6. Структурні середні величини

Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупностей за тією чи іншою варіаційною ознакою. Водночас структуру цих сукупностей характеризують особливими показниками, які називають у статистиці структурними середніми величинами. Зокрема, це мода і медіана.

Мода (Мо) — це величина, яка найчастіше зустрічається в даній сукупності. У варіаційному ряді це — варіант, що має найбільшу частоту.

Моду широко використовують у комерційній діяльності, в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, реєструють ціну, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів тощо.

Медіаною (Me) в статистиці називають варіант, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіаційної ознаки менше, ніж середня, а друга — більше. Медіана вказує на значення варіаційної ознаки, якого досягла половина одиниць сукупності.

Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх, є конкретними характеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, тому їх ще називають описовими характеристиками. Така їхня властивість пов'язана з тим, що у цих величинах погашаються індивідуальні відхилення, як у разі середніх. Описові характеристики завжди відповідають певному варіанту. Мода і медіана не с типовими характеристиками для дослідження однорідних сукупностей з великою чисельністю одиниць.

Знайти моду і медіану в дискретному варіаційному ряді не становить труднощів, оскільки варіанти відповідають певним числам.

Наприклад, розглянемо дані щодо розподілу за розмірами продажу чоловічих костюмів.

Продаж чоловічих костюмів

Розмір костюма        44      46      48      50      52      54      56

Кількість проданих костюмів      2        8        20      91      44      19      5

За цими даними найбільшим попитом у покупців" користуються чоловічі костюми 50-го розміру, тобто модальним є варіант із цим значенням, оскільки 91 покупець (найбільше) придбав костюми цього розміру.

Інколи трапляються ряди розподілу, в яких не один, а два варіанти однаково модальні, тобто мають найбільші частоти. Це означає, що є дві моди — розподіл бімодальний. Такі розподіли вказують на якісну неоднорідність сукупності за досліджуваною ознакою.

Медіану в дискретному варіаційному ряді визначають за сумою всіх частот, яку треба поділити на дві і до отриманого результату додати 0,5.

У наведеному вище прикладі кількість покупців костюмів становить

189 чоловік, тоді медіана , тобто 95-й варіант ділить упорядкований ряд на дві однакові частини.

Яке значення медіанного варіанта? Для того щоб знайти відповідь на це запитання, слід нагромадити частоти, розпочинаючи з мінімального значення варіанта. У статистиці це називається акумуляцією частот.

Сума частот першого, другого й третього варіантів 2+8+20=30, а в прикладі медіанним є 95-й варіант, тобто той, що лежить у наступній групі, де частота становить 91, а нагромаджені частоти перевищують медіанну 30+91=121. Отже, 95-й варіант відповідає четвертому значенню варіаційної ознаки, і медіаною є покупець костюма 50-го розміру.

В тому разі, коли сума частот парна, медіанний варіант є дробовим числом, але оскільки дробових варіантів не буває, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.

Отже, в дискретному варіаційному ряді дуже просто знаходити моду і медіану. В інтервальному варіаційному ряді для приблизного визначення моди і медіани в межах певного інтервалу застосовують спеціальні розрахунки та відповідні формули.

Для знаходження модальної величини Мо ознаки, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:

 ,

де X0 - верхня межа модального інтервалу; — модальний інтервал; - частота модального інтервалу; - частота інтервалу, що передує модальному; - частота наступного за модальним інтервалу.

Для прикладу візьмемо дані таблиці 1 та проілюструємо методику розрахунку моди. Найбільша частота 160 відповідає варіанту в інтервалі 1200... 1400. Підставивши числові значення в формулу моди, дістанемо

 грн.

Отже, найпоширенішим варіантом у наведеному ряді розподілу є робітник, виробіток якого становить 1307 грн.

Для обчислення медіани спочатку в інтервальному ряді розподілу визначають медіанний інтервал. Він відповідатиме такому, кумулятивна частота якого дорівнює чи перевищує половину суми частот. Кумулятивні частоти дістають поступовим підсумовуванням частот, розпочинаючи з інтервалу з найменшим значенням ознаки. Знайдено медіану в інтервальному варіаційному ряді:

 ,

де - верхня межа медіанного інтервалу; i - медіанний інтервал; f-частоти ряду; - сума нагромаджених (кумулятивних) частот до медіанного інтервалу; - частота медіанного інтервалу.

У розглядуваному прикладі половина частот ряду розподілу становить 400:2=200. До медіанного інтервалу нагромаджено частот: 20+80=100. Отже, медіанним інтервалом є третій інтервал, в якому середній виробіток лежить у межах 1200...1400, тобто медіанний інтервал збігається з модальним.

Підставивши дані у формулу, дістанемо

 грн.

Отже, в розглянутому прикладі середня арифметична дорівнює 1340, мода - 1307, а медіана - 1325. Співвідношення цих величин дає уявлення про характер розподілу та його наближеність, наприклад, до нормального розподілу.

Медіана є серединним значенням - і це полегшує її розуміння. Порівняно з модою вона виразніша. Завдяки тому, що сума абсолютних відхилень рівнів ряду від медіани є величина найменша , цю властивість широко використовують у маркетинговій діяльності.

Для характеристики структури варіаційного ряду додатково до медіани обчислюють квартилі, які поділяють ряд за сумою частот на чотири однакові частини, децилі — на десять частин і процентилі — ділять ряд розподілу на сто рівних частин. Другий квартиль дорівнює медіані, а перший квартиль і третій обчислюють так само, як і медіану. При визначенні замість медіанного інтервалу беруть інтервал, в якому лежить варіант, що відсікає 1/4 кількості частот, а для третього квартиля — варіант, що відсікає 3/4 усіх частот.

УЗАГАЛЬНЕННЯ

Для узагальнюючої характеристики сукупностей використовують абсолютні, відносні та середні показники. Первинними є абсолютні показники, оскільки і відносні, і середні обчислюються на основі абсолютних величин. Як абсолютні, так і відносні і середні показники мають свої різновиди.

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ

1. Поняття про абсолютні статистичні показники.

2. Одиниці виміру абсолютних статистичних показників.

3. Види відносних величин.

4. Взаємозв‘язок відносних величин планового завдання, виконання плану і динаміки.

5. Дайте визначення суті середніх величин.

6. Назвіть види середніх і способи їх обчислення.

7. Застосування середньої арифметичної простої і зваженої.

8. Застосування середньої гармонійної

9. Що таке мода і медіана?

Література для самоосвіти: 1, 2, 3, 4, 5, 6.