Лекція 2. Класична логіка висловлювань.
· Особливості та мова логіки висловлювань.
· Заперечення, його умови істинності.
· Кон’юнкція, її умови істинності.
· Диз’юнкція, її умови істинності.
· Імплікація, її умови істинності.
· Еквіваленція, її умови істинності.
· Види логічних відношень між формулами.
· Аналіз міркувань засобами логіки висловлювань. Її відмінність від логіки предикатів.
· Логічні сполучники у фаховому контексті.
Основні терміни теми: Алфавіт, Висловлювання, Просте висловлювання, Складне висловлювання, Міркування, Логіка висловлювань, Логіка предикатів, Формула, Формалізація, Правильно побудована формула, Виконувана формула, Дедуктивне міркування, Заперечення, Кон’юнкція, Диз’юнкція, Імплікація, Еквіваленція, Логічна суперечливість, Логічний закон, Логічний сполучник.
Логіка висловлювань, або пропозиційна логіка (18, с. 38-56), є необхідною частиною сучасної логіки, її основою, оскільки має прикладне значення. Логіка висловлювань, як логічна теорія, описує дійсність, стверджуючи чи заперечуючи щось. У природній мові таким висловлюванням відповідають розповідні речення.
Логіка висловлювань є двозначною логікою, тобто мова йде про „істинність” чи „хибність”, або, іншими словами, про логічне значення висловлювання. Всі висловлювання у пропозиційній логіці ділять на прості та складні. Структура простих суджень у пропозиційній логіці не аналізується: вони є атомарними і розглядаються лише з боку хибності чи істинності.
Мовою логіки висловлювань (далі: ЛВ) називається штучна мова, яка застосовується для аналізу логічної структури складних висловлювань.
До знакових засобів мови ЛВ належать:
1. Знаки змінних:
p, q, r, s, p1, q2… - позначають прості висловлювання природної мови, їх називають ще пропозиційними змінними;
A, B, C, D, A1, B1… - позначають масиви висловлювань (схеми формул).
2. Знаки логічних сполучників:
“-“
–
знак заперечення („не...”, „невірно, що...”);
–
знак кон’юнкції („і...”, „однак...”, „але...”);
–
знак слабкої диз’юнкції („або...”, „чи...”);
–
знак суворої диз’юнкції („або..., або...”);
–
знак імплікації („якщо..., то...”);
–
знак еквіваленції („тоді і тільки тоді..., коли...”).
3. Технічні знаки:
“)”, “)” - дужки (ліва, права);
“,” - кома.
Ці знаки подібні до знаків пунктуації у природній мові. Інших знаків у ЛВ немає.
Індуктивно задається і визначення
формули ЛВ: якщо А – формула, то формула і Ā; якщо А,
В – формули, то формула і 
, 
тощо
(А, В – позначають схеми формул). Наприклад, вираз є схемою, тобто скороченим записом будь-яких двох формул, що
поєднані кон’юнктивним зв’язком.
Вимоги до побудови формул формують і
поняття правильно побудованої формули. Наприклад, вирази 
, 
-
не є правильно побудованими формулами. У першому виразі зайвий знак 
,
у другому – бракує правої дужки (чи зайва ліва дужка).
Формули також поділяються на прості та
складні. Проста формула складається з окремо взятих пропозиційних змінних,
наприклад, 
Кожна
складна формула має головний сполучник, який і визначає назву формули.
Наприклад, у формулі 
головною
константою є знак - (імплікація). Складна формула може складатись з
простих формул, а також містити, як підфомули, інші складні формули. Наприклад,
формулу 
можна
записати і у вигляді схеми,
де А - 
, а В - 
. Схема показує, що головним логічним сполучником формули є
логічний сполучник - ,
тобто “кон’юнкція”. У формулі 
головним логічним сполучником є “-“, тобто “заперечення”.
Використовуючи знакові засоби логіки висловлювань, можна формалізувати будь-яке висловлювання природної мови, тобто замінити його формулою, яка у явному вигляді виражатиме його логічну форму.
Наприклад, просте висловлювання “Усі
громадяни повинні дотримуватись чинного законодавства” може бути позначене про
позиційною змінною 
.
Складне висловлювання “Якщо я громадянин України, то повинен дотримуватись
чинного законодавства України” потребує для запису вже двох змінних - і 
,
тоді формула набуде такої форми - .
