називається електроємністю. З (9.51) випливає, що

 (9.52)

Ємність чисельно дорівнює зарядові, який необхідно передати прові¬днику, щоб збільшити його потенціал на один вольт. Знайдемо потенціал за¬рядженої кулі радіусом . Потенціал кулі, можна знайти, взявши інтеграл від виразу

 , (9.53)

де .

Знайдемо . (9.54)

Підставивши (9.54) в (9.52) одержимо, що ємність кулі радіусом , зануреної в однорідний безмежний діелектрик з діелектричною проникливістю , дорівнює:

 (9.55)

Одиницею вимірювання ємності є фарада [ф].

9.11.1. Конденсатори

Електроємність зарядженого провідника залежить від 4-х факторів: від форми провідника, його розмірів, від діелектричної проникливості сере¬довища, яке оточує провідник і від наявності близько розміщених тіл, на по¬верхні яких, оберненої до зарядженого провідника, з'являються індуковані заряди протилежного знаку, що у відповідності з принципом суперпозиції, приводить до зменшення потенціалу провідника і збільшенню електроємності системи. Враховуючи це і комбінуючи різні тіла, можна одержати системи, які мають велику електроємність і називаються конденсаторами.

Для прикладу розглянемо плоский конденсатор (рис. 9.13), який являє собою близько розміщені паралельні провідні пластини, які розділені діелек¬триком.

 

Рис. 9.13

Конденсатор вважають "безмежним", якщо віддаль між пластинами значно менша від розмірів пластин. В дому випадку нехтують краєвими ефектами неоднорідності поля. Елек¬троємністю плоского конденсатора називається фізична величина, яка чисельно дорівнює відношенню заряду на одній з його пластин до різниці потенціалів між пластинами:

 (9.56)

Враховуючи, що

 (9.57)

де - площа частини пластин, які перекриваються,

 - поверхнева густина заряду на пластині. Використовуючи зв'язок між і :

 , (9.58)

а також (9.59)

одержимо вираз для ємності плоского конденсатора.

 (9.60)

9.11.2.З'єднання конденсаторів

Використовуючи різне з'єднання конденсаторів (паралельне і послі¬довне), можна одержати необхідну ємність. На рис. 9.14 приведено паралельне, з'єднання конденсаторів.

 

Рис. 9.14

При паралельному з'єднанні напруга на всіх конденсаторах однакова:

 (9.61)

Заряд батареї конденсаторів дорівнює сумі зарядів:

 (9.62)

Враховуючи (9.56) і (9.61), одержимо з (9.62)

 (9.63)

Тобто (9.64)

Послідовне з'єднання конденсаторів показано на рис. 9.15

 

Рис. 9.15

При послідовному з'єднанні, очевидно, що

 (9.65)

Заряд на всіх конденсаторах однаковий і дорівнює зарядові батареї, що ви¬пливає з електронейтральності ізольованих дільниць між конденсаторами

 (9.66)

Враховуючи, що , одержимо з (9.65)

 , (9.67)

тобто (9.68)

Тема 9. 12. Енергія електричного поля

Розглянемо процес зарядки конденсатора, як перенесення порцій за¬ряду з одної пластини на іншу, в результаті чого на одній обкладці з'являється надлишок зарядів одного знаку, на іншій - недостача, і між об¬кладками виникає різниця потенціалів . Робота, яка йде на збільшення енер¬гії конденсатора дорівнює:

 (9.69)

Знайдемо , враховуючи, що :

 . (9.70)

 . (9.71)

Енергію зарядженого конденсатора (9.71) можна розглядати як енер¬гію однорідного електричного поля між його обкладками. Виразимо цю ене¬ргію через характеристики поля. Для цього підставимо в (9.71) значення єм¬ності для плоского конденсатора

 і

Одержимо:

 . (9.72)

Вираз (9.72) являє собою енергію однорідного електричного поля в об'ємі .

На практиці частіше вживається поняття - густина енергії електрич¬ного поля. Густина енергії електричного поля - це енергія одиниці об'єму поля, тобто:

 . (9.73)

Тема 9. 13. Електричний струм. Електричний опір. Закон Ома і Джоуля-Ленца

Впорядкований рух зарядів називається електричним струмом. Якщо за час через поперечний переріз провідника переноситься заряд тоді сила струму дорівнює:

 . (9.74)

Електричний струм може бути обумовлений рухом як позитивних, так і від'ємних зарядів. За напрямом струму приймається напрям, в якому переміщуються позитивні носії струму.

