Тема 7.1. Механічний принцип відносності Галілея

Розглянемо дві системи відліку, які рухаються одна від другої з постійною швидкістю .

Нехай система рухається відносно системи xyz, умовно прийнятого за нерухому. Положення точки А в даний момент часу визначає¬ться координатами x,y,z в нерухомій системі К., і в рухомій системі Якщо в класичній механіці вважають, що час не залежить від відносного руху системи відліку, то . Для спрощення задачі вважаємо, що в початко¬вий момент часу t = 0, початки і обох систем координат та однойменні їх осі збігаються. Тоді взаємне розміщення цих систем для довільного моменту часу t має вигляд, поданий на рис. 1.7.1.

 

Рис. 1.7.1

Координати точки в системі К:

 ; ; .

Знайдемо зв'язок між координатами х,у,z деякої точки А в системі К і координатами тієї ж точки в системі К'. Із рисунка 1.7.1 видно:

 (1.7.1)

 

Співвідношення (1.7.1) називають перетвореннями координат Галілея.

Диференціюючи рівняння (1.7.1) по часу і враховуючи, що V = const, одержимо:

 (1.7.2)

Отже, виходячи з (2.1.2) можна записати.

 (1.7.3)

Відомо, що сума проекцій векторів на деякий напрямок рівна проек¬ції сумарного вектора на той же напрямок. Перейдемо до складових векторів швидкостей по координатних осях і, проводячи векторне складання, одержи¬мо:

 (1.7.4)

Рівняння (1.7.4) виражає собою теорему складання швидкостей в кла¬сичній механіці.

Рух тіла відносно умовно нерухомої системи називають абсолютним рухом, а відносно рухомої системи - відносним. Рух рухомої системи віднос¬но умовно нерухомої - переносним. Тому можна записати (1.7.4) в такому ви¬гляді:

 . (1.7.4)

Якщо швидкість переносного руху постійна (в іншому випадку сис¬тема не була б інерціальною), то

 , тобто . (1.7.5)

Це говорить про те, що незалежно від характеру руху всі інерціальні системи рівноцінні по відношенню до прискорень.

Отже, рухоме тіло в усіх інерціальних системах відліку буде мати одне і теж прискорення, хоча швидкості його руху відносно кожної із сис¬тем будуть різними.

В цьому і полягає суть механічного принципу відносності Галілея:

Ніякими механічними дослідами і спостереженнями, проведеними всередині інерціальної системи, неможливо встановити чи находиться дана система в спокої чи вона рівномірно і прямолінійно рухається.

Находячись, наприклад, в вагоні поїзда, який рухається без поштов¬хів прямолінійно і рівномірно, ми не заглянувши в вікно не зможемо визна¬чити, рухається вагон чи находиться в спокої.

Основне рівняння механіки характерне тим, що із кінематич¬них величин в нього входить тільки прискорення. Але прискорення якого-небудь тіла в двох довільно вибраних інерціальних системах відліку К і К' однакове. Звідси, згідно другого закону Ньютона випливає, що сили діючі на тіло в системах К і К' (F=F') також будуть однаковими. Отже, рівняння ди¬наміки не змінюються при переході із однієї інерціальної системи відліку до другої.

В системі К:

 ,

В системі К':

 ,

де маса матеріальної точки в усіх системах відліку одинакова.

Механічний принцип відносності показує, що в механіці всі інерціальні системи відліку рівнозначні.

В будь-яких інерціальних системах відліку всі механічні явища за тих самих умов відбуваються однаково.

Інакше кажучи рівномірний прямолінійний рух замкненої системи не впливає на протікання в ній будь-яких механічних явищ.

Тема 7.2 Перетворення Лоренца.

Постулати спеціальної теорії відносності

Виходячи із принципу відносності Галілея маємо, що в рамках меха¬ніки поняття швидкості не може мати абсолютного змісту - швидкість може бути тільки відносною.

Для механічних явищ встановлено, що закони механіки Ньютона мають однаковий вигляд по відношенню до всіх інерціальних систем відліку, які рухаються відносно одна одної прямолінійно і рівномірно. Ці закони збе¬рігають свою форму, якщо при переході із однієї інерціальної системи відліку до другої перетворення координат і часу проводити за допомогою співвідно¬шення (1.7.1)

 ; ; ,

тобто говорять, закони механіки Ньютона інваріантні відносно перетворень Галілея.