Точний смисл логічних сполучників визначається за допомогою таблиць (матриць) істинності для кон’юнкції (єднального складного судження), диз’юнкції (слабкої та суворої) тобто розділового складного судження, імплікації (умовного складного судження)та еквіваленції (подвійного умовного судження):
|
|
|
|
|
|
|
|
іі |
і |
і |
х |
і |
і |
|
іх |
х |
і |
і |
х |
х |
|
хі |
х |
і |
і |
і |
х |
|
хх |
х |
і |
х |
і |
і |
Число рядків у таблиці істинності визначається для двох змінних за формулою М = 2n, де n = 2, для трьох змінних – М = 2n, але n = 3. “Х” та “і” – це початкові букви слів “істинно” та “хибно”, що може бути також позначено як 1 - істинно, 0 - хибно. Такий метод визначення логічної істинності формули (висловлювання) називають табличним методом (застосування табличного методу див. далі: с. 4).
Кон’юнкція, її умови істинності.
|
№ |
А |
В |
А |
|
В |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Формула записується як А і В,
тобто .
Таке висловлювання істинне лише тоді, коли обидва простих висловлювання, які
входять до його складу, будуть істинними. Наприклад, “На вулиці холодно і
йде дощ”.
Слабка диз’юнкція, її умови істинності.
|
№ |
А |
В |
А |
|
В |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Формула записується як А або В,
тобто 
.
Таке висловлювання хибне лише тоді, коли обидва простих висловлювання, які
входять до його складу, будуть хибними. Наприклад, “На вулиці холодно або
йде дощ”.
Сувора диз’юнкція, її умови істинності.
|
№ |
А |
В |
А |
|
В |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Формула записується як або А, або
В, тобто 
.
Сувора диз’юнкція не може бути істинною лише тоді, коли її складові однакового
логічного значення. Таке висловлювання має таку структуру: “Ця людина
народилась у Києві або Львові”.
Імплікація, її умови істинності.
|
№ |
А |
В |
А |
|
В |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Формула записується як якщо А, то
В, тобто 
.
Імплікація не може бути істинною лише тоді, коли її підстава істинна, а
наслідок - хибний. Таке висловлювання має таку структуру: “Якщо студент
опанує логіку, то він наблизиться до загальнолюдської світової культури”.
Еквіваленція, її умови істинності.
|
№ |
А |
В |
А |
|
В |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
Формула записується як А, тоді
і тільки тоді, коли В, тобто . Еквіваленція може бути істинною лише тоді, коли її складові
однакового логічного значення. Таке висловлювання має таку структуру: “Робітники
отримають премію тоді і тільки тоді, якщо вони поліпшать якість продукції”.
Класична логіка предикатів (ЛП), на відміну від ЛВ, дає можливість проаналізувати міркування типу:
Всі люди смертні.
Сократ
– людина.
Сократ є смертним.
ЛВ бачить тут лише три простих
висловлювань і може записати їх, наприклад, як 
,
не виявляючи внутрішньої структури цих «простих» висловлювань. Внутрішню
структуру і задає інша логічна теорія – логіка предикатів. Логіка предикатів – це розділ сучасної
(класичної) логіки, де описуються міркування, в яких враховується внутрішня
структура простих висловлювань. Якщо враховувати, що всі правила ЛВ діють у ЛП,
але не навпаки, то можна вважати, що ЛВ є частиною ЛП. Хоча, традиційно,
вивчення логіки розпочинають з логіки висловлювань.
Як відомо, ЛП теж має свою мову, алфавіт, знакові засоби тощо. Оскільки значна частина їх розглядалась в ЛВ, необхідно зупинитись на знакових засобах власне ЛП. До них відносять, як і в ЛВ, нелогічні, логічні та технічні знаки. До нелогічних термінів відносять імена та предикатори.
Імена – це будь-які знаки предметів, ім’я (одиничне, загальне, пусте; конкретне, абстрактне; просте, складне, складене). Прості імена називають предмет, тоді як складні імена описують його, тому складні імена називають ще описовими (дескрипціями).
Предикатори – це нелогічні терміни, які позначають властивість, відношення, тобто є ознаками. Ті предикатори, що позначають властивості, називаються одномісними предикаторами, коли ж позначають відношення між предметами – називаються багатомісними. Предметний зміст предикаторів теж розглядається як множина, тобто клас предметів, яким притаманна досліджувана ознака. Наприклад, поняття „повноліття” відображає всіх людей, яким за чинним законодавством виповнилось 18 років. Подібне тлумачення і для багатомісних предикаторів („подружжя”, „бути більшим” тощо).
В ЛП прийнято вважати, що предметним значенням n-місного предикатора є деяка множина n предметів (послідовностей, які складаються n-об’єктів). Просте висловлювання ЛВ, при такому підході, тлумачиться як нуль-місний предикатор.
До логічних термінів суто ЛП слід віднести: