1. 5. Побудова моделі задачі лінійного програмування.

Приклад 1.1. Для виробництва фарб двох видів підприємство використовує два види сировини: А та Б. Норми витрат та максимальні добові витрати сировини кожного виду, а також питомий прибуток від продажу 1т фарби кожного виду наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1- Вихідні дані задачі “про фарби”

Вид сировини           Витрати сировини

(в тонах) на 1 т

фарби           Максимально можливий добовий запас, т

          Фарба 1           Фарба 2          

А

Б       1

2        2

1        6

8

Прибуток від реалізації 1т фарби, тис. г.о.    3          2         

Вивчення ринку збуту виявило, що добовий попит на фарбу другого виду ніколи не перевищує попиту на фарбу першого виду більше, ніж на 1 т, а попит на фарбу другого виду не буває більшим 2 т на добу. Яку кількість фарби кожного виду має виробляти підприємство, щоб сумарний прибуток від реалізації був максимальним?

Для прикладу, що розглядається, математична модель матиме наступну структуру:

Змінні: x1, x2 – добовий обсяг виробництва фарби, відповідно першого та другого видів, у тоннах.

Цільова функція: Позначивши загальний прибуток через Z, можна подати цільову функцію у вигляді такої формули:

Z= З x 1+2 x 2 ® max

Обмеження: В даній задачі передбачено два види обмежень: на запас сировини та на обсяг можливого збуту. Крім того, неявне обмеження полягає в тому, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати від’ємні значення. Таким чином, щоб виключити недопустимі розв’язки, будемо вимагати виконання умов невід’ємності змінних.

В цілому, математичну модель можна записати наступним чином. Визначити добові обсяги виробництва (x1 та x2 ) фарби 1 і фарби 2 (у тонах), такі, що забезпечать максимум сумарного прибутку:

Z= 3x1+2x2 ® max (цільова функція)

при додержанні обмежень:

 

Дана модель є лінійною, оскільки всі функції, що містяться в ній (обмеження й цільова функція), лінійні. Лінійність передбачає наявність у функції двох властивостей: пропорційності та адитивності.

1. Пропорційність означає, що внесок кожної змінної до цільової функції та загальний обсяг споживання ресурсів є прямо пропорційними величині цієї змінної. Якщо ж, наприклад, підприємство надасть покупцеві знижку, продаючи фарбу першого виду при обсязі закупівлі вище 2 т по ціні на 0,5 тис. г.о. меншій, то питомий прибуток (коефіцієнт цільової функції при x1) дорівнюватиме 3 тис. г.о. при x1 <2 т і 2,5 тис. г.о. при x1³2. Пропорційність між прибутком підприємства та величиною x1 у цьому випадку порушиться.

2. Адитивність полягає в тому, що цільова функція являє собою суму внесків від різних змінних. Аналогічно ліва частина кожного обмеження – це сума витрат, в якій кожна складова є пропорційною величині відповідної змінної. Якщо, наприклад, фірма виготовляє два конкуруючих товари, і збільшення збуту одного з них сприяє зниженню обсягів реалізації другого, то модель не матиме властивості адитивності.

Підсумовуючи все сказане в даному параграфі, зауважимо, що лінійне програмування являє собою теоретичний апарат модельного дослідження, спрямованого на відшукання найкращого способу розподілу обмежених ресурсів за декількома взаємозалежними по меті і використанню ресурсів видами виробничої діяльності. ЛП знайшло широке застосування при розв’язанні багатьох практичних задач організаційно-економічного керування.