Електричний струм може бути розподілений на поверхні, через яку він протікає, нерівномірно, тому електричний струм характеризують також з допомогою вектора густини струму . Цей вектор чисельно дорівнює силі струму через розміщену в даній точці перпендикулярно до напряму руху носіїв площадку , віднесеної до величини цієї площадки:

 . (9.75)

Якщо під дією поля носії струму набувають швидкість , то за одиницю часу через одиничну площадку пройде носіїв (де п - кількість носіїв в одиниці об'єму), які перенесуть заряд епи.

Тоді . (9.76)

Ом експериментально встановив закон, згідно якого сила струму, що протікає по однорідному металічному провіднику, пропорційна падінню напруги на провіднику:

 (9.77)

Величина називається електричним опором. Опір зв'язаний з про¬відністю співвідношенням:

 (9.78)

Значення опору залежить від форми і розмірів провідника, а також від властивостей матеріалу, з якого він зроблений. Для однорідного цилінд¬ричного провідника

 , (9.79)

де - довжина провідника; - площа його поперечного перерізу; - залеж¬ний від властивостей матеріалу коефіцієнт, який називається питомим елек¬тричним опором речовини.

Якщо =1 і =1, тоді опір чисельно дорівнює . В системі СІ ви¬мірюється в Ом-метрах [Ом м].

Здатність речовини проводити струм визначається як хімічною при¬родою речовини, так і умовами (зокрема, температурою) в яких воно знахо¬диться. Для більшості металів питомий опір зростає з підвищенням темпера¬тури згідно такого закону:

 (9.80)

де - питомий опір при 0°С; - температура в градусах Цельсія; - температурний коефіцієнт опору, який чисельно дорівнює 1 /273 град -1. Переходячи до абсолютної температури, одержимо

 (9.81)

При низьких температурах спостерігається відхилення від цієї зако¬номірності. Для великої групи металів і сплавів при температурі порядку де¬кілька кельвінів опір стрибкоподібно стає рівним нулеві (рис.9.16). Це явище носить назву надпровідності. Для кожного провідника є своя критична тем-пература , при якій він переходить в надпровідний стан.

 

Рис. 9.16

Закон Ома у вигляді (9.77) справедли¬вий для однорідної дільниці кола, тобто такої дільниці електричного кола, в якій нема електрорушійної сили (ЕРС). Якщо дільниця кола має ЕРС (рис. 9.17), то закон Ома в цьому випадку виражається форму¬лою:

 (9.82)

Для замкнутого електричного кола , і тоді

 (9.83)

де - повний опір кола, який враховує і внутрішній опір джерела струму.

 

Рис. 9.17

Тема 9. 14. Закони Ома і Джоуля-Ленца в диференціальній формі

9.14.1 3акон Ома в диференціальній формі

Закон Ома можна записати в диференціальній формі. Виділимо в околі деякої точки в середині провідника елементарний циліндричний об'єм (рис. 9.18) з утворюючими, паралельними векторові густини струму в даній точці.

 

Рис. 9.18

Через поперечний переріз циліндра протікає струм силою . На¬пруга, прикладена до циліндра, дорівнює , де - напруженість електрич¬ного поля на даній дільниці. І, накінець, опір циліндра згідно (9.79), дорівнює . Підставивши ці значення в (9.77) одержимо:

 . (9.84)

Носії заряду в кожній точці рухаються в напрямі вектора . Тому напрями і співпадають.

Таким чином можна записати:

 (9.85)

де питома провідність матеріалу.

Формула (9.85) виражає закон Ома в диференціальній формі. Згідно класичної теорії електропровідності, електричний опір металів обумовлений співударяннями вільних електронів з іонами, які знаходяться у вузлах криста¬лічної решітки.

9.14.2 Закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі

При проходженні струму через провідник, останній нагрівається. Джоуль і незалежно від нього Ленц експериментально виявили, що кількість теплоти, яка виділяється в провіднику при проходженні струму пропорційно його опорові, квадрату сили струму і часові:

 (9.86)

Якщо сила струму змінюється з часом, тоді

 (9.87)

Співвідношення (9.86) і (9.87) виражають закон Джоуля-Ленца. На¬грівання провідника відбувається за рахунок роботи, яка здійснюється силами поля над носіями заряду.

