ТЕМА 2. ГРАФІЧНИЙ МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО

ПРОГРАМУВАННЯ. ОСНОВИ АНАЛІЗУ МОДЕЛІ НА ЧУТЛИВІСТЬ

2.1. Знаходження оптимального розв’язку ЗЛП графічним методом.

Оскільки розглянута в темі 1 модель містить тільки дві змінні, задачу можна розв’язати графічно. У випадку трьох змінних графічний розв’язок стає менш наочним, а при більшому числі змвнних - взагалі неможливим. Незважаючи на це, розгляд графічного методу дасть змогу зробити висновки, що послужать основою для розробки загального методу розв’язання задач ЛП .

Перший крок при використанні графічного методу полягає в поданні області допустимих розв’язків, у якій водночас задовольняються всі обмеження моделі. Шукана область (простір) розв’язків задачі прикладу 1.1. показана на рис. 2.1. Умови невід’ємності змінних обмежують область їх допустимих значень першим квадрантом координатної площини (частина площини над віссю x1 і справа від осі x2). Інші межі простору розв’язків зображені прямими лініями, побудованими по рівняннях, що отримані заміною знака “£” знаком “=" в обмеженнях. Області, в яких відповідні обмеження виконуються як нерівності ( в нашому випадку - нерівності із знаком “<”), указуються стрілками, спрямованими вбік допустимих значень змінних. Отриманий простір розв’язків задачі про фарби - багатокутник АВСDЕF (рис. 2.1). У кожній точці, що належить внутрішній області або межам багатокутника розв’язків АВСDЕF, всі обмеження виконуються, тому розв’язки, що відповідають цим точкам, є допустимими. Серед безкінечного числа таких точок можна знайти точку оптимальнного розв’язку, якщо з'ясувати, в якому напрямку зростає цільова функція.

Рис. 2.1. Простір допустимих розв’язків задачі “про фарби”.

На рис. 2.2 показано, як здійснюється така операція.

Рис. 2.2. Знаходження оптимального розв’язку ЗЛП графічним методом.

На графік наносять лінію рівня цільової функції c1×x1+c2×x2=z0, де z0 - довільне значення z. Будують вектор N (c1, c2), що є нормальним до ліній рівня цільової функції й визначає напрямок оптимізації z. Лінію рівня зрушують паралельно самій собі вздовж вектора N доти, поки вона не вийде за межі області допустимих розв’язків. Остання точка цієї області й буде точкою оптимуму. Очевидно, що оптимальному розв’язку відповідає точка С - точка перетину прямих (1) і (2). Значення x1 та x2 в точці С визначаються шляхом розв’язання системи рівнянь:

Розв’язком цієї системи є x1=3  ; x2 =1  . Отриманий у цьому випадку прибуток складе: z=3x1+2x2 =3×3  +2×1  =12  (тис. г.о.)

Зазначимо, що у випадку, коли лінії рівня z мають такий самий нахил, як пряма зв’язуючого обмеження (тобто такого, що проходить через оптимальну точку), матимемо безліч оптимумів на відрізку.