Для електромагнітних явищ виявились протиріччя. З однієї сторони, досліди показують, що електромагнітні явища протікають по відношенню до різних систем відліку К і К' однаково. З другої сторони, якщо в рівняннях електромагнітних явищ, найдених відносно системи відліку К, провести пе¬ретворення координат і часу при допомозі співвідношення (1.7.1), то ці рівнян¬ня міняють свою форму, тобто відносно системи К' електромагнітні явища повинні б проходити по іншому, ніж відносно системи К. Виявляється, що закони електромагнітних явищ одинакові для різних систем відліку, але не інваріантні відносно перетворень Галілея.

Було встановлено, що рівняння електромагнітних явищ зберігають свій вигляд, якщо при переході від однієї системи відліку до другої перетво¬рення координат і часу проводити не за формулами (1.7.1) а за формулами:

 ; ; . (1.7.6)

 ,

де с - швидкість тіла у вакуумі.

Співвідношення (1.7.6) називаються перетвореннями Лоренца.

Отже, закони механіки Ньютона одинакові для всіх інерціальних си¬стем відліку і інваріантні відносно перетворень Галілея, а закони електромаг¬нітних явищ також одинакові для всіх інерціальних систем відліку, але інва¬ріантні відносно перетворень Лоренца. Створилось ненормальне положення, коли перетворення координат і часу для одних законів фізики рекомендуєть¬ся проводити за одними формулами, а для інших законів фізики - за іншими. Вихід із цього був найдений А.Ейнштейном.

Принципіально новий підхід до електродинаміки рухомих тіл у

1905р. запропонував основоположник теорії відносності Альберт, Ейнштейн. Про¬аналізувавши величезний експериментальний матеріал, Ейнштейн вибрав два найбільш беззаперечні положення і на їх основі побудував свою теорію. Ці положення називаються постулатами спеціальної теорії відносності. Їх фор¬мулюють так:

- у будь-яких інерціальних системах відліку всі фізичні явища (ме¬ханічні, електромагнітні та ін.) за тих самих умов відбуваються однаково;

- швидкість світла у вакуумі не залежить від швидкості руху джерела світла і однакова в усіх напрямках.

Перший постулат Ейнштейна визначає принцип відносності, який є узагальненням механічного принципу відносності Галілея на будь-які фізичні процеси. Його справедливість підтверджується тим, що всі різноманітні до¬сліди, які проводять для того, щоб виявити вплив орбітального руху Землі на закономірності електромагнітних явищ, завжди приводили до негативного результату. Другий постулат також безумовно підтверджується різними екс¬периментами.

Тема 7.3 Відносність довжин І проміжків часу.

Інтервал між двома подіями

 Механіка (електродинаміка), яка базується на постулатах теорії відносності і перетворення Лоренца називається релятивістською.

Закони релятивістської механіки суттєво відрізняються від законів класичної механіки Галілея-Ньютона.

В класичній механіці вважалось, що тіла можуть рухатися з різними швидкостями. Але вже із перетворень Лоренца видно, що відносні швидкості тіл мають верхню границю .

Рухомі тіла змінюють свої розміри. Для розрахунку цієї зміни розг¬лянемо твердий стержень, розміщений вздовж осі О'Х', який рухається ра¬зом з системою відліку К'. Відносно системи К' стержень находиться в спо¬кої і його кінці мають незмінні координати тоді довжина стержня:

 .

Система K' рухається відносно системи К з постійною швидкістю:

 

Будемо вимірювати довжину цього стержня в системі відліку К, від¬носно якої він рухається з постійною швидкістю V. Для цього необхідно виміряти координати його кінців x1 і x2 в системі K в один і той же момент часу t цієї системи:

 .

Виконуючи перетворення Лоренца (1.7.6) маємо:

 ;

 .