Від виразу (9.87), який визначає теплоту, яка виділяється в провідни¬ку, можна перейти до виразу, який характеризує виділення теплоти на різних дільницях провідника. Виділимо в провіднику елементарний об'єм у вигляді циліндра довжиною площею поперечного перерізу .

Згідно законові Джоуля-Ленца за час в цьому об'ємі виділяється теплота

 , (9.88)

де - елементарний об'єм.

Кількість теплоти , віднесена до одиниці часу і одиниці об'єму, називається питомою потужністю струму . З виразу (9.88) одержимо:

 (9.89)

Скористаємося співвідношенням (9.85) між , , і одержимо форму¬лу:

 (9.90)

Формули (9.89) і (9.90) виражають закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі.

Згідно класичної теорії електропровідності, електрон, зіткнувшись з іоном кристалічної решітки, губить енергію, яка йде на збільшення внутрішньої енергії металу, що проявляється його нагріванням.

Тема 9. 15. Закони Кірхгофа та їх застосування

Розрахунок розгалужених електричних кіл можна значно спростити, якщо скористатися правилами Кірхгофа. Перше з них відноситься до вузлів електричного кола. Вузлом називається точка, в якій сходиться не менше трьох струмів (рис. 9.19). Струм, який входить у вузол, вважаємо таким, що має знак („+” або „-„), струм який виходить з вузла має інший знак („-„ або ”+”).

 

Рис. 9.19

Перше правило Кірхгофа полягає в тому, що алгебраїчна сума струмів, що сходяться у вузлі, дорівнює нулю:

 (9.91)

Якби алгебраїчна сума струмів була відмінною від нуля, то у вузлі про¬ходило б накопичення чи зменшення за¬ряду, що привело б до зміни струмів, про¬тікаючих по електричному колу. Таким чином, щоб струми були постійними в колі, необхідно, щоб виконувалась умова (9.91). Якщо ми маємо вузлів, то для них складається рівнянь.

Друге правило Кірхгофа є наступне: алгебраїчна сума падінь напруги в замкнутому електричному контурі дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС, які є в цьому контурі.

 (9.92)

Рівняння можуть бути складеш для всіх замк¬нутих контурів, які можна виділити в даному розгалу-женому колі, але незалеж¬ними будуть контурів з виділених, причому рів¬нянь за другим правилом Кірхгофа складається . При складанні рівнянь за другим правилом Кірхгофа необхідно задати напрямок обходу по контурові (рис. 9.20).

 

Рис. 9.20

Знаки для струмів і ЕРС приписують до вибраних напрямів обходу. Наприклад, струм, на рис.9.20 необхідно вважати від'ємним, так як він тече назустріч вибраному напрямові обходу. ЕРС також необхідно приписати знак "-", так як вона діє в напрямі, протилежному обходові, і т. д. Напрям об¬ходу в кожному з контурів можна вибирати довільно і незалежно від вибору напряму в інших контурах. Складаючи рівняння, слід пам'ятати, що через будь-який переріз нерозгалуженої дільниці кола тече один і той же струм.

Наприклад, на дільниці тече такий же струм , як і на дільниці . Число незалежних рівнянь, складених у відповідності з першим і другим правилами Кірхгофа, стає рівним числі різних струмів, які течуть в розга¬луженому електричному колі. Через те, якщо задані ЕРС і опори для всіх нерозгалужених дільниць, можна буде знайти величини всіх струмів.

Визначимо струми для розгалудженого електричного кола (рис.9.20). Назване коло має два вузли (точки 3 і 6). При вказаних стрілками напрямах струмів рівняння для вузлів (9.91) будуть мати вигляд

 (для вузла 3)

 (для вузла 6) (9.93)

З першого рівняння можна одержати друге, якщо замінимо знаки на протилежні. Тому, надалі, будемо користуватись одним рівнянням з двох (першим).

Тепер складемо рівняння для замкнутих контурів, число яких в при¬веденому розгалуженому колі дорівнює трьом, але згідно другого правила Кірхгофа, рівнянь необхідно складати на одне менше. Складемо ці рівняння для контурів 1-2-3-6-1 і 3-4-5-6-3, прийнявши в обох випадках напрям обходу за годинниковою стрілкою.

 

 (9.94)

Запишемо рівняння (9.93) і (9.94) в такому вигляді:

 

Розв'яжемо цю систему рівнянь відносно невідомих . Для цього скори¬стаємося методом визначників. Складемо визначники системи

 :

 

 

 

 

Тоді

Знайдемо значення визначників і відповідно значення неві¬домих струмів.

