Тема 3. Основні закони логіки висловлювань.
· Поняття логічного закону.
· Метод таблиць істинності.
· Метод аналітичних таблиць.
· Основні закони логіки висловлювань.
· Види логічних відношень між формулами.
Основні поняття теми: Логічний закон, Логічна суперечливість, Виконувана формула, Правильно побудована формула, Табличний метод, Метод аналітичних таблиць.
Закони поділяють на природні, нормативні та логічні. Логічні закони являють собою схеми, форми, на основі яких людина може правильно та послідовно міркувати. У сучасній логіці закон – це вираз, який містить логічні змінні та константи. Така формула може бути істинною у будь-якій предметній області. У логіці існують і спеціальні методи, на основі яких можна визначати статус кожної формули (закон, виконувана формула, суперечність; таблиці істинності, аналітичні таблиці тощо). Наприклад, табличний метод задається самими матрицями, а метод аналітичних таблиць задається вже табличним методом.
Поняття закону в логіці задає, як бачимо, особливе розуміння змінних, констант, технічних знаків і, звідси, поняття правильно побудованої формули, висоти(визначається кількістю логічних констант, де остання константа, за функцією, визначає назву формули) та довжини (визначається кількістю змінних) формули.
Наприклад, у формулі
кількість констант (слідкуй: 
)
становить – 6, тобто висота формули – 6, а третій знак (зліва направо!) є
результуючим, визначаючи і назву формули, а саме: імплікація. Довжину формули
визначають числом 3, оскільки у даній формулі три змінних – А, В, С.
Застосувавши табличний метод (метод таблиць істинності, див. [18, с. 59-63]) для визначення істинності даної формули, отримаємо 8 наборів, що залежить від довжини формули, тобто від кількості змінних, і визначається формулою - М=2n, де n=3):
|
АВС |
|
|
|
|
і і і і і х і х і і х х х і і х і х х х і х х х |
і і і х і х і х і і х х х х х х |
і і і і і і і і |
і і і і і і і і і і і і і і і і х х х х і х х х |
Дана еквіваленція є законом, тотожно-істинною формулою (тавтологією). Окрім законів, логічна система виділяє ще виконувані формули та логічні суперечності.
Окрім цього, метод таблиць істинності є простим і природним методом для визначення статусу формули, якщо ця формула містить обмежену кількість пропозиційних змінних. Вже з самої формули М=2n, де n=3) видно, що при зростанні кількості змінних табличний спосіб вирахування істинності формули стає громіздким.
Логічна суперечливість – це формула,
яка є завжди хибною, тобто вона є хибною у будь-якій предметній області.
Наприклад, формула 
може
бути досліджена табличним методом так:
|
А |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Виконувана формула може набирати
значень як “істинно”, так і “хибно” {1,0}. Наприклад, у формулі 
значення
такі:
|
А |
В |
А |
|
В |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Як бачимо, на наборах 1-3 формула
набирає значення {1}, на останньому - {0}. Іншими словами, формула тричі
виконувана. Визначення логічного статусу (закон, 
суперечливість, виконуваність) формули (висловлвання) і складає суть власне
логіки як науки.
До методів визначення істинності
формули (висловлювання) відносять і метод аналітичних таблиць. Тут
використовують початкові букви від слів Truth і False. Одна з цих букв перед
формулою робить її індексованою, тобто визначеною. Аналітичні таблиці задаються на базі матриць
істинності (див. 18, с. 63-69).
Логічних законів існує багато, але можна виділити основні:
1. Закон тотожності – має такий зміст: будь-яке висловлювання тотожне саме собі. Це означає, що кожна думка повинна зберігати один і той же зміст. Закон у символічному записі має такий вигляд:
Ототожнення різних думок і веде до помилок у міркуванні. Ототожнення, як складова ідентифікаціъ, має велике значення у будь-якій сфері діяльності людини.
2. Закон суперечливості – ніяке висловлювання не може бути істинним одночасно зі своїм запереченням:
3. Закон виключеного третього: з двох висловлювань, в одному з яких стверджується те, що заперечується у другому, одне є неодмінно істинним („третього не дано”). Схема цього закону записується так:
4. Закон достатньої підстави свідчить про те, що наші думки можуть бути як істинними, так і хибними, але істинність думки ми повинні обґрунтувати. Вимога доведення, обґрунтованості і складає зміст закону достатньої підстави, тобто всяка думка визнається істинною, якщо вона має достатню підставу (цією підставою і є інша думка). Схема цього закону записується так:
5. Закон подвійного заперечення:
а) зняття заперечення: заперечення заперечення дає ствердження.