Звідси:

 . (1.7.7)

 

 

Рис.1.7.2

В рухомій системі змінюється хід годинника. Розглянемо деякий процес, який здійснюється в одній і тій же точці А, нерухомий відносно системи (рис. 1.7.2). Позначимо тривалість цього процесу за годинниками і відповідно і . Тоді:

 і ,

де індекси 1,2 відповідають початку і кінцю процесу. Із рівняння (1.7.6)

 ; ;

Позначимо:

 , де - зміщення точки вздовж осі ОХ

в системі К за час тривалості процесу .

Отже . (1.7.8)

Годинник, який рухається відносно інерціальної системи відліку, йде повільніше від годинника, який перебуває в стані спокою. Згідно принципу відносності всі фізичні процеси в рухомій системі, протікають повільніше, ніж в системі яка знаходиться в спокою.

Інтервал між двома подіями виміряними в інерціальній системі від¬ліку :

 , (1.7.9)

де - проміжок часу між подіями 1 і 2 (по годиннику в системі відліку ),

 - віддаль між точками в яких здійснюються події 1 і 2, виміряні також в системі відліку :

 . (1.7.10)

Виходячи із перетворень Лоренца получається, що: інтервал між двома подіями однаковий в усіх інерціальних системах відліку.

Тобто

 . (1.7.11)

Тема 7.4 Релятивістський закон додавання швидкостей

      

Нехай в системі відліку матеріальна точка А рухається вздовж осі з постійною швидкістю (рис. 1.7.3).

 .

Система рухається відносно системи К в тому ж напрямку з постійною швидкістю . Визначимо, чому дорівнює швидкість матеріальної точки відносно системи К:

 .

Нехай при матеріальна точна находиться в початку коор¬динат, . Вибір початку відліку не міняє суті справи.

Згідно (1.7.6)

 , ,

 .

Поділимо чисельник і знаменник на :

 .

Так як , то:

 . (1.7.12)

Отже, рівняння (2.1.12) виражає собою релятивістський закон дода¬вання однаково направлених швидкостей.

При малих швидкостях , , і рівняння (1.7.12) переходить в

 , (1.7.13)

тобто релятивістський закон додавання швидкостей переходить в звичайний закон додавання швидкостей класичної механіки.

Отже, закони релятивістської механіки в граничному випадку малих швидкостей переходять в закони класичної механіки. Класична ме¬ханіка справедлива як частковий випадок загальної механіки Ейнштейна - випадок малих швидкостей.

Тема 7.5 Залежність маси від швидкості.

 Релятивістський імпульс.

Основний закон релятивістської динаміки матеріальної точки

В релятивістській механіці маса тіла не однакова в двох інерціальних системах відліку, які рухаються одна відносно одної. Це зв'язано з тим, що маса тіла залежить від чисельного значення швидкості руху тіла відносно інерціальної системи відліку:

 , (1.7.14)

де - маса тіла при , тобто виміряна в інерціальній системі відліку, відносно якої це тіло нерухоме. Її називають масою спокою тіла. Величина т називається релятивістською масою або просто масою тіла.

Помноживши (1.7.14) на швидкість V , одержимо релятивістський ви¬раз для імпульсу матеріальної точк

 . (1.7.15)

При (1.7.15) переходить в класичний вираз для імпульсу

 ,

 .

Підставивши (1.7.15) одержимо: . (1.7.16)

Рівняння (1.7.16) є основне рівняння (закон) релятивістської динаміки.

Тема 7.6 Ввзаємозв’язок маси і енергії.

Співвідношення між повною енергією і імпульсом частинки.

Кінетична енергія в спеціальній теорії відносності

Повна енергія частинки в релятивістській механіці визначається за формулою:

 , (1.7.17)

 , (1.7.18)

де т - релятивістська маса частинки.

 , (1.7.19)

де - енергія спокою частинки. Ця енергія являє собою внутрішню енергію частинки, не зв'язану з рухом частинки як цілого, тоді.

 . (1.7.20)

Кінетична енергія частинки :

 . (1.7.21)

Одержимо повну енергію частинки через імпульс. Вираз (1.7.22) зведемо до квадрата і зробивши прості перетворення, одержимо:

 ,

 ,

або цей вираз легко привести до виду:

 .

Підставивши значення в формулу (2.1.17’) одержимо:

 ,

 . (1.7.23)

Тобто формула (1.7.23) виражає залежність між повною енергією тіла (частинки) і його імпульсу.