Тема 9. 16. Елементарна класична теорія електропровідності металів

На початку нашого століття затвердилося положення, що електрич¬ний струм в металах - це впорядкований рух електронів.

Це підтверджувалося класичними дослідами і один із них дослід Е.Ріке, який довів, що при протіканні струму в металах не відбувається пере¬носу речовини, що неминуче б мало місце, якщо б носіями струму були іони. Дослід полягає в тому, що через три з відшліфованими поверхнями циліндра (мідного, алюмінієвого і знову мідного), приведених в зіткнення, пропускався електричний струм на протязі року. Зважування циліндрів після досліду пока¬зало, що маса їх залишилася незмінною.

Метал являє собою кристалічну решітки (у формі куба, в вершинах якого знаходяться іони), в якій переміщаються електрони. Електрони провід¬ності взаємодіють з іонами решітки і механізм цих взаємодій припустимо такий, як і механізм взаємодії молекул реальних газів.

Позначимо через середню довжину вільного пробігу електрона по аналогії із середньою довжиною вільного пробігу молекули в кінетичній тео¬рії газів. Завдяки хаотичності теплового руху електронів при відсутності зов¬нішнього електричного поля ніякого переважаючого переміщення електронів немає. При накладанні електричного поля напруженістю з'являється змі¬щення рухомих електронів в напрямку, протилежному напрямку поля (внас¬лідок від'ємного заряду електронів). На хаотичний тепловий рух електронів накладається зміщення, так званий дрейф електронів, який і являє собою еле¬ктричний струм.

Взаємодія електронів з іонами кристалічної решітки є причиною еле¬ктричного опору провідника. При взаємодії електрон передає решітці надли¬шкову кінетичну енергію, одержану ним за час вільного пробігу в електрич¬ному полі. В результаті цього збільшується амплітуда коливань іонів решітки і температура металів підвищується.

Таким чином, електричний опір можна розглядати як деяке внутріш¬нє тертя, дещо подібне на внутрішнє тертя в газах і рідинах. Користуючись цими положеннями можна теоретично одержати закон Ома.

Виходячи з класичної теорії, електрон має таку ж енергію теплового руху, як і молекула одноатомного газу, тобто

 (9.95)

Середній час пробігу електронів .

За час між двома зіткненнями з іонами решітки приріст швидкості електрона може бути знайдений з другого закону Ньютона:

 (9.96)

Так як сила в електричному полі , одержимо:

 (9.97)

Швидкість дрейфу електронів дорівнює середньому значенню зміни швидко¬сті за час вільного пробігу електрона:

 (9.98)

Так як густина струму дорівнює:

 , (9.99)

де - число електронів в одиниці об'єму, то підставляючи в (9.99) значення з (9.98) одержимо

 (9.100)

тобто закон Ома в диференціальній формі.

Питома провідність в цьому випадку дорівнює:

 . (9.101)

де - середня арифметична швидкість електронів.

Формула пояснює залежність електропровідності від температури. При підвищенні температури збільшується теплова швидкість електронів, яка входить в знаменник виразу (9.101). Від температури залежить також середня швидкість вільного пробігу електрону: з підвищенням температури вона зменшується через зростання інтенсивності теплових коливань решітки. З електронної теорії можна одержати і закон Джоуля-Ленца.

Кінетична енергія електрона, яку він набуває під дією електричного поля до кінця пробігу, враховуючи формулу (9.97), дорівнює:

 . (9.102)

Кожний з електронів, які знаходяться в одиниці об'єму провідника, зазна¬ють зіткнень за секунду. Припускаємо, що вся кінетична енергія електро¬на при зіткненнях передається атомом кристалічної решітки і витрачається на нагрівання. Для кількості тепла , яке виділяється за 1 с. в одиниці об'єму провідника, одержимо:

 . (9.103)

Підставивши значення питомої електропровідності з (9.101), одержимо:

 , (9.104)

де - питомий опір провідника. Формула (9.104) виражає закон Джоуля-Ленца в диференціальній формі.

Таким чином, класична електронна теорія приводить до теоретично¬го обґрунтування основних законів постійного струму.

Правда, в багатьох випадках висновки класичної електронної теорії протирічать дослідним фактам. Для прикладу, це має місце в теорії теплоєм¬ності металів, коли загальна теплоємність металу рівна тільки атомній тепло¬ємності кристалічної решітки . Ці розходження усуваються тільки в сучасній квантовій теорії металів.