б) закон введення подвійного заперечення: ствердження тягне за собою подвійне заперечення.
6. Закон ідемпотентності дозволяэ виключити повтори кон’юнкцій та диз’юнкцій:
а) для кон’юнкції –
б) для диз’юнкції –
7. Закон комутативності дозволяє міняти місцями висловлювання, що пов’язані сполучниками “і” та “або”:
а) для кон’юнкції -
б) для диз’юнкції -
8. Закони контрапозиції: наступає можливість, використовуючи заперечення, міняти місцями антецедент та консеквент у імплікації:
8.1. Закон простої контрапозиції:
8.2. Закон складної контрапозиції:
а)
б)
9. Закон асоціативності: закон дозвволяє перегруповувати висловлювання, що з’єднані сполучниками “і” чи “або”, а саме:
а) для кон’юнкції - ,
б) для диз’юнкції -
10. Закон дистрибутивності: дає розподіляти логічні сполучники один відносно одного:
а) кон’юнкції відносно диз’юнкції –
б) диз’юнкції відносно кон’юнкції –
11. Закони де Моргана: загальна назва законів, які пов’язують заперечення, кон’юнкції та диз’юнкції:
Відношення логічної сумісності формул розрізняють за істинністю чи хибністю, побудувавши спільну таблицю істинності для порівнюваних формул. При сумісності формули набирають значення істинності при однакових наборах, при несумісності – хибності. Загальна схема зводиться до: контрадикторності (суперечливості), контрарності (протилежності), субконтрарності (підпротилежності).
Рівносильними (еквівалентними) називаються формули, якщо вони істинні чи хибні при однакових наборах пропозиційних змінних. Відношенню рівносильності притаманні і інші властивості:
а) рефлективність, б) симетричність, в) транзитивність.
Рівносильні формули відносять до законів логіки висловлювань.
Інші закони логіки висловлювань:
1. 
– закон виключення тавтології із кон’юнкції.
2. 
– закон перетворення диз’юнкції в тавтологію.
3. 
– закон перетворення кон’юнкції в суперечливість.
4. 
– закон виключення суперечливості із диз’юнкції.
5. 
– закон виключення тавтології із еквіваленції.
6. 
– закон виключення суперечливості із еквіваленції.
7. 
- закон поглинання.
8. 
- закон поглинання.
9. 
– закон склеювання.
10. 
- закон склеювання.
11. Закони запису одних сполучників через інші:
12. Закони виявлення:
Рівносильності дають можливість мінімізації (спрощення, еквівалентних замін тощо) формул.
Узагальнення.
У даній темі дається визначення
основних категорій логіки висловлювань: висловлюваня, логічний закон, формула
тощо. Важливо пам’ятати, що кожний символічний запис (формула) може бути
інтерпретованим на заданій предметній області та перевіреним щодо логічної
істинності Наприклад, запис може передавати зміст будь-якої галузі знань, водночас,
залишаючись за формою одним і тим же записом. Форма дає можливість визначити
логічну істинність, тоді як предметний зміст висловлювань виходить за межі
формальної логіки, визначаючись змістом тієї чи іншої науки.
Аналіз логічної форми міркування також індукує думку, що вона власне має форму, яка може змінюватись, не змінюючи власне свого змісту. Література для самоосвіти: 2, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 14, 18.
Таблиця 1. Основні закони логіки висловлювань
|
№ |
Назва закону |
Символічний запис |
|
1. |
Закон тотожності |
|
|
2. |
Закон суперечливості |
|
|
3. |
Закон виключеного третього |
|
|
4. |
Закон подвійного заперечення |
|
|
5. |
Закони ідемпотентності |
|
|
6. |
Закони комутативності |
|
|
7. |
Закон простої контрапозиції |
|
|
8. |
Закони складної контрапозиції |
|
|
9. |
Закони асоціативності |
|
|
10. |
Закони дистрибутивності |
|
|
11. |
Закони де Моргана |
|
|
12. |
Закон виключення тавтології із кон’юнкції. |
|
|
13. |
Закон перетворення диз’юнкції в тавтологію. |
|
|
14. |
Закон перетворення кон’юнкції в суперечливість. |
|
|
16. |
Закон виключення суперечливості із диз’юнкції. |
|
|
17. |
Закон виключення тавтології із еквіваленції. |
|
|
18. |
Закон виключення суперечливості із еквіваленції. |
|
|
19. |
Закони поглинання. |
|
|
20. |
Закони склеювання. |
|
|
21. |
Закони запису одних сполучників через інші. |
|
|
22. |
Закони виявлення